辽宁省重点中学协作体2015年高考模拟考试数学(理)试卷Word版含答案

辽宁省重点中学协作体
2015年高考模拟考试
数学（理）试题
第I卷
一、选择题。

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的。

1．设R为实数集，集合=
2．已知复数
A．1 B．C．D．
3．函数所对应的图象向左平移署个单位后的图象与y轴距离最近的对称轴方程为
4．己知数列
5．由所对应的曲线围成的封闭图形
的面积为
6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为
7．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出
现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为，则的
数学期望是（）
A．20 B．25 C．30 D．40
8．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件的矩阵的个数为
A．48 B．72 C．144 D．264;
9．下列四个命题：
①己知服从正态分布
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
③命题冉已知”是真命题
④已知点则动点P的轨迹为双曲线的一支其中正确命题的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知向量为单位向量，最大僮为（）
A．B．4 C．D．2
11．抛物线，直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交予A，B两点（A点在第一象限），且，则三角形AOB（O为坐标原点）的甄积为（）
12．已知函数的一个零点，若，则符合条件的露的值有（）
A．l个B．2个C．3个D．无数个
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第1 3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第24题为选考题，考生依据要求作答。

二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡相应题号后的横
线上
13．的展开式中含有非零常数项，则正整数刀的最小值为．
14．设{}为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程序框图，则输出结果s为____．
15．将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成
的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小
于1的概率是____．
16．如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平
面ABCD．若则四棱锥P-ABCD
的体积最大值为____
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
己知函数的最小正周期为万，点（，0）为它的图象的一个对称中心．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）在△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c的最大值．18．（本小题满分12分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为疗）进行统计，按照【50，60），【60,70），[70,80），【80,90），[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），【90，100]的数据）．
（I）求样本容量月和频率分布直方图中x，y的值；
（II）把在[60，70），[70，80），[80，90）的成绩分组的学生按分层抽样的方法抽取8人．求[60,70），[70，80），[80,90）成绩分组中各应该抽取的人数；
（III）在（II）中的8人中随机抽取4名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，记X为成绩在[60,70）的人数，求X的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥层-ABCD中，平面EAD⊥ABCD，CD//AB,BC⊥CD, EA⊥ED．且AB=4，BC =CD =EA=ED=2
（I）求证：BD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F，使得平面BDF上平面CDE？
如果存在点F，t请指出点F的位置；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
如图，两条过原点。

D的直线l1，l2分别与x轴、y轴正方向成30°的角，点P（x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2
（I）若求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过（-1，0）的直线l与（I）中轨迹C相交于A,B两点，
若△ABC的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆
的方程
21．（本小题满分12分）
己知二次函数，且函数处取得极值．
（1）求a，b所满足的关系；
（Ⅱ）试判断是否存在恒成立？如果存在，请求出符合条件的a的所有值；如果不存在，说明理由．
考生在第22、23、24题中任送—道作答，并糟28铅笔将答趣卡上所选的题目对反的题号右侧方框涂黑，按废涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的酋题进行评分．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知CD=8，DE= 4，EF与切于点F，BF与HD交于点G．
（I）证明：EF=EG；
（II）求GH的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
己知曲线C l的参数方程为，已知曲线C2的极坐标方程为
（1）写出曲线C1、C2的直角角坐标方程。

（2）若曲线C1和C2有旦只有一个公共点，求实数m的值．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式逡讲
已知函数
（I）当的解集；
（Ⅱ）设恒成立，求a的取值范围．
2015年辽宁重点中学协作体高考模拟考试
数学（理科）试卷参考答案
一、选择题：
CABDC DBCAD CB
二、填空题：
13. 5 14. 4 15. 16.
三、解答题：
17.解：（Ⅰ）
为的图像的对称中心
-----------------------------------4分
故………………………6分
（Ⅱ）
………………………………9分
当且仅当时取等号
故的最大值为6……………………………………12分
18．解：（Ⅰ）由题意可知，
样本容量，
，
． ..............3分
（Ⅱ）在，，成绩分组的学生分别为15人，20人，5人，
现要按分层抽样抽取8人，则在，，成绩分组中
各抽取3人，4人，1人. ...............................6分
（Ⅲ）
分.
............................................12分 19.解：
（1
）,2,,2,BC CD BC CD BD EA ED EA ED AD ⊥===⊥===由可得且可得 又
又平面平面，平面
.....................................4分
（2）如图建立空间直角坐标系
设平面的法向量
设直线与平面所成的角为，得
即直线与平面所成的角的正弦值为 (3)设[],0,1,DC (2,2,0),(22,2,2),(0,2CF CE λλ=∈=--得所以 设平面的法向量 ...................................10分 因为平面的法向量 且平面BDF 所以 所以
故在线段上存在一点F (靠近C 点处的三等分点处)，
使得平面 ......................................12分
20.解：（Ⅰ）：，：，
在直线上运动，在直线上运动，
,， …………………… 2分 由已知得直线，且
得，
即，亦即， 由
所以动点的轨迹的方程为x 24＋y 2
3＝1 …………………… 4分
（Ⅱ）解法一：当直线l ⊥x 轴时，得A (－1，32)、B (－1，－3
2
)，
S △AOB ＝12·|AB |·|OF 1|＝12×3×1＝3
2
，不符合题意． ………………………………5分
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，k ≠0， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋，x 24＋y 23＝1，
消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 显然Δ＞0成立，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8k 2
3＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.
又|AB |＝
x 1－x 2
2
＋
y 1－y 2
2
＝
x 1－x 2
2
＋k 2x 1－x 2
2
＝
1＋k 2
x 1－x 22
＝
1＋k
2
x 1＋x 2
2
－4x 1·x 2＝
1＋k
2
64k 4
＋4k 2
2－
k 2－3＋4k 2
，
即|AB |＝ 1＋k 2
·12k 2＋13＋4k 2＝k 2＋
3＋4k 2. ………………………8分
又圆O 的半径r ＝|k ×0－0＋k |1＋k 2＝|k |
1＋k 2， 所以S △AOB ＝12·|AB |·r ＝12·
k 2＋3＋4k 2
·|k |
1＋k 2
＝6|k |1＋k 23＋4k 2＝627.
化简得17k 4＋k 2－18＝0，即(k 2－1)(17k 2＋18)＝0，
解得k 21＝1，k 2
2＝－1817
(舍)， …………………………………10分 所以r ＝|k |1＋k 2＝2
2
，
故圆O 的方程为x 2＋y 2＝1
2. ……………………………………12分
解法二：设直线l 的方程为x ＝ty －1，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ty －1，x 24＋y 23
＝1，消去x ，
得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0.
因为Δ＞0恒成立，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1·y 2＝－9
4＋3t 2， 所以|y 1－y 2|＝
y 1＋y 22－4y 1·y 2
＝
36t 2
＋3t 2
2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2
. ………………………………………8分 所以S △AOB ＝1
2·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2
＝627.
化简得18t 4－t 2－17＝0，即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0，
解得t 21＝1，t 2
2＝－1718
(舍)． …………………………………………10分又圆O 的半径为r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝1
1＋t 2
，
所以r ＝11＋t
2＝2
2， 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝1
2 ………………………………………12分
21.解：（Ⅰ） 处取极值
为所满足的关系. ............4分 （Ⅱ）
当时，
.................................6分
当时，
ⅰ）若时，在单调递减
故可得...........................8分
ⅱ）若时
减
.......................10分
ⅲ）若时
，且..............11分
综上：.............................12分
22.解：（1）连接
是切线知
………………..5分
（2）
…………….10分
23.解：（1）
…………………4分
(2)当直线与圆相切时
……………7分
当直线过（0,0）点时
……………………………9分
综上：……………………………10分
24.解：（1）设
由图象可知，的解集………………………5分（2）当时，可化为
对恒成立，………………10分。