高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角
形 4.3
三角函数的图象与性质教师用书
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π
2，
－1)，(2π，0)．
余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π
2，0)，(π，－1)，
(
3π
2
，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
【知识拓展】 1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1
4
个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性
若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则
(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π
2＋k π(k ∈Z )；
(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )
(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >
22，则x >π
4
.( × )
1．(教材改编)函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π
2
]上的值域为( )
A ．[－32，32]
B ．[－3
2，3]
C ．[－332，332]
D ．[－332
，3]
答案 B
解析 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π
6]，
sin(2x －π6)∈[－12，1]，故3sin(2x －π6)∈[－3
2，3]，
即f (x )的值域为[－3
2
，3]．
2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪ x ≠k π＋π
4，k ∈Z
B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪ x ≠k π2＋π
8，k ∈Z
C.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π2＋π
4，k ∈Z
答案 D
解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π
4
，k ∈Z ，
∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π2＋π
4，k ∈Z
. 3．(2016·绍兴期末)函数f (x )＝2cos(4x ＋π3)－1的最小正周期为________，f (π3
)＝________. 答案
π
2
0 解析 T ＝2π4＝π
2
，
f (π
3)＝2cos(43π＋π3)－1＝2×cos 53
π－1＝0.
4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6的值为________． 答案 2或－2
解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ，
∴x ＝π
6
是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝±2.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π
6
)的定义域是____________．
(2)(2016·台州模拟)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π
3，a ]，若f (x )的值域是[－
1
2
，1]，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1){x |x ≠
k π
2
＋
π6，k ∈Z } (2)[π
3
，π] 解析 (1)由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π
6，k ∈Z ，
所以f (x )的定义域为{x |x ≠
k π
2＋π
6
，k ∈Z }． (2)∵x ∈[－π3，a ]，∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π
6]，
∵x ＋π6∈[－π6，π2]时，f (x )的值域为[－1
2，1]，
∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π
3≤a ≤π.
思维升华 (1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x 和cos x 的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．
(1)函数y ＝lg sin x ＋
cos x －1
2
的定义域为 .
(2)函数y ＝2sin(πx 6－π
3
) (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为__________．
答案 (1)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2k π＜x ≤π
3＋2k π，k ∈Z
(2)2－ 3
解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪
⎧
sin x ＞0，cos x －1
2≥0，
即⎩
⎪⎨⎪
⎧
sin x ＞0，cos x ≥1
2，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3
＋2k π≤x ≤π
3＋2k πk ∈Z ，
∴2k π＜x ≤π
3
＋2k π(k ∈Z )，
∴函数的定义域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z . (2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π
6，
∴－
32≤sin(πx 6－π
3
)≤1， 故－3≤2sin(πx 6－π
3
)≤2.
即函数y ＝2sin(πx 6－π
3) (0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.
∴最大值与最小值的和为2－ 3. 题型二 三角函数的单调性
例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )
B.⎝
⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2
＋5π12(k ∈Z ) C.⎝
⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )
D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是
________．
答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，54
解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π
2(k ∈Z )，
得
k π
2－π12＜x ＜k π2＋5π
12
(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. (2)由π
2＜x ＜π，ω＞0，得
ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π
4
， 又y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π
2]，k ∈Z ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
ωπ2＋π4≥π
2＋2k π，ωπ＋π4≤3π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得4k ＋12≤ω≤2k ＋5
4
，k ∈Z .
又由4k ＋12－(2k ＋54)≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈[12，5
4]．
引申探究
本例(2)中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π
2，π)上单调递增，则ω的取值
范围是____________． 答案 [32，7
4
]
解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧
ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π
4
≤2k π，k ∈Z ，
解得4k －52≤ω≤2k －1
4
，k ∈Z ，
又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －1
4
＞0，k ∈Z ，
得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，74. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或
y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式
求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
(1)函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． (2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π
2]上单调递减，
则ω等于( ) A.2
3 B.32 C ．2
D ．3
答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)B 解析 (1)已知函数可化为f (x )＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，
欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z .
故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．
(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π
2ω
时，
y ＝sin ωx 是增函数；
当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π
2ω
时， y ＝sin ωx 是减函数．
由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，
在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝3
2
.
题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性
例3 (1)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④
D ．①③
(2)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π
3
)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 (1)A (2)2或3
解析 (1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. (2)由题意得，1<π
k
<2，
∴k <π<2k ，即π
2<k <π，
又k ∈Z ，∴k ＝2或3. 命题点2 对称性
例4 (2016·宁波模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (
3π
4－x )( )
A ．是奇函数且图象关于点(π
2，0)对称
B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称
C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π
2对称
D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 答案 C
解析 ∵当x ＝π
4时，函数f (x )取得最小值，
∴sin(π4＋φ)＝－1，∴φ＝2k π－3π
4(k ∈Z )，
∴f (x )＝sin(x ＋2k π－3π4)＝sin(x －3π
4)，
∴y ＝f (3π
4
－x )＝sin(－x )＝－sin x,
∴y ＝f (3π4－x )是奇函数，且图象关于直线x ＝π
2对称．
命题点3 对称性的应用
例5 (1)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝
________.
(2)若函数y ＝cos(ωx ＋π6) (ω∈N *
)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
答案 (1)－π
6 (2)B
解析 (1)由题意可知2x 0＋π
3
＝k π，k ∈Z ， 故x 0＝
k π
2－π
6
，k ∈Z ， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴－23≤k ≤13，k ∈Z ，
∴k ＝0，则x 0＝－π
6
.
(2)由题意知ω6π＋π6＝k π＋π
2 (k ∈Z )，
∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *
，∴ωmin ＝2.
思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．
②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π
|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)
的最小正周期为π
|ω|
.
(1)(2016·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝2sin(π2x ＋π
5
)，若对任意的实数
x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．π
D ．2π
(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π
3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
答案 (1)A (2)A
解析 (1)由题意可得|x 1－x 2|的最小值为半个周期，
即T 2＝π
ω
＝2. (2)由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π
3＋φ＋2π)
＝3cos(2π
3＋φ)＝0，
∴
2π3＋φ＝k π＋π
2
，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.
4．三角函数的性质
考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．
典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝
⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1
4，k ＋34，k ∈Z
D.⎝
⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 都有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π
8)
＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3
D ．－3
(3)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
解析 (1)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫54－14＝2， ∴
2π
ω
＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π
4，
∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.
由2k π<πx ＋
π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋3
4
，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝
⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.
(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π
8对称，又函数f (x )
在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)∵ω＞0，－π3≤x ≤π
4，
∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ
4.
由已知条件知－ωπ3≤－π2，
∴ω≥3
2
.
答案 (1)D (2)C (3)3
2
1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4) (ω>0)的最小正周期为π，则f (π
8)等于( )
A ．1 B.1
2 C ．－1 D ．－12
答案 A
解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，
∴f (π8)＝sin(2×π8＋π4)＝sin π
2
＝1.
2．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( ) A ．(－π
4，0)
B ．(0，π
2)
C ．(π2，3π
4)
D ．(3π
4
，π)
答案 B
解析 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为[k π，k π＋π
2]，k ∈Z ，故只有B 项满足．
3．关于函数y ＝tan(2x －π
3)，下列说法正确的是( )
A ．是奇函数
B ．在区间(0，π
3)上单调递减
C ．(π
6，0)为其图象的一个对称中心
D ．最小正周期为π 答案 C
解析 函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错误；在区间(0，π
3)上单调递增，B 错误；
最小正周期为π
2
，D 错误．
∵当x ＝π6时，tan(2×π6－π
3)＝0，
∴(π
6
，0)为其图象的一个对称中心，故选C.
4．(2016·余姚模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx －π
6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝
π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.3π5 B.6π5 C.
9π5 D.12π5
答案 B
解析 由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1 (x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－
π
6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，∴ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π
5
.
5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π
8
)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )
A ．[－π8，3π
8]
B ．[π8，9π8]
C ．[－3π8，π
8]
D ．[π8，5π8
]
答案 C
解析 由f (π
8
)＝－2，得
f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4
＋φ)＝－2，
所以sin(π
4＋φ)＝1.
因为|φ|<π，所以φ＝π
4
.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
解得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8，k ∈Z .
当k ＝0时，－3π8≤x ≤π
8
，故选C.
6．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π
3]上是单调减函数，且函
数值从1减少到－1，则f (π
4
)等于( ) A.1
2 B.22
C.32
D ．1
答案 C
解析 由题意得函数f (x )的周期T ＝2(2π3－π
6)＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，
将点(π6，1)代入上式得sin(π3＋φ)＝1 (|φ|<π2)，所以φ＝π
6，
所以f (x )＝sin(2x ＋π
6
)，
于是f (π4)＝sin(π2＋π6)＝cos π6＝3
2
.
7．(2016·金丽衢十二校联考)函数f (x )＝4sin x cos x ＋2cos 2
x －1的最小正周期为________，最大值为________． 答案 π
5
解析 f (x )＝2sin 2x ＋cos 2x ＝5sin(2x ＋φ)，
tan φ＝1
2
，
所以最小正周期T ＝2π
2
＝π，最大值为 5.
8．函数y ＝cos 2
x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为_______________________________________．
答案
1－2
2
解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π
4，
∴t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
22，22. ∴y ＝－t 2
＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54
，
∴当t ＝－
22时，y min ＝1－22
. 9．(2016·金华模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1 (ω>0)在区间[－π2，2π
3]上是增函数，则ω
的取值范围是__________． 答案 (0，3
4
]
解析 方法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得f (x )的增区间是[2k πω－π2ω，2k πω＋π
2ω]，k ∈Z .
因为f (x )在[－π2，2π
3]上是增函数，
所以[－π2，2π3]⊆[－π2ω，π
2ω
]．
所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈(0，3
4]．
方法二 因为x ∈[－π2，2π
3]，ω>0.
所以ωx ∈[－ωπ2，2πω
3
]，
又f (x )在区间[－π2，2π
3]上是增函数，
所以[－ωπ2，2πω3]⊆[－π2，π
2]，
则⎩⎪⎨⎪⎧
－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，
又ω>0，得0<ω≤3
4
.
10．(2017·杭州质检)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋π
6)(ω>0，x ∈R )，最小正周期T ＝π，则
实数ω＝________，函数f (x )的图象的对称中心为______________，单调递增区间是___________． 答案 2 (
k π
2－π12，0)，k ∈Z (k π－π3，k π＋π
6
)，k ∈Z 解析 由题意知2πω＝π，得ω＝2，令2x ＋π
6＝k π，k ∈Z ，
得x ＝
k π
2－π
12
，k ∈Z ， 所以其对称中心为(
k π
2－π
12
，0)，k ∈Z ， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π3≤x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
所以其单调递增区间为[k π－π3，k π＋π
6]，k ∈Z .
11．(2015·北京)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2
x
2.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．
解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，
所以f (x )的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π
3≤π.
当x ＋π3＝π，即x ＝2π
3
时，f (x )取得最小值．
所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＝－ 3.
12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<φ<2π
3)的最小正周期为π.
(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；
(2)若f (x )的图象过点(π6，3
2)，求f (x )的单调递增区间．
解 ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2π
ω＝π，
∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．
(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对任意x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π
2.
(2)f (x )的图象过点(π6，3
2
)时，
sin(2×π6＋φ)＝32，即sin(π3＋φ)＝3
2.
又∵0<φ<2π3，∴π3<π
3＋φ<π，
∴π3＋φ＝2π3，φ＝π
3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π
3
)．
令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－5π12≤x ≤k π＋π
12，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递增区间为 [k π－5π12，k π＋π
12
]，k ∈Z .
*13.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.
(1)求常数a ，b 的值；
(2)设g (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．
解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，
∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，
∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，
g (x )＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x ＋π2＝－4sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫
2x ＋7π6－1
＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，
∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π
6，k ∈Z ，
其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π
2
，k ∈Z 时，
g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .
又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π
6
，k ∈Z 时，
g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3
，k ∈Z .
∴g (x )的单调减区间为⎝
⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。