北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第7章 不等式、推理与证明 第5节 数学归纳法

(+1)2
+…+
+
3×5
(2-1)(2+1)
(2+1)(2+3)
+1
=
2+1 2
+
+1
2+3
+1
=
2+1
(+2)(2+1)
·
2(2+3)
=
=
(+1)
(+1)2
+
2(2+1)
(2+1)(2+3)
(+1)[(+1)+1]
,
2[2(+1)+1]
即当 n=k+1,时等式也成立.
由 f(3)=70 得 9a+3b+c=70,③
联立①②③,解得
(+1)
a=3,b=11,c=10.∴f(n)=
(3n2+11n+10)(n∈N+).
12
证明:当 n=1 时,显然等式成立;假设当 n=k(k∈N+)时,等式成立,
即
(+1)
(+1)(+2)(3+5)
2
f(k)= 12 (3k +11k+10)=
由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.
考点三
归纳—猜想—证明
1
例3有一个关于正整数n的恒等式1×22+2×32+…+n(n+1)2= 12 n(n+1)(?),
其中问号处只能看出它是关于n的二次多项式,具体的系数看不清楚.请你
猜想这个恒等式的形式,并用数学归纳法证明.
解:设f(n)=1×22+2×32+…+n(n+1)2,
5
4
7
6
× × ×…×
2+1
2
> + 1对任意的 n∈N+都成立,
规律方法 用数学归纳法证明不等式的注意点
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考
虑应用数学归纳法.
(2)证明的关键是:由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使
用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基
1
1
+…+
+
2×3
(+1)
< ,则当 n=k+1 时,
1
(+1)(+2)
< +
1
.
(+1)(+2)
因此,欲证当 n=k+1 时,原不等式成立,
只需证明 +
1
(+1)(+2)
< + 1成立,即证 + 1 − >
1
,
(+1)(+2)
从而转化为证
1
+1+
>
1
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立;
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当n=
k+1
时
命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
上述证明方法叫作数学归纳法.
22
2
+ 3×5+…+(2-1)(2+1)
12
时,左边=
1×3
=
1
1×2
,右边=
3
2×3
=
=
(+1)
(n∈N+).
2(2+1)
1
,等式成立.
3
(2)假设当
12
n=k(k∈N+)时,等式成立,即
1×3
+
22
2
+…+
3×5
(2-1)(2+1)
则当 n=k+1 时,
12
1×3
+
22
2
1
+1
-k
=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1],
即当n=k+1时,等式仍然成立.
由(1)(2)可知f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+).
考点二
用数学归纳法证明不等式
例2已知数列{bn}的通项公式为bn=2n,
求证:对任意的
解:由
=
2+1
2
×
5
4
7
6
× × ×…×
2+3
2+2
4( 2 +3+2)
4(+1)
2+1
2
> +1×
=
> + 1成立,
2+3
2+2
4(+1)(+2)
4(+1)
=
(2+3)2
4(+1)
= +2=
=
所以当 n=k+1 时,不等式也成立.
3
由①②可得不等式
2
即原不等式成立.
(2)根据计算结果,可以归纳出
证明:当
2×
1
,x
4=f(x3)=1
2
+2
2
2
xn=+1(n∈N+).
2
n=1 时,x1=1+1=1,符合上式;
假设当 n=k(k∈N )时,公式成立,即
*
2
那么,xk+1=
+2
=
2×
2
+1
2
+2
+1
=
4
2+4
所以当 n=k+1 时,公式也成立.
综上,当 n∈N
本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.
对点训练 2 求证:
1
1×2
+
1
1
+…+
2×3
(+1)
证明:(1)当 n=1 时,左边=
1
1×2
=
< ,n∈N+.
1
<1,所以原不等式成立.
2
(2)假设当 n=k(k∈N*)时,原不等式成立,
即有
1
1×2
1
1×2
+
+
1
1
+…+
2×3
(+1)
由(1)(2)可知等式对任何 n∈N+都成立,
12
故
1×3
+
22
2
+…+
3×5
(2-1)(2+1)
=
(+1)
(n∈N+).
2(2+1)
=
(+1)
,
2(2+1)
规律方法 1.用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构
成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.
2.由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差
异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过
程.
3.不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.
对点训练 1 设
1
f(n)=1+2
1
1
+ 3+…+ (n∈N+).
求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+).
证明:(1)当n=2时,左边=f(1)=1,
2
时,xn= .
+1
*
1
2
=
2
xk=+1,
2
,
(+1)+1
=
2
.
5
本 课 结 束
1
2
右边=2 1 + − 1 =1,左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立,
即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1],
那么,当n=k+1时,
f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)
=(k+1)f(k)-k=(k+1) ( + 1) −
第七章
第五节 数学归纳法
内
容
索
引
01
强基础•固本增分
02
研考点•精准突破
课标解读
1.掌握数学归纳法的原
理与一般步骤.
2.能用数学归纳法证明
一些简单的数学命题.
衍生考点
核心素养
1.用数学归纳法证明等式
2.用数学归纳法证明不等式
3.归纳—猜想—证明
1.逻辑推理
2.数学运算
强基础•固本增分
1.数学归纳法
1 +1
n∈N+,不等式
1
+1
bn=2n,得

1 +1
所以
1
2 +1
·
2
=
2 +1
+1
· ·…·
2

> + 1都成立.
2+1
,
2
+1
·…·

3
2
5
4
7
6
= × × ×…×
3
用数学归纳法证明不等式2
5
4
7
6
× × ×…×
2+1
,
2
2+1
2
对一般结论利用数学归纳法进行证明
2
对点训练3(2023甘肃兰州检测)设f(x)=
,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N+).
+2
(1)求x2,x3,x4的值;
(2)归纳数列{xn}的通项公式,并用数学归纳法证明.
2×
2
3
2
解:(1)x2=f(x1)=3,x3=f(x2)=2
+2
=
3
=
,
12
12
即当 n=k+1 时,等式也成立.
综上,1×2 +2×3 +…+n(n+1)
2
2
(+1)
=
(3n2+11n+10)(n∈N+).
12
2
规律方法 “归纳—猜想—证明”的一般环节
计算
归纳、猜想
证明
根据条件,准确计算出前若干项,这是归纳、猜想的前提
通过观察、分析、比较、综合、联想,猜想出一般的结论
> + 1(n∈N+)成立,
证明如下:
①当
3
n=1 时,左边=2,右边=
②假设当
则当
3
2,因为2
> 2,所以不等式成立.
3
n=k(k∈N+)时不等式成立,即2
3
n=k+1 时,
2
4 2 +12+9
4(+1)
>
( + 1) + 1,
5
4
7
6
× × ×…×
4 2 +12+8
4(+1)
2 +3+2
,也就是证 2 + 3 + 2 > + 1 + .
又( 2 + 3 + 2)2-( + 1 + )2=k2+k+1-2 ( + 1)=( ( + 1)-1)2>0,
从而 2 + 3 + 2 > + 1 + ,
于是当n=k+1时,原不等式也成立.
∴f(1)=1×22=4,f(2)=1×22+2×32=22,f(3)=1×22+2×32+3×42=70,
假设存在常数 a(a≠0),b,c 使得
则
(+1)
f(n)= 12 (an2+bn+c)对一切正整数
n 都成立,
1×2
f(1)= (a+b+c)=4,∴a+b+c=24,①
12
同理,由 f(2)=22 得 4a+2b+c=44,②
微点拨推证n=k+1时一定要用上n=k时的假设,否则就不是数学归纳法.
微思考数学归纳法证明数学命题时初始值n0一定是1吗?
提示:不一定.要根据题目条件或具体问题确定初始值.
2.数学归纳法的框图表示
研考点•精准破
考点一
例
用数学归纳法证明等式
12
1.用数学归纳法证明:1×3
证明:(1)当 n=1
,
12
则当 n=k+1 时,
f(k+1)=f(k)+(k+1)[(k+1)+1]
2
(+1)(+2)(3+5)
2
=
+(k+1)[(k+1)+1]
12
(+1)(+2)
(+1)(+2)(+3)(3+8) (+1)[(+1)+1][(+2)+1][3(+1)+5]
2
= 12
(3k +17k+24)=