经典数学悖论

经典数学悖论
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。

解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。

这是第
一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论
（一）由自指引发的悖论
以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。

１－１谎言者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。

”这就是这个著名悖论的来源。

《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：,克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒?”（《提多书》第一章）。

可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有
兴趣。

人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：
１－２“我在说谎”
如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又
在说谎。

矛盾不可避免。

它的一个翻版：
１－３“这句话是错的”
这类悖论的一个标准形式是：如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ，非Ａ发生则推导出Ａ，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。

拓扑学中的单面体是一个形像的表达。

哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。

他在《我的哲学的发展》
第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所
公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。

这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。

在１９０３年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打
断了。

”
他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：,不论我说什么都是假的?。

事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。

只是把
这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。

”　（同上）
罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命
题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。

”但是这一方法并没有取得成效。

“１９０３年和１９０４年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。

”（同上）
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。

但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解
决的争论的书。

”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。

接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。

”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是
克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。

但是在集合论里，问题并不这么简单。

１－４理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。

”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。

这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。

有言在先，他
应该给自己理发。

反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给
自己理发的人理发，他不能给自己理发。

因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。

这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。

这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。

显然，这里
也存在着一个不可排除的“自指”问题。

１－５集合论悖论
“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。

”
人们同样会问：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应属于Ｒ。

如果Ｒ包
含自身的话，Ｒ又不属于Ｒ。

继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，１９３１年歌德尔（Kurt Godel ，１９０６－１９７８，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。

这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。

例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。

１－６书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。

那么它列不列出自己的书名？
这个悖论与理发师悖论基本一致。

１－７苏格拉底悖论
有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０－前３９９）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。

他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。

但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。

在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底
也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。

苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。

”
这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。

古代中国也有一个类似的例子：
１－７“言尽悖”
这是《庄子·齐物论》里庄子说的。

后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就
不悖吗？我们常说：
１－７“世界上没有绝对的真理”
我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。

１－８“荒谬的真实”
有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。

悖论（ｐａｒａｄｏｘ）来自希腊语“para＋dokein”，意思是“多想一想”。

这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。

1.唐·吉诃德悖论
小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问
题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。

一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。

”
旅游者被送到国王那里。

国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。

如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。

实在是左右为难！
2.梵学者的预言
一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。

苏椰：你是一个大骗子，爸爸。

你根本不能预言未来。

学者：我肯定能。

苏椰：不，你不能。

我现在就可以证明它！
苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。

她说：
“我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。

请你预言它究竟是不是会发生，
在这张白卡片上写下,是?字或,不?字。

要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖
到以后好吗？”
“好，一言为定。

”学者在卡片上写了一个字。

3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：“在下午3点以前，你将写一个,不?字在卡片上。

”
学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：“在下午3点以前，写一个,不?字在卡片上”这一件事并未发生。

但如果他在卡片上写的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上
的事不会发生，但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个,不?字。

苏椰笑了：“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。

”
3.意想不到的老虎
公主要和迈克结婚，国王提出一个条件：
“我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。

迈克必须顺次
序开门，从1号门开始。

他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。

这只老
虎的出现将是料想不到的。

”
迈克看着这些门，对自己说道：
“如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。

可是，国王说我不能事先
知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。

”
“五被排除了，所以老虎必然在前四个房间内。

同样的推理，老虎也不会在最后一个房间——第四间内。

”
按同样的理由推下去，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。

迈克十分快乐，他满怀信心地去看门。

使他惊骇的是，老虎从第二个房间跳了出来。

迈克的推理并没有错，但他失败了。

老虎的出现完全出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。

也许，迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。

迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。

4.钱包游戏
史密斯教授和两个学生一道吃午饭。

教授说：“我来告诉你们一个新游戏。

把你们的钱包放
在桌子上，我来数里面的钱。

钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。

”
学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。

所以
赢的要比输的多，这个游戏对我有利。

”
同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。

请问，一个游戏怎么会对双方都有利呢？
5.一块钱哪儿去了？
一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三张。

那天，这60张唱片卖光了。

30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。

第二天，老板又拿出60张唱片。

他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。

老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。

这一块钱到哪儿去了呢？
6.惊人的编码
外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。

赫尔曼：“你何不带一套大英百科全书回去？这套书最全面地汇总了我们的所有知识。

”基塔：“可惜，我带不走那么重的东西。

不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这
根金属棒上作个标记，就代表了百科全书中的全部信息。

”真是再简单不过了！
基塔先生是怎样做到的呢？
基塔：“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。

例如cat一词就编为3－0－1－0－22。

我用高级袖珍计算机快速扫描，就能把百科全书的全部内容转
变为一个庞大的数字。

前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如
0.2015015011……
基塔先生在金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而a／b刚好等于上面那个十进制分数值。

基塔：“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值；根据编码的规定，你们的百科全
书就被破译出来了。

”
这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了！
7.不可逃遁的点
帕特先生沿着一条小路上山。

他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。

第二天早晨沿同一小路下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑学老师克莱因。

克莱因：“帕特，你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你
昨天上山时通过这点的时刻完全相同？”
帕特：“这绝不可能！我走路时快时慢，有时还停下来休息。

”
克莱因：“当你开始下山时，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨
天登山时完全相同。

你和这个替身必定要相遇。

我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。

……”
帕特明白了。

你明白了吗？
8.橡皮绳上的蠕虫
橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。

蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡
皮绳每过1秒钟就拉长1公里。

如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？
乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。

但细心的读者会想到：随着橡皮绳的
每次拉伸，蠕虫也向前挪了。

如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就是（推导过程从略）：
当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。

9.棘手的电灯
一盏电灯，用按钮来开关。

假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。

那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？这个问题实在是难！
回数猜想
一提到李白，人们都知道这是我国唐代大诗人的名字。

如果把“李白”两字颠倒一下，变成“白李”，这也是一个人的名字，此人姓白名李。

像这样正着念、反着念都有意义的文字叫做“回文”。

王融作有《春游回文诗》；“风朝指锦幔，月晓照莲池。

”反过来读：“池莲照晓月，幔锦指朝风。

”回文与数学里的“对称”　相似。

如果一个数，从左右来读都一样，就称它为回文式数。

比如、101、32123、9999等都是回文式数。

数学中有名的“回数猜想”之谜，至今没有解决。

你任取一个数，再把这个数倒过
来，并将这两个数相加；然后这个和数再倒过来，与原来的和数相加。

重复这个过程，一定
能获得一个回文式数。

举个例了，比如68，按上述做法进行运算，只需要3步就可以得到一个回文式数1111。

68＋86=154
154＋451=605
605＋506=1111
至今没有人能确定这个猜想是对还是错。

196这个三位数也许能成为“回数猜想”不成立的反证。

因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍没有获得回文式数。

但是也没有人
能证明这个数永远产生不了回文式数。

数学家对同时是质数的回文式数进行了研究，但是还没有人能证明这种想法是对的。

数学家还猜想有无穷个回文质数对，比如30103和30203，它们的特点是中间的数字是连续的，而
其他数字都是相等的。

在回文式数中平方数是非常多的，比如：
121=11的平方
12321=111的平方
1234321=1111的平方
……
12345678987654321=111111111的平方
立方数也有类似情况，如：
1331=11的立方
1367631=111的立方
有趣的回文数，至今还有许多不解之谜。

我们寄希望于未来的数学家去解开这个谜。

托尼对做统计工作的爸爸斯坦·斯达特曼说：“爸爸，请你给我和弟弟查理出几道趣题，好吗?”“当然好。

”爸爸说，“我很乐意接受你的提议。

”
于是，父子之间有关趣题的讨论便开始了。

1、“先说第一道。

”爸爸说，“有一位女士养了10只母狗，却没有1只母狗生了10只小狗。

必定至少有两只母狗生有同样多的小狗，是吗?”
“未必。

”托尼答道。

“我认为必定是这样。

”查理持不同意见。

兄弟俩谁说的对?为什么?
2、“在第一题中，”爸爸补充说，“如果10只母狗每只至少生有1只小狗，但最多不到10只小狗。

你俩想一想，答案又如何呢?”
“必定至少有两只母狗生有同样多的小狗。

”托尼的回答很肯定。

“未必是这样。

”查理答道。

兄弟俩谁说的对?为什么?
3、“有甲、乙两个人在喝茶。

”爸爸接着又出题了，“其中甲对乙说：,我敢跟你打赌，此时
此刻我衣袋里的钱至少是你的两倍!?乙听后很不服气，对甲说：,我也敢跟你打赌，此时此刻我衣袋里的钱刚好是你的两倍!?”
“结果，”爸爸继续说，“这两个人要么就都赢了，要么就都输了。

你们能说出这两个人是都
赢了还是都输了呢?”
“能说出，显然都输了。

”托尼说。

“不能说出，也有可能都赢了。

”查理说。

兄弟俩谁说的对?为什么?
4、“昨天，我去拜访了一位叫吉米的朋友，吉米的家有两个花园。

”爸爸的新题又开始了，“我数了一下其中一个花园里的花，刚好是50朵。

不过这些花只有两种颜色——红的和蓝的。

然后我观察到，不论我摘哪两朵花，其中必定有1朵是蓝的。

据此，你们能说出红花和蓝花不能说出，由于这道题所给的条件不够充分，因此无法解。

”托尼摇着头说。

各有多少吗?”“
“完全能说出，由于这道题所给的条件足够充分，因此可以解。

”查理点着头说。

兄弟俩谁说的对?为什么?
5、“在吉米家的另一个花园里，种有红、黄、蓝3种花。

”爸爸眯缝着眼，一字一顿地微笑道，“我观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是蓝的；我还观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是红的。

据此就可以类推——不论我摘哪3朵花，至少有1朵是黄的吗?”
“可以类推。

”托尼说。

“不能类推。

”查理说。

兄弟俩谁说的对?为什么?
神奇的“缺8数”
“缺8数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。

清一色
菲律宾前总统马科斯偏好的数字不是8，却是7。

于是有人对他说：“总统先生，你不是挺喜
欢7吗？拿出你的计算器，我可以送你清一色的7。

”接着，这人就用“缺8数”乘以63，顿
时，777777777映入了马科斯先生的眼帘。

“缺8数”实际上并非对7情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的数都“一视同仁”的：你只要分别用9的倍数（9,18……直到81）去乘它，则111111111,222222222……直到999999999都会相继出现。

三位一体
“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。

例如：
12345679×12=148148148
12345679×15=185185185
12345679×57=703703703
轮流“休息”
当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性
质：乘积的各位数字均无雷同。

缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。

另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。

让我们看一下乘数在区间[10—17]的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。

12345679×10＝123456790（缺8）
12345679×11＝135802469（缺7）
12345679×13＝160493827（缺5）
12345679×14＝172839506（缺4）
12345679×16＝197530864（缺2）
12345679×17＝209876543（缺1）
乘数在[19—26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。

乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有
趣了！
一以贯之
当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。

随便看几个例子：
（1）乘数为9的倍数
12345679×243＝2999999997，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。

（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数
12345679×84＝1037037036，只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到“三位一体”现象。

（3）乘数为3K＋1或3K＋2型
12345679×98＝1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的2，但据上所说，只要把乘积
中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，而根据上面
的“学说”可知，此时正好轮到1休息，结果与理论完全吻合。

走马灯
冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全不变，表现为周期性的重复。

“缺8数”也有此种性质，但其乘数是相当奇异的。

实际上，当乘数为19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。

深入的研究显示，当乘数为一公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”现象。

例如：
12345679×28＝345679012
12345679×37＝456790123
回文结对携手同行
“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：
12345679×4＝49382716
12345679×5＝61728395
前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数？（但有微小的差异，即
5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。

）这样的“回文结对，携手并进”现象，对13，14；22，23；31，32；40，41等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等
于9）也应如此。

例如：
12345679×67＝827160493
12345679×68＝839506172
遗传因子
“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特性，所以这
个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。

例如50672839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。

我们看到，506172839×3＝1518518517。

如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。

追本穷源
“缺8数”实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为
1/81＝0.012345679。

在0.012345679中，为什么别的数码都不缺，应有尽有，而唯独缺少8呢？
我们看到，1/81＝1/9×1/9。

把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9＝0.1。

如果你不怕麻烦，当然也可把它看成是0.1111……直到无穷。

无穷多个1的自乘，能办得到吗？不妨先从有限个1的平方来试试看。

很明显：11的平方=121，111的平方=12321，……，直到111111111的平方
=12345678987654321。

但现在是无穷个1相乘，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？
利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。

循环小数与循环群、周期现象的研究正方兴未艾，它已引起许多人的浓厚兴趣与密切关注。

由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微
结构。

数趣
“数字是万物之本”，数字学家毕达哥拉斯的这句话常常被人引证。

甚至对于“什么是朋友”这样的问题，他也可用数字加以回答：“朋友就是你的另一个我，其关系就如220和284。

”友好数对
该数对的神秘在于：所有该数的整除数之和（包括1，但不包括该数本身）等于另一个数。

220的整除数之和为1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110=284，284的整除数之和为
1＋2＋4＋71＋142=220。

有1800年之久，人们只知道这一数对是“友好”数对。

直至1636年，业余数学家皮勒才成功地发现了第二数对：17296和18416。

今天，数学家已发现了1200对这样的数对，其中最大的一对是111448537712和118853793424。

花瓣与小兔的数字之美
雷奥那多将阿拉伯数字引入欧洲，他自称费波南希。

他在观察小白兔的繁殖时发现了值得注
意的数字规律：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……其特点是前两个数字之
和即为下一个数。

直至今天，这一特性仍受到人们的关注，因为费波南希数字常常令人吃惊
地出现在自然界中。

比如：许多花瓣的数字正是这样。

为什么13是个倒霉的数字
它的基本设想来自威廉姆·福利斯、一位柏林医生的理论，即：人类发展史中的一切都可用
一个简单公式“23X＋28Y”来计算，X和Y是正或负的整数。

比如：一年有365天，因为365=23×11＋28×4；法国革命开始于23×23＋28×45=1789年；人类细胞核中有46对染色体=23×2+ 28×0；《圣经》中动物数是23×18＋28×9=666；而13是个倒霉的数字，因为13=23×3＋28×（-2），——式中出现了负数。

正如美国数学家诺伯特·维纳尔所指出的“数字是真理的源泉”，“但数字更多的是将人们引入
超现实的境地。

”
构建数学金字塔
用数字1、2、3……９能排出不少有趣的金字塔加法算式。

大家都知道，做加法时非得要求
把每个加数的个位对齐不可，所以我们等式中的金字塔都只能从侧面来欣赏，但是这并不影响它的赏心悦目。

一、把1、2、3……９这9个数字按照由小到大的顺序从上往下循环排列，逐步增加数字的
个数，直到全部数字都出现在同一行中。

这时又接着从大到小地往下排列各数，逐步减少
数字，直到只剩下最后1个数字为止。

你就获得了第一座金字塔，这座金字塔的和竟是——1234567890!你觉得惊奇吗?换一下排列的方向，你又能获得第二座金字塔，两座金字
塔的结果相同。

（图A）
二、让我们再来建造第二批金字塔。

这次只限于使用所有的奇数数字1、3、5、7、9。

我们依然由小到大从上往下排，在达到最高的9个数字时，再由大到小地排下去，它们每行的
数字也依旧是从增加到减少，形成一个横卧的金字塔。

我们依然也列出两种方向的排法。

你猜怎么着?这次的结果依然和第一批金字塔相同：还是1234567890!真是十分奇妙!（图B）三、下面来换上所有的偶数如何?但是我们不得不排除掉数字0，因为它在加法中不起多大。