北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第2章 函数的概念与性质 第9节 函数模型及其应用

480 元.
规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知条件利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
对点训练1(1) 南方某镇盛产杨梅,杨梅果味酸甜适中,有开胃健脾、生津止
渴、消暑除烦、抑菌止泻、降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短,当地
②当 x>0 时,x= 时取最小值 2 ;当 x<0 时,x=- 时取最大值-2 .
2.函数

f(x)=

上是递增的.

+ (a>0,b>0,x>0)在区间(0,

]上是递减的,在区间( ,+∞)
2.三种函数模型的性质
性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)

(3)反比例函数模型:f(x)= (k为常数,k≠0);

(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
于神农时代.现代研究结果显示,饮茶时,茶的温度最好不要超过60 ℃.一杯
茶泡好后置于室内,1分钟,2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃.给
出三个茶的温度T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函
数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(0<a<1);③T=20+b·at(b>0,0<a<1).根
(2)某市一乡镇响应号召,因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调
研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料x(单位:
5( 2 + 2),0 ≤ ≤ 2,
千克)满足如下关系: W(x)= 50 ,2 < ≤ 5,
肥料费用10x元,其他成本
1+
投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场售价大约为
AB=AE=
3
,∠A=∠B=∠E=90°,曲线段CD是圆心角为90°的圆弧,设该迷你
2
KTV横截面的面积为S,周长为L,则
π=3进行计算)

的最大值为

.(本题中取
答案:12-3 15
解析:设圆弧的半径为 r 0 < <
3
2
,则
3
BC=ED= -r,
2
所以周长
1
L=AB+BC+ +DE+EA=6- r,
(3)约经过多少年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上?(结果
为整数)(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
解:(1)依题意,一年后这种鸟类的个数约为1 000+1 000×8%=1 080.
两年后这种鸟类的个数约为1 080+1 080×8%≈1 166.
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只,并以平均每年8%的速度增
意函数的定义域,否则极易出错;
(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;
(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
对点训练2迷你KTV是一类新型的娱乐设施,外形通常是由玻璃墙分隔成
的类似电话亭的小房间,近几年投放在各大城市的商场中,受到年轻人的欢
迎.如图是某间迷你KTV的横截面示意图,其中
因为 lg 108=lg(33×22)=3lg 3+2lg 2,
所以 x≥
lg3
3lg3 +2lg2 -2
≈
0.477 1
3×0.477 1+2×0.301-2
=14.3,
约经过 15 年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的 3 倍或以上.
规律方法 1.有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数
加,则所求的函数关系式为y=1 000×1.08x,x∈N.
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000,得1.08x≥3两边取常用对数得:lg 1.08x≥lg 3,
即xlg 1.08≥lg 3.
考虑到 lg 1.08>0,故 x≥
lg3
,故
lg1 .08
x≥
lg3
108
lg
100
=
lg3
.
lg108 -2
5
当 2<x≤5
25
25
时,f(x)=780-30(1++1+x)≤780-30×2 1+ ·(1 + )=480.当且仅当
25
=1+x
1+
时,即 x=4 时等号成立.
因为 390<480,所以当 x=4 时,f(x)max=480.
答:当投入的肥料费用为 40 元时,该单株水果树获得的利润最大,最大利润是
考向1 构建一次、二次函数模型
例2 某公司为改善营运环境,年初以50万元的价格购进一辆豪华客车.已知
该客车每年的营运总收入为30万元,使用x年(x∈ N+ )所需的各种费用总计
为2x2+6x万元.
(1)该车营运第几年开始赢利(总收入超过总支出,今年为第一年);
(2)该车若干年后有两种处理方案:
①当赢利总额达到最大值时,以10万元价格卖出;
(n≤1)时,增长较慢;当n值较大(n>1)时,增长较快.
常用结论
“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量
成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度随x变
大而变慢.
研考点 精准突破
考点一
已知函数模型解决实际问题
例1(1)(2023江西教学质量监测)茶文化起源于中国,中国的饮茶历史据说始
∴该车营运第3年开始赢利.
(2)方案②合算.理由如下:
方案①:赢利总额y1=30x-(2x2+6x+50)=-2x2+24x-50=-2(x-6)2+22,
∴x=6时,赢利总额达到最大值为22万元.
∴6年后卖出客车,可获利润总额为22+10=32万元.
方案②:年平均赢利总额
-2 2 +24-50
镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于85%,则物流时间(从杨
梅采摘的时刻算起)不能超过(参考数据:log23≈1.6)(
A.20小时
B.25小时
C.28小时
D.35小时
)
(2)(2022山西晋中一模)某班同学在一次化学实验中发现,某固体溶于水时,
水中未溶解固体的质量M(单位:克)与放入水中的时间t(单位:分钟)满足以
≤60,即
2 解得
5
68 = 20 + ,
= 75.
4
5
≤
8
,所以
15
3lg2-lg3-lg5
t≥
2lg2-lg5
=
4lg2-lg3-1
≈2.814.故选
3lg2-1
(2)解:①由已知 f(x)=15W(x)-20x-10x=15W(x)-30x
15 × 5( 2 + 2)-30,0 ≤ ≤ 2,
单调 递增
单调 递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的
随 x 的增大逐渐表现
为与 y轴 平行
随 x 的增大逐渐表现
为与 x轴 平行
随 n 值变化
在(0,+∞)
上的增减
性
变化
值的比较
存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax
而各有不同
微点拨幂函数模型y=xn(n>0)可以描述增长速度不同的变化,当n值较小
2
面积 S=
3 2 2
-
2

所以
135
12−
1
2
= ×
1
≤12-2
当且仅当
9- 2
12-
1
2
+ ×r×
1
2
= ×
3
2
9
4
= −
2
.
4
-(12-)2 +24(12-)-135
1
=1212-
2
×2 (12-) ×
135
=12-3
12-
135
12-r= ,r=12-3
12-
=
π
3
3
t≤30log23-20≈48-20=28,即
物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过 28 小时.
(2)由题意,当 t=0 时,M=ea=9,所以 e-0.22t+a=9e-0.22t=3,
所以3,t=0.22
≈
1.1
=5.故选
0.22
B.
考点二
构建函数模型解决实际问题(多考向探究)
1 (),∈1 ,
(7)分段函数模型:y= 2 (),∈2 ,
3 (),∈3 ;

(8)对勾函数模型:y=x+ (a
为常数,a>0).
微点拨 1.形如

f(x)=x+ (a>0)的函数模型称为对勾函数模型,对勾函数的性

质:
①该函数在(-∞,- ]和[ ,+∞)上是递增的,在(- ,0)和(0, )上是递减的;
第二章
第九节 函数模型及其应用
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
衍生考点
1.了解指数函数、对数函数、
幂函数的增长特征,结合具
1.用函数图像刻画变化
体实例体会直线上升、指数
过程
增长、对数增长等不同函数
2.已知函数模型解决实
类型增长的含义.
际问题
2.了解函数模型(指数函数、
3.构建函数模型解决实
②当年平均赢利总额达到最大值时,以12万元的价格卖出.
问:哪一种方案较为合算?并说明理由.
解:(1)∵客车每年的营运总收入为30万元,使用x(x∈ N+)年所需的各种费用
总计为2x2+6x万元,若该车第x年开始赢利,则30x>2x2+6x+50,
即x2-12x+25<0,
∵x∈N+,∴3≤x≤9,
对数函数、幂函数、分段函
际问题
数等在社会生活中普遍使用
的函数模型)的广泛应用.
核心素养
1.数学建模
2.数学运算
3.直观想象
强基础 固本增分
1.常见的函数模型
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
=
15 ×
50
-30,2
1+
<≤5
75 2 -30 + 150,0 ≤ ≤ 2,
=
750
-30,2
1+
< ≤ 5.
B.
②由①f(x)=
75 2 -30 + 150,0 ≤ ≤ 2,
750
-30,2
1+
< ≤ 5,
当 0≤x≤2
1 2
时,f(x)=75(x- ) +147,f(x)max=f(2)=390;
15元/千克,且供不应求.记该单株水果树获得的利润为f(x)(单位:元).
①求f(x)的函数关系式;
②当投入的肥料费用为多少时,该单株水果树获得的利润最大?最大利润
是多少?
(1)B 解析:依据生活常识,茶的温度一般不会低于室内温度,因此选择模型③,
4
80 = 20 + ,
4
= ,
得到
5 因此 20+75·
r= .
2
2
× (12 − ) +
15,
15时,等号成立.(r=12+3 15舍去)
考向2 构建指数、对数函数模型
例3据观测统计,某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只,并以平均
每年8%的速度增加.
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数;
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式;
据生活常识,从这三个函数模型中选择一个,模拟茶的温度T(单位:℃)关于
茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的关系,并依此计算该杯茶泡好后到其
温度不高于60 ℃至少需要等待的时间约为(参考数据lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
(
)
A.2.72分钟
B.2.81分钟
C.2.92分钟
D.3.02分钟
50
y2=
=-2x+24=24-2


+
25

当 x=5 时,等号成立).
∴x=5时年平均赢利总额达到最大值4万元.
∴5年后卖出客车,可获利润总额为4×5+12=32万元.
∵两种方案的利润总额一样,但方案②的时间短,∴方案②合算.
≤4(当且仅
规律方法 解决一、二次函数模型问题的3个注意点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注
技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅在采摘之后的时间t(单位:小时)
与失去的新鲜度y之间满足函数关系y=
1
2 ,0 ≤ < 10,
1 000
,10 ≤ ≤ 100,
其中m,a为常
数.已知采用该种保鲜方法后,杨梅在采摘10小时之后失去10%的新鲜度,采
摘40小时之后失去20%的新鲜度.如今我国物流行业蓬勃发展,为了保证该
下关系:M=e-0.22t+a(a为常数),若把9克的该固体放入水中t分钟后变成3克,则
t约为(取ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)(
A.6分钟
B.5分钟
C.4分钟
D.3分钟
)
答案:(1)C (2)B
1
230 ,
=
10% = 10 ,
解析:(1)当 10≤t≤100 时,y=ma ,由题意可得
40 解得
20% = ,
=
t
1
×
10
2
1
3,
-
为使新鲜度不低于 85%,即不能失去超过 15%的新鲜度,
1
3


230 ,即230
则有
1
15%≥ ×
10
因此

2
2
30
3
log22 ≤log2(3×2 )=log23- ,即
-
2 ×
≤
3
3
×
2
1
2
23 =3×2 3 ,

2
≤log23- ,则
30