【必备精品】2019高中数学 课时分层作业11 抛物线及其标准方程 新人教A版选修1-1

课时分层作业(十一) 抛物线及其标准方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2
＝－2x B ．y 2
＝2x C ．x 2＝2y
D ．x 2
＝－2y
B [由题意可设抛物线的标准方程为y 2
＝ax ，则(－2)2
＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2
＝2x ，故选B.]
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 2
2＝1上，则抛物线的
方程为( )
【导学号：97792099】
A ．y 2
＝8x B ．y 2
＝4x C ．y 2＝2x
D ．y 2
＝±8x
D [由题意抛物线的焦点坐标为(2,0)或(－2,0)，因此抛物线方程为y 2
＝±8x .] 3．设抛物线y 2
＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12
B [抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，则点P 到准线的距离为6，即点P 到抛物线焦点的距离是6.]
4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2
＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )
A ．－43
B ．－1
C ．－34
D ．－12
C [抛物线的准线方程为x ＝－2，则焦点为F (2,0)．从而k AF ＝3－0－2－2＝－34.]
5．如图2­3­2，南北方向的公路l ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 东偏北30°方向23km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路l 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上建一座码头，向A 、B 两地运货物，经测算，从M 到A 、到B 修建费用都为a 万元/km ，那么，修建这条公路的总费用最低是( )万元．
图2­3­2
A ．(2＋3)a
B ．2(3＋1)a
C ．5a
D ．6a
C [依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、l 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只须求出B 到直线l 距离即可，因B 地在A 地东偏北30°方向23km 处，
∴B 到点A 的水平距离为3(km)， ∴B 到直线l 距离为：3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为：5a (万元)，故选C.] 二、填空题
6．抛物线y ＝2x 2
的准线方程为________．
y ＝－18
[化方程为标准方程为x 2＝12
y ，故p 2＝1
8
，开口向上，
∴准线方程为y ＝－1
8
.]
7．抛物线y ＝－14x 2
上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为
________．
4 [抛物线标准方程为x 2
＝－4y ，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y ＝1，则|MF |的长度等于点M 到准线y ＝1的距离，从而点M 到两定点F ，E 的距离之和的最小值为点E (1，－3)到直线y ＝1的距离．即最小值为4.]
8．对于标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)
②④ [抛物线y 2
＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2
＝10x
上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0，
过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，
垂足为(2,1)时，则k ＝－2，
此时存在，所以④满足．]
三、解答题
9．设F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，曲线y ＝k
x
(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，求k 的值．
A.12 B ．1 C.3
2
D ．2 [解] 根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF ⊥x 轴，知点P ，F 的横坐标相等，再根据点P 在曲线y ＝k x
上求出k .
∵y 2
＝4x ，∴F (1,0)．
又∵曲线y ＝k x
(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)． 将点P (1,2)的坐标代入y ＝k x
(k ＞0)得k ＝2.
10．如图2­3­3是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若|CD |＝9米，那么|DE |不超过多少米才能使货船通过拱桥？
【导学号：97792100】
图2­3­3
[解] 如图所示，以点O 为原点，过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (9，－8)．
设抛物线方程为x 2
＝－2py (p >0)．
∵B 点在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2
＝－818y .
当x ＝9
2时，y ＝－2，即|DE |＝8－2＝6.
∴|DE |不超过6米才能使货船通过拱桥．
[能力提升练]
1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )
A ．2 2
B ．4 C. 2
D.32
2
＋1 A [将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1,0)的距离，过点F 作直线
l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为
|1＋0＋3|
12＋1
2
＝22，故选A.] 2．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2
＝2py (p >0)的焦
点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )
A ．x 2
＝833y
B ．x 2
＝1633y
C ．x 2
＝8y
D ．x 2
＝16y
D [由e 2
＝1＋b 2a 2＝4得b
a
＝3，则双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0
抛物线C 2的焦点坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
0，p 2，
则有p
2
2
＝2，解得p ＝8
故抛物线C 2的方程为x 2
＝16y .]
3．抛物线y 2
＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．
2 [抛物线y 2
＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1
2＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB
的中点到y 轴的距离是2.]
4．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
(－6,62)或(－6，－62) [设所求点为P (x ，y )，抛物线y 2
＝－12x 的准线方程为x ＝3，由题意知3－x ＝9，即x ＝－6.
代入y 2
＝－12x ，得y 2
＝72，即y ＝±6 2. 因此P (－6,62)或P (－6，－62)．]
5．如图2­3­4，已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，
OB 的中点为M .
图2­3­4
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标.
【导学号：97792101】
[解] (1)抛物线y 2
＝2px 的准线方程为x ＝－p
2，
于是4＋p
2＝5，p ＝2，
所以抛物线的方程为y 2＝4x .
(2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．
又F (1,0)，所以k AF ＝43，则FA 的方程为y ＝4
3(x －1)．
因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－3
4，
则MN 的方程为y ＝－3
4
x ＋2.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3
4
x ＋2
y ＝4
3
x
－
，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝
85
y ＝4
5
，
所以N ⎝⎛⎭
⎫85，45.。