云南省玉溪一中高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年云南省玉溪一中高一（下）期中数学试卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）
A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}
2．sin600°+tan240°的值等于（）
A．﹣B．C．D．
3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（）
A．12.5，12.5 B．13.5，13 C．13.5，12.5 D．13，13
5．平行于直线x+2y+1=0，且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）
A．或B．或
C．x+2y+5=0或x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+5=0或x﹣2y﹣5=0
6．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为（）
A．0 B．1 C．2 D．11
7．函数的单调递减区间（）
A．（k∈Z）B．（k∈Z）
C．（k∈Z）D．（k∈Z）
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4
9．已知，则=（）
A．.B．C．.D．.
10．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
变），再向右平移个单位，所得图象的解析式是（）
A．y=sin2x B．C．D．
11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若
实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）12．已知{x1，x2，x3，x4}⊆{x|（x﹣3）•sinπx=1，x＞0}，则x1+x2+x3+x4的最小值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数有家．
14．函数的定义域为．
15．任取，则使sinθ＞0的概率是．
16．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=．
三.解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤.
17．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=．
18．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同．（1）求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定；
（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率．
19．已知函数，该函数图象过点
C，函数图象上与点C相邻的一个最高点为D，
（1）求该函数的解析式f（x）．
（2）求函数f（x）在区间上的最值及其对应的自变量x的值．20．设函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4（a、b∈R）
（1）若a∈{0，1，2}，b∈{﹣2，﹣1，0，1，2}，求函数f（x）有零点的概率．（2）若a∈[﹣3，3]，b∈[0，3]，求函数g（x）=f（x）+5无零点的概率．21．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点，
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求证：PA∥平面MBD；
（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
22．已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B 两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
2016-2017学年云南省玉溪一中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）
A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．
【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，
则A∩B={3，5}．
故选：B．
2．sin600°+tan240°的值等于（）
A．﹣B．C．D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】利用诱导公式得sin600°=sin240°，进而求出
sin600°+tan240°=sin240°+tan240°═
【解答】解：∵sin600°=sin=sin240°=sin（π﹣120°）=﹣sin120°=﹣
又∵tan240°=
∴sin600°+tan240°=
故答案为B
3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
【考点】C4：互斥事件与对立事件．
【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
【解答】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确
对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确
对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
∴这两个事件是对立事件，∴D不正确
故选：C．
4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（）
A．12.5，12.5 B．13.5，13 C．13.5，12.5 D．13，13
【考点】B8：频率分布直方图．
【分析】根据频率分布直方图的数据，结合平均数数和中位数的对应进行判断即可．
【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2，
第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3，
则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13，
由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间（10，15]的的位置，
即中位数为10+（15﹣10）×=13．
故选：D．
5．平行于直线x+2y+1=0，且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）
A．或B．或
C．x+2y+5=0或x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+5=0或x﹣2y﹣5=0
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】利用直线平行的关系设切线方程为x+2y+b=0，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可．
【解答】解：∵直线和直线x+2y+1=0平行，
∴设切线方程为即x+2y+b=0，
圆心坐标为（0，0），半径R=，
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d==，
解得b=5或b=﹣5，
故切线方程为x+2y+5=0或x+2y﹣5=0；
故选：C．
6．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为（）
A．0 B．1 C．2 D．11
【考点】E7：循环结构．
【分析】当x=2×x+1，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体，依此类推，最后一次：x=2×11+1=23，n=1+3=4，不满足n≤3，退出循环体，输出此时的x的值．
【解答】解：x=2×2+1=5，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体；
x=2×5+1=11，n=2+1=3，满足n≤3，执行循环体；
x=2×11+1=23，n=3+1=4，不满足n≤3，退出循环体，
上述过程反过来看即可得．
则输入的x值为：2
故选：C．
7．函数的单调递减区间（）
A．（k∈Z）B．（k∈Z）
C．（k∈Z）D．（k∈Z）
【考点】H5：正弦函数的单调性．
【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数
的单调递减区间．
【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得
∴
∴函数的单调递减区间（k∈Z）
故选D．
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，
故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，
故选：D
9．已知，则=（）
A．.B．C．.D．.
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．
【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．
【解答】解：∵，
∴=sin[π﹣（+α）]=sin（﹣α）=．
故选：A
10．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
变），再向右平移个单位，所得图象的解析式是（）
A．y=sin2x B．C．D．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】函数，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律，可
得最后得到的图象对应的解析式为y=f[（x﹣）]，最后结合三角函数的诱导公式化简整理可得C选项符合题意．
【解答】解：函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
所得图象对应的表达式为y=sin（x﹣），
再将所得的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式为y=sin[（x﹣
）﹣]=sin（x﹣），即y=﹣cos，C项符合题意．
故选：C．
11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若
实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）【考点】3F：函数单调性的性质．
【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜
即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），
∴2|a﹣1|＜=2．
∴|a﹣1|，
解得．
故选：C．
12．已知{x1，x2，x3，x4}⊆{x|（x﹣3）•sinπx=1，x＞0}，则x1+x2+x3+x4的最小值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】18：集合的包含关系判断及应用．
【分析】将“（x﹣3）•sinπx=1”两边同除以“x﹣3”，再分别判断两端函数的对称
中心，得到函数f（x）=sinπx﹣的对称中心，再由对称性求出x1+x2+x3+x4的最小值．
【解答】解：由（x﹣3）•sinπx=1得，sinπx=，则x＞0且x≠3，
∵y=sinπx是以2为周期的奇函数，∴y=sinπx的对称中心是（k，0），k∈z，
∵y=的图象是由奇函数y=向右平移3个单位得到，∴y=的对称中心是（3，0），
即函数f（x）=sinπx﹣的对称中心是（3，0），
∵{x1，x2，x3，x4}⊆{x|（x﹣3）•sinπx=1，x＞0}，
∴当x＞0时，最小值x1和x3、x2和x4关于（3，0）对称，即x1+x3=6、x2+x4=6，则x1+x2+x3+x4=12，
故选D．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数有5家．
【考点】B3：分层抽样方法．
【分析】先求出每个商店被抽到的概率，用中型商店的数量乘以每个商店被抽到
的概率，即得应抽取的中型商店数．
【解答】解：每个商店被抽到的概率等于=，由于中型商店有75家，应
抽取的中型商店数为75×=5，
故答案为：5．
14．函数的定义域为{x|x≠+π，k∈z} ．
【考点】HC：正切函数的图象．
【分析】根据正弦函数的定义域，我们构造关于x的不等式，解不等式，求出自
变量x的取值范围，即可得到函数y=tan（﹣2x）的定义域．
【解答】解：要使函数y=tan（﹣2x）的解析式有意义，
自变量x须满足：2x﹣≠kπ+，k∈Z，
解得：x≠+π，k∈Z，
故函数y=tan（﹣2x）的定义域为{x|x≠+π，k∈Z}
故答案为：{x|x≠+π，k∈z}．
15．任取，则使sinθ＞0的概率是．
【考点】CF：几何概型．
【分析】任取，使sinθ＞0的θ∈（0，π），由此利用几何概型能求出使sinθ＞0的概率．
【解答】解：∵任取，
∴使sinθ＞0的θ∈（0，π），
∴使sinθ＞0的概率是p==．
故答案为：．
16．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=6．
【考点】3P：抽象函数及其应用．
【分析】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答时，首先要分析条件当中的特殊函数值，然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化，例如结合表达式的特点1=0+1等，进而问题即可获得解答．
【解答】解：由题意可知：
f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1
=f（0）+f（1），
∴f（0）=0．
f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1
=f（﹣1）+f（1）﹣2，
∴f（﹣1）=0．
f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1
=f（﹣2）+f（1）﹣4，
∴f（﹣2）=2．
f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1
=f（﹣3）+f（1）﹣6，
∴f（﹣3）=6．
故答案为：6．
三.解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤.
17．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．
【分析】利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，利用条件，即可求得结论．
【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=
=
∵tanθ=2
∴=
∴sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=
故答案为：
18．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同．（1）求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定；
（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率．
【考点】BC：极差、方差与标准差；BA：茎叶图．
【分析】（1）根据两组数据的平均数相等，可得x的值，进而求出两组数据的方差，比较可得哪组学生成绩更稳定；
（2）分别计算在甲、乙两组中各抽出一名同学及成绩和低于20分的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案．
【解答】解：（1）=（9+9+11+11）=10，
=（8+9+10+x+12）=10，
解得：x=1 …，
又= [（9﹣10）2+（9﹣10）2+（11﹣10）2+（11﹣10）2]=1；
= [（8﹣10）2+（9﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=，…
∴＜，
∴甲组成绩比乙组稳定．…
（2）记甲组4名同学为：A1，A2，A3，A4；乙组4名同学为：B1，B2，B3，B4；
分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），共16个基本事件，
其中得分之和低于的共6个基本事件，…
∴得分之和低于的概率是：P==．…
19．已知函数，该函数图象过点
C，函数图象上与点C相邻的一个最高点为D，
（1）求该函数的解析式f（x）．
（2）求函数f（x）在区间上的最值及其对应的自变量x的值．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HW：三角函数的最值．
【分析】（1）通过函数的最高点求得A=2，然后由CD对应横坐标的差得到周期，从而求得ω，通过经过的点求得φ；
（2）由（1）的解析式得到ωx+φ的范围，结合三角函数的性质求最值以及自变量值．
【解答】解：因为函数，该函数
图象过点C，函数图象上与点C相邻的一个最高点为D，
所以A=2，且，T=π，所以=2，且sin（2×+φ）=1，所以φ=；
所以f（x）=2sin（2x+）；
（2）由（1）得到2x+∈[]，所以当2x+=即x=时，f（x）
的最小值为2×；
当2x+=，即x=时，f（x）最大值为2．
20．设函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4（a、b∈R）
（1）若a∈{0，1，2}，b∈{﹣2，﹣1，0，1，2}，求函数f（x）有零点的概率．（2）若a∈[﹣3，3]，b∈[0，3]，求函数g（x）=f（x）+5无零点的概率．【考点】CF：几何概型．
【分析】（1）为古典概型，可得总的基本事件数为36，符合条件的由15个，可求概率；
（2）为几何概型，作图可得面积，作比值可得答案
【解答】解：（1）a∈{0，1，2}，b∈{﹣2，﹣1，0，1，2}，共有事件数为3×5=15；
设事件A为“函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4有零点”，
即方程x2+2ax﹣b2+4=0有实根的条件为
△=4a2+4b2﹣16≥0，即a2+b2≥4，共有（0，﹣2），（0，2），（1，﹣2），（1，2），（2，﹣2），（2，2），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共有9个事件，由古典概型的
公式得到函数f（x）有零点的概率．
（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|﹣3≤a≤3，0≤b≤3}
构成事件B=“函数g（x）=f（x）+5=x2+2ax﹣b2+9无零点”即△＜0的区域为{（a，b）|a2+b2＜9 }即如图的阴影区域所示，由几何概型的公式得到所求概
率为：．
21．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点，
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求证：PA∥平面MBD；
（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）先证明PQ⊥底面ABCD，即为底面ABCD上的高，进而即可求出其体积；
（2）连接底面的对角线交于点O，再连接OM，利用三角形的中位线即可证明；（3）由（1）可知：PQ⊥底面ABCD，因此只要在底面上找到一条直线与BQ垂直即可，由平面几何的知识可知，只要取AB的中点N即可．
【解答】解：（1）连接PQ，∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，∴PQ⊥AD，PQ=．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD．
∴=．
（2）证明：连接AC、BD交于点O，连接OM．
则AO=OC，又PM=MC，
∴PA∥OM．
∵PA⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
3）存在，N为AB中点．
证明：取AB的中点N，连接CN交BQ于点E．
由正方形ABCD可知：△ABQ≌△BCN，∴∠ABQ=∠BCN，
∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠ABQ+∠CNB=90°，∴BQ⊥CN．
由（1）可知：PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥CN．
又PQ∩QB=Q，∴CN⊥平面PQB，
∵CN⊂平面PCN，
∴平面PCN⊥平面PQB．
22．已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B 两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
【考点】J3：轨迹方程；%H：三角形的面积公式．
【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；
（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，
∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则，．
由题意可得：．
即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．
整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，
由于|OP|=|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，
从而ON⊥PM．
∵k ON=3，
∴直线l的斜率为﹣．
∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．
则O到直线l的距离为．
又N到l的距离为，
∴|PM|==．
∴．
2017年6月17日。