宁夏省银川一中高二数学上学期期末试卷 理 新人教A版

M
D 1
C 1
B 1
A 1
D C
B
A
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“∃Z x ∈，使022≤++m x x ”的否定是（ ） A. ∃Z x ∈，使m x x ++22＞0
B. 不存在Z x ∈，使m x x ++22＞0
C. ∀Z x ∈，使022≤++m x x
D. ∀Z x ∈，使m x x ++22＞0 2．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是)0,3(),0,3(-，离心率是
2
3
，则椭圆C 的方程为 ( )． A. 1222=+y x B ． 1422=+y x C. 1222=+y x D. 14
22
=+y x 3．设集合}3|),{(},136
|),{(2
2
x y y x B y x y x A ===-= ，则A ∩B 的子集的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，M 是AC 与BD 的交点，若c AA b AD a AB ===1,,， 则下列向量中与M B 1 相等的向量是（ ） A ．++-
2121 B. ++2
1
21 C ．-+-2121 D ．+--2
1
21
5．已知条件2|1:|>+x p , 条件 2
65:x x q >-，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6. 已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
x a y C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ ）
A ．x y 2±=
B ．x y 21±
= C ．x y 4±= D ．x y 4
1
±= 7. 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，-2，-3），（0，1，0）， （0，1，1），（0，0，1），则该四面体的体积为（ ） A ． 1 B ．
21 C ．31 D ．6
1
8．过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为（ ）
A ．131222=+y x
B ．1162522=+y x
C ．1364522=+y x
D ．172
812
2=+y x 9. 如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形， 四边形ABEF 是矩形，且AF ＝
AD 2
3
，G 是EF 的中点，
则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为（ ） A.
6
6
B.
621 C. 7
7 D.
7
21
10．已知命题p ：△ABC 所对应的三个角为A ，B ，C . A >B 是cos 2A <cos 2B 的充要条件；
命题q ：函数))2
,0((1tan 2tan 1π
∈+++=
x x x y 的最小值为1；
则下列四个命题中正确的是（ ） A. q p ∧ B. q p ⌝∧ C. q p ∨⌝ D. q p ⌝∧⌝
11. 已知向量321,,v v v 分别是空间三条不同直线321,,l l l 的方向向量，则下列命题中正确的是（ ）
A ．)(,313221R v v l l l l ∈=⇒⊥⊥λλ B. )(//,313221R v v l l l l ∈=⇒⊥λλ
C. 321,,l l l 平行于同一个平面R ∈∃⇒μλ,，使得321v v v μλ+=
D. 321,,l l l 共点R ∈∃⇒μλ,，使得321v v v μλ+=
12. 过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =,则AOB ∆的面积
为（ ）
A.
2
2 D. 二、填空题（每题5分，满分20分）13．有下列四个命题：
①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若1q ≤ ,则2
20x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为___________________.
14. 过点(1,1)M 作一直线与椭圆22
194
x y +=相交于A 、B 两点，若M 点恰好为弦AB 的中点，则AB 所在直
线的方程为 ．
15．抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则
|
||
|MF MO 的最大值为 ．
16．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a 的棱异面，则a 的取
值范围是_________________. 三．解答题（满分70分） 17.（本小题满分10分）
设抛物线x 2
=2py （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，
D
O
C
A
B P
l y
M
D
S
且BC ∥y 轴.证明直线AC 经过原点O .
18.（本小题满分12分）
直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，
D 、
E 分别为AB 、BB ′的中点．
(1)求证：CE ⊥A ′D ；
(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．
19. （本小题满分12分）
已知点),(00y x P 是椭圆15
:22
=+y x C 上的一点。

F 1、F 2是椭圆C 的左右焦点。

（1）若∠F 1PF 2是钝角，求点P 横坐标x 0的取值范围；
（2）求代数式02
02x y +的最大值。

20. (本小题满分12分)
已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切. (1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；
(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）
在四棱锥P OABC -中，PO ⊥底面OABC ，60OCB ∠=︒，
90AOC ABC ∠=∠=︒, 且2OP OC BC ===.
(1)若D 是PC 的中点，求证：//BD 平面AOP ; (2)求二面角P AB O --的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知直线220x y -+=经过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>> 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的
右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线10
:3
l x = 分别交于,M N 两点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）求线段MN 的长度的最小值；
（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这 样的点T ，使得TSB ∆的面积为1
5
？若存在，确定点T 的个 数，若不存在，说明理由。

高二期末数学(理科)试卷参考答案
1-5：DBDCA;6-10:ADCDB;11-12:CC 13. ①③；14.4x+9y-13=0； 15.
3
3
2 16.（0，2） 17.证：设AB ：y =kx +
2
p ，代入x 2=2py ，得x 2－2pmx －P 2
=0. 由韦达定理，得x A x B =－p 2
，
即x B =－A
x p 2
.
∵BC ∥y 轴，且C 在准线y =－2
p
上， ∴C （x B ，－
2
p
）. 则k OC =
B
x p
2-
=A
A x y =k OA .
故直线AC 经过原点O .
18.．解：(1)证明：设 CA ＝a ， CB ＝b ， CC '＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴ CE ＝b ＋12c ， A D '＝－c ＋12b －1
2a .
∴ CE · A D '＝－12c 2＋12b 2
＝0，
∴ CE ⊥A D ' ，即CE ⊥A ′D .
(2) AC '＝－a ＋c ，∴| AC '|＝2|a |，| CE |＝
5
2
|a |. AC '·CE ＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12
|a |2，
∴cos 〈 AC '，CE 〉＝
12|a |22·
52
|a |2＝
1010
. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为
1010
.
19. （1）2
152150<<-
x （2）52 20. 解：（1）设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，
由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42
=
（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，
由2(1)4x k y y x
=-⎧⎨=⎩得2
440y ky k -+= △2
16160k =->，11k k <->或
设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =
由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=， 即()()21212110k y y y y --+=，2
2
2
1212(1)()0k y y k y y k +-++=，
222
4(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去）， 又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=
21 解：（1）如图，建立空间直角坐标系O xyz -．连接OB ,易知OBC ∆为等边三角形
，
(0,0,2),(0,2,0),P C B ，则(0,1,1),D
(3,0,1)BD =-．又易知平面AOP 的法向量
为 (0,2,0)OC =,
由3002100BD OC ⋅=-+⨯+⨯=,得 BD OC ⊥,
所以//BD 平面AOP ………………………6分 (2)在OAB ∆中，2,30OB AOB
ABO =∠=∠=︒,则120OAB ∠=︒
,由正弦定理, 得OA =
,即A ，所以3
(
AB =，(3,1,2)PB =-． 设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，
由303
320
m AB m AB x y m PB m PB x y z ⎧⎧⊥⋅=+=⎪⎪
⇒⎨⎨⊥⎪⎪⎩
⋅=+-=⎩
， 令x =1,1y z =-=，即(3,1,1)m =-…………………10分
又平面OABC 的法向量为(0,0,2)n OP ==,
所以，||cos ,||||5m n m n m n ⋅<>=
==⨯
y
x
z D
O C
A B
P
即二面角P AB O --
13分 22．
要使椭圆
C上存在点T，使得TSB
∆的面积等于1
5
，只须T到直线BS
2
，所以T在平行于BS且与
BS距离等于
2
4
的直线l上。

设直线':10
l x y
++=
2
2
=解得
3
2
t=-或
5
2
t=-。