宁夏省银川一中高二数学上学期期末试卷 理 新人教A版
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M
D 1
C 1
B 1
A 1
D C
B
A
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.命题“∃Z x ∈,使022≤++m x x ”的否定是( ) A. ∃Z x ∈,使m x x ++22>0
B. 不存在Z x ∈,使m x x ++22>0
C. ∀Z x ∈,使022≤++m x x
D. ∀Z x ∈,使m x x ++22>0 2.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是)0,3(),0,3(-,离心率是
2
3
,则椭圆C 的方程为 ( ). A. 1222=+y x B . 1422=+y x C. 1222=+y x D. 14
22
=+y x 3.设集合}3|),{(},136
|),{(2
2
x y y x B y x y x A ===-= ,则A ∩B 的子集的个数是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4.如图,在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1 中,M 是AC 与BD 的交点,若c AA b AD a AB ===1,,, 则下列向量中与M B 1 相等的向量是( ) A .++-
2121 B. ++2
1
21 C .-+-2121 D .+--2
1
21
5.已知条件2|1:|>+x p , 条件 2
65:x x q >-,则p ⌝是q ⌝的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
6. 已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
x a y C 的离心率为25,则C 的渐近线方程为( )
A .x y 2±=
B .x y 21±
= C .x y 4±= D .x y 4
1
±= 7. 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,-2,-3),(0,1,0), (0,1,1),(0,0,1),则该四面体的体积为( ) A . 1 B .
21 C .31 D .6
1
8.过直线l :9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为()()123,0,3,0F F -,则椭圆的方程为( )
A .131222=+y x
B .1162522=+y x
C .1364522=+y x
D .172
812
2=+y x 9. 如图,平面ABCD ⊥平面ABEF ,四边形ABCD 是正方形, 四边形ABEF 是矩形,且AF =
AD 2
3
,G 是EF 的中点,
则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( ) A.
6
6
B.
621 C. 7
7 D.
7
21
10.已知命题p :△ABC 所对应的三个角为A ,B ,C . A >B 是cos 2A <cos 2B 的充要条件;
命题q :函数))2
,0((1tan 2tan 1π
∈+++=
x x x y 的最小值为1;
则下列四个命题中正确的是( ) A. q p ∧ B. q p ⌝∧ C. q p ∨⌝ D. q p ⌝∧⌝
11. 已知向量321,,v v v 分别是空间三条不同直线321,,l l l 的方向向量,则下列命题中正确的是( )
A .)(,313221R v v l l l l ∈=⇒⊥⊥λλ B. )(//,313221R v v l l l l ∈=⇒⊥λλ
C. 321,,l l l 平行于同一个平面R ∈∃⇒μλ,,使得321v v v μλ+=
D. 321,,l l l 共点R ∈∃⇒μλ,,使得321v v v μλ+=
12. 过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =,则AOB ∆的面积
为( )
A.
2
2 D. 二、填空题(每题5分,满分20分)13.有下列四个命题:
①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若1q ≤ ,则2
20x x q ++=有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为___________________.
14. 过点(1,1)M 作一直线与椭圆22
194
x y +=相交于A 、B 两点,若M 点恰好为弦AB 的中点,则AB 所在直
线的方程为 .
15.抛物线顶点为O ,焦点为F ,M 是抛物线上的动点,则
|
||
|MF MO 的最大值为 .
16.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1和a ,且长为a 的棱异面,则a 的取
值范围是_________________. 三.解答题(满分70分) 17.(本小题满分10分)
设抛物线x 2
=2py (p >0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,
D
O
C
A
B P
l y
M
D
S
且BC ∥y 轴.证明直线AC 经过原点O .
18.(本小题满分12分)
直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中,AC =BC =AA ′,∠ACB =90°,
D 、
E 分别为AB 、BB ′的中点.
(1)求证:CE ⊥A ′D ;
(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值.
19. (本小题满分12分)
已知点),(00y x P 是椭圆15
:22
=+y x C 上的一点。
F 1、F 2是椭圆C 的左右焦点。
(1)若∠F 1PF 2是钝角,求点P 横坐标x 0的取值范围;
(2)求代数式02
02x y +的最大值。
20. (本小题满分12分)
已知动圆过定点()1,0,且与直线1x =-相切. (1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程;
(2) 是否存在直线l ,使l 过点(0,1),并与轨迹C 交于,P Q 两点,且满足0OP OQ ⋅=?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.
21.(本小题满分12分)
在四棱锥P OABC -中,PO ⊥底面OABC ,60OCB ∠=︒,
90AOC ABC ∠=∠=︒, 且2OP OC BC ===.
(1)若D 是PC 的中点,求证://BD 平面AOP ; (2)求二面角P AB O --的余弦值.
22.(本小题满分12分)
已知直线220x y -+=经过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>> 的左顶点A 和上顶点D ,椭圆C 的
右顶点为B ,点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点,直线,,AS BS 与直线10
:3
l x = 分别交于,M N 两点. (1)求椭圆C 的方程;
(2)求线段MN 的长度的最小值;
(3)当线段MN 的长度最小时,在椭圆C 上是否存在这 样的点T ,使得TSB ∆的面积为1
5
?若存在,确定点T 的个 数,若不存在,说明理由。
高二期末数学(理科)试卷参考答案
1-5:DBDCA;6-10:ADCDB;11-12:CC 13. ①③;14.4x+9y-13=0; 15.
3
3
2 16.(0,2) 17.证:设AB :y =kx +
2
p ,代入x 2=2py ,得x 2-2pmx -P 2
=0. 由韦达定理,得x A x B =-p 2
,
即x B =-A
x p 2
.
∵BC ∥y 轴,且C 在准线y =-2
p
上, ∴C (x B ,-
2
p
). 则k OC =
B
x p
2-
=A
A x y =k OA .
故直线AC 经过原点O .
18..解:(1)证明:设 CA =a , CB =b , CC '=c , 根据题意,|a |=|b |=|c |且a·b =b ·c =c ·a =0, ∴ CE =b +12c , A D '=-c +12b -1
2a .
∴ CE · A D '=-12c 2+12b 2
=0,
∴ CE ⊥A D ' ,即CE ⊥A ′D .
(2) AC '=-a +c ,∴| AC '|=2|a |,| CE |=
5
2
|a |. AC '·CE =(-a +c )·(b +12c )=12c 2=12
|a |2,
∴cos 〈 AC ',CE 〉=
12|a |22·
52
|a |2=
1010
. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为
1010
.
19. (1)2
152150<<-
x (2)52 20. 解:(1)设M 为动圆圆心, F ()1,0,过点M 作直线1x =-的垂线,垂足为N ,
由题意知:MF MN =, 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等, 由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中()1,0F 为焦点,1x =-为准线, ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42
=
(2)由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠,
由2(1)4x k y y x
=-⎧⎨=⎩得2
440y ky k -+= △2
16160k =->,11k k <->或
设),(11y x P ,),(22y x Q ,则124y y k +=,124y y k =
由0OP OQ ⋅=,即 ()11,OP x y =,()22,OQ x y =,于是12120x x y y +=, 即()()21212110k y y y y --+=,2
2
2
1212(1)()0k y y k y y k +-++=,
222
4(1)40k k k k k +-+=,解得4k =-或0k =(舍去), 又41k =-<-, ∴ 直线l 存在,其方程为440x y +-=
21 解:(1)如图,建立空间直角坐标系O xyz -.连接OB ,易知OBC ∆为等边三角形
,
(0,0,2),(0,2,0),P C B ,则(0,1,1),D
(3,0,1)BD =-.又易知平面AOP 的法向量
为 (0,2,0)OC =,
由3002100BD OC ⋅=-+⨯+⨯=,得 BD OC ⊥,
所以//BD 平面AOP ………………………6分 (2)在OAB ∆中,2,30OB AOB
ABO =∠=∠=︒,则120OAB ∠=︒
,由正弦定理, 得OA =
,即A ,所以3
(
AB =,(3,1,2)PB =-. 设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =,
由303
320
m AB m AB x y m PB m PB x y z ⎧⎧⊥⋅=+=⎪⎪
⇒⎨⎨⊥⎪⎪⎩
⋅=+-=⎩
, 令x =1,1y z =-=,即(3,1,1)m =-…………………10分
又平面OABC 的法向量为(0,0,2)n OP ==,
所以,||cos ,||||5m n m n m n ⋅<>=
==⨯
y
x
z D
O C
A B
P
即二面角P AB O --
13分 22.
要使椭圆
C上存在点T,使得TSB
∆的面积等于1
5
,只须T到直线BS
2
,所以T在平行于BS且与
BS距离等于
2
4
的直线l上。
设直线':10
l x y
++=
2
2
=解得
3
2
t=-或
5
2
t=-。