竞赛课件19：电阻等效方法ABC
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出
m
E Pm 4r
2
o
r R
电源输出功率随外电阻变化的图线
♠ ♠
对称法
对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对 称电路的“折叠”，将电路简化为基本的串并联电路。
电流叠加法
直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所 有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流 分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布．这就 是电流的可叠加性．对于一些并不具备直观的对称性的电路， 可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不 对称问题转化成具有对称性的问题加以解决 。
r0 2.5r0 5 40 r0 2.5r0 r0 7 7
B A
r 0 2
通过电源的电流由
6.0 I A 1.05A RAB 40 / 7
专题19-例3 波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形．他
将如图1所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点连 起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉， 得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经 过第二次分割就得到图3的图形．经三次分割后，又得到图4的图形．这是带有自 相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫．它的自相似性就是将其中 一个小单元（例如图4中的△BJK）适当放大后，就得到图2的图形．如果这个分 割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空．
解题方向:由于对称，可将AB中垂线上各电势点拆分，原
电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限 网络，其基本单元如图丙
A
B A
A
A
B B
A
R B An
R Rx 2R
R
n
Bn R Bn
乙 丙 甲 当n→∞时，多一个单元，只是使Rx按边长同比增大，即
2 RRx 2R 2R 2 R Rx 2 Rx R x 2 RRx 2R 2R 2 R Rx
解:
RAB
E D F G H
3 r 4
I L
B C
E H
R 2
R 4
D
R 2
I L B C
F
R 2
IR
2
H
G B A 甲
A
2R
乙
R 2 R 2
R 2
R 2
C
D
RCD
3 r 8间的电阻RAB．此框架是用同种细金 属制作的，单位长度的电阻为ρ．一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷， 如图所示．取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半．
Q外=I2Rt
2、内电路也有电阻r，当电流通过内 电路时，也有一部分电能转化为内能， 是多少？ 2
外电路
R
K
Q内=I rt
3、电流流经电源时，在时间t内 非静电力做多少功？产生多少电 能？ E电=W非=Eq＝EIt 4、以上各能量之间有什么关系？
内电路
E
r
根据能量守恒定律，非静电力做 的功应该等于内外电路中电能转化为 其他形式的能的总和。 W非=E外+E内
二、部分电路的欧姆定律
1、内容：导体中的电流I 跟导体两端的电压U成正比,
U 2、决定式: I R
跟导体的电阻R成反比．
适用: 线性电阻.
I
B A U
三、伏安特性曲线(I-U图线)
斜率=电阻的倒数
O
一、闭合电路:
1、用导线把电源、用电器连成一个闭合电路。 外电路:电源外部的用电器和导线构成外
电路.
说明：
E I Rr
U 外 IR 1、 是外电路上总的 电势降落，习惯上叫路端电压.
2、 是内电路上的电 U内 Ir 势降落，习惯上叫内电压.
3、
E IR Ir
E=U内 +U外
三、电池组的串并联
1、串联：
串 nE0
r串 nr0
2、并联：
并 E0
1 r并 r0 n
D
E
D K G B IJF
E
解:
2 R0 r 3 对分割一次后的图形 5 5 2 R1 r r 9 6 3
对分割二次后的图形
对三角形ABC,任意两点间的电阻
r B
5 r 6
A
读题
C
r 2
可见,分割三次后的图形
2 5 R2 r 3 6
3
2
2 125 5 R3 r r 3 234 6
7 1 R RAB 3
7 1 a 3
解:
如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已 知每一段电阻丝的电阻均为r，试求A、B两点之间的总电阻． 解题方向:将原无限长立体正三棱柱框 B A 架沿左、右递缩为三棱台再“压”在 C AB所在平面，各电阻连接如图 A
A
C
3 21 x r 6
B
导体中自由电子的定向移动 使两个带电体成为等势体，达 到静电平衡，导线R中会产生 一个瞬时电流
形成电流的条件：
（1）存在自由电荷 金属导体——自由电子 电 解 液——正、负离子
（2）导体两端存在电压
当导体两端存在电压时，导体内建立了电场， 导体中的自由电荷在电场力的作用下发生定向移动， 形成电流。
电流的形成
1．电流：电荷的定向移动 形成电流．
电荷的热运动，从宏观上看，不能形成电流。
电流的形成
导体两端存在电势差 导体中产生电流的条件: __________________________
+ + + A + + + +
水势A
_ _ _ _ B _ _ _ _
+
A
B
抽水机
A
连通器 水势B 水流
B
B
r
r 2
2r 3
r x r 由 3 r x r 3 x 3
RAB
2 21 r 21
2、电流分布法
设定电流I从网络A流入，B 流出。应用电流分 流思想和网络中任意两点之间不同路径等电压的思 想，建立以网络中的各电阻的电流为未知量的方程 组，解出各电流I的比例关系，然后选取A到B的某一 路经计算A、B 间的电压，再由RAB=UAB/IAB即可算 出RAB。
在时间Δt内 通过导体某截面的电量为:
Δq =(v· Δ t· S)n· q
所形成的电流为:
v
s
v
I =Δq/Δt = n· q· S· v
P42 图2.1--3
一、电阻
导体两端的电压与通过导体的电流的比值. 1、定义： U R反映导体对电流的阻碍作用. 2、定义式： R I R只与导体本身性质有关.
递推到分割n次后的图形
2 5 Rn r 3 6
n
5r 2 5 12 6 r
如图所示的平面电阻丝网络中，每一直 线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间 的等效电阻．
解:
B B A B B A
B
A
A
RAB
3 r 4
r
A
解:
三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连 接成如图所示的网络．已知每一个金属圆圈的电阻都是R， 试求图中A、B两点间的等效电阻RAB．
标量
注意： 定义式 I =q/t
（1）适用于任何电荷的定向移动 形成的电流。
（2）在金属导体中，电流方向与自由电荷（电子） 的定向移动方向相反；
（3）在电解液中，电流方向与正离子定向移动方向 相同，与负离子定向移动方向相反．导电时，是正、 负离子（同时）向相反方向定向移动形成电流， I合 = I+ + I电量q表示通过截面的正、负离子电量绝对值之和。
解: AC间等效电阻:
则 RAC
如图所示，12个阻值都是R的电阻，组成一立 方体框架，试求AC间的电阻RAC 、AB间的电阻RAB与AG间的电阻 RAG． F E A B
专题19-例1
3R R 3 R 3R R 4
A
H B
G C
D
F
E
H
G
C
D
续解
AB间等效电阻: A R H 2 R 2 D R R 2.5 R 7 则 RAB R R 12 A 2R 2 R R E 2.5 R H
3．决定电流大小的微观因素
在加有电压的一段粗细均匀的导体AD上选取 两个截面B和C，设导体的横截面积为S．导体每 单位体积内的自由电荷数为n，每个电荷的电荷 量为q，电荷的定向移动速率为v 则在时间t内处于相距为 vt 的两截面B、C间 的所有自由电荷将通过截面C ．
已知：n为单位体积内自由电荷的个数，S为 导线的横截面积，v为自由电荷的定向移动速率
即：EIt=I2Rt+I2rt 即：EI=I2R+I2r 电源工作时功率分配：P总=P出+P内
闭合电路欧姆定律
１、对纯电阻电路
E IR Ir
E 即 I Rr
２、表述：闭合电路中的电流跟电源 的电动势成正比，跟内、外电路的电 阻之和成反比． E
I
Rr
闭合电路欧姆定律：
E IR Ir
1. 大小、方向都不随时间变化的电流
2.电流(I): 表示电流强弱的物理量。
量度:通过导体横截面的电量q 跟通过这些 电量所用时间t的比值.
定义式: I = q/t 单位:（SI制） 安培(A) 1A=1C/s 常用单位：毫安(mA)、微安(μA)
方向：（规定）正电荷定向移动的方向
电流是标量 还是矢量？
♠
Y-△变换法
利用Y型联接电阻与△型联接电阻间等价关系的结论，通 过电阻Y型联接与△型联接方式的互换，达到简化电路成单纯 串联或并联的目的．
一、有限电阻网络
1、对称性简化
所谓的对称性简化，就是利用网络结构中可能存 在的对称性简化等效电阻的计算。它的效果是使计算 得以简化，计算最后结果必须根据电阻的串、并联公 式；电流分布法；极限法等来完成。 在一个复杂的电路中，如果能找到一些完全对称 的点，那么当在这个电路两端加上电压时，这些点的 电势一定是相等的，即使用导线把这些点连接起来也 不会有电流（或把连接这些点的导线去掉也不会对电 路构成影响），充分的利用这一点我们就可以使电路 大为简化。
四、电源的功率和效率
1、功率 ①电源的功率（电源的总功率）:PE=IE ; ②电源的输出功率:P出=IU; ③电源内部消耗的功率:P r=I2r 2、电源的效率: P外 U外 R （只适用于纯 PE E R r 电阻电路） E2R 4Rr E 2 E 2 3、电源的输出功率 : P 2 2 R r P R r 4r 4r 当内外电阻相等时，电源 P 的输出功率最大，为
A A
A E A D
图1 B 图3 图4 C 图2 B C l0 F C B C F 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分 形几何学”的新学科．近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法 用于有关的物理领域，取得了有意义的进展． 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的 等效电阻问题：设如图1所示的三角形ABC边长L0的电阻均为r；经一次分割得到 如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r 的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是 原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图4所示的图形，其中 每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一． ⑴ 试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻． ⑵ 试求按此规律作了n次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻.
三个金属圈共有六个结点，每四分之 一弧长的电阻R/4. A 将三维金属圈“压扁”到AB 所在平面并“抻直”弧线成下图
R 4
RAB
R R R 88 2 R R R 8 8 2
B
R 8
A
R 4
5 R 48
B
正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小 段电阻均为R．试求RAB和RCD． E
内电路:电源内部是内电路.
外电路
R
K
部分电路 闭合电路
内电路
E
r
3、电路中的电势变化情况 （1）在外电路中，沿电流方向电势降 低。 （2）在内电路中，一方面，存在内阻， 沿电流方向电势也降低；另一方面，沿 电流方向存在电势“跃升”。
a b
a a
d c
b
c d b
4
讨论
1、若外电路中的用电器都是纯电阻R，在时间t内外 电路中有多少电能转化为内能？
D
E B
F G C
B
R 2
F G
R
C 续解
AG间等效电阻:
E
A
F
B
H
G C
则 RAG
5 R 6
E A
R 3
D
F B
R 6
H
R 3
G
D
C
如图所示的正方形网格由24个电阻r0=8Ω的电阻 丝构成，电池电动势ε=6.0 V，内电阻不计，求通过电池的电流．
专题19-例2
解:
RAB
电源外电路等效电阻:
m
E Pm 4r
2
o
r R
电源输出功率随外电阻变化的图线
♠ ♠
对称法
对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对 称电路的“折叠”，将电路简化为基本的串并联电路。
电流叠加法
直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所 有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流 分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布．这就 是电流的可叠加性．对于一些并不具备直观的对称性的电路， 可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不 对称问题转化成具有对称性的问题加以解决 。
r0 2.5r0 5 40 r0 2.5r0 r0 7 7
B A
r 0 2
通过电源的电流由
6.0 I A 1.05A RAB 40 / 7
专题19-例3 波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形．他
将如图1所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点连 起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉， 得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经 过第二次分割就得到图3的图形．经三次分割后，又得到图4的图形．这是带有自 相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫．它的自相似性就是将其中 一个小单元（例如图4中的△BJK）适当放大后，就得到图2的图形．如果这个分 割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空．
解题方向:由于对称，可将AB中垂线上各电势点拆分，原
电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限 网络，其基本单元如图丙
A
B A
A
A
B B
A
R B An
R Rx 2R
R
n
Bn R Bn
乙 丙 甲 当n→∞时，多一个单元，只是使Rx按边长同比增大，即
2 RRx 2R 2R 2 R Rx 2 Rx R x 2 RRx 2R 2R 2 R Rx
解:
RAB
E D F G H
3 r 4
I L
B C
E H
R 2
R 4
D
R 2
I L B C
F
R 2
IR
2
H
G B A 甲
A
2R
乙
R 2 R 2
R 2
R 2
C
D
RCD
3 r 8间的电阻RAB．此框架是用同种细金 属制作的，单位长度的电阻为ρ．一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷， 如图所示．取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半．
Q外=I2Rt
2、内电路也有电阻r，当电流通过内 电路时，也有一部分电能转化为内能， 是多少？ 2
外电路
R
K
Q内=I rt
3、电流流经电源时，在时间t内 非静电力做多少功？产生多少电 能？ E电=W非=Eq＝EIt 4、以上各能量之间有什么关系？
内电路
E
r
根据能量守恒定律，非静电力做 的功应该等于内外电路中电能转化为 其他形式的能的总和。 W非=E外+E内
二、部分电路的欧姆定律
1、内容：导体中的电流I 跟导体两端的电压U成正比,
U 2、决定式: I R
跟导体的电阻R成反比．
适用: 线性电阻.
I
B A U
三、伏安特性曲线(I-U图线)
斜率=电阻的倒数
O
一、闭合电路:
1、用导线把电源、用电器连成一个闭合电路。 外电路:电源外部的用电器和导线构成外
电路.
说明：
E I Rr
U 外 IR 1、 是外电路上总的 电势降落，习惯上叫路端电压.
2、 是内电路上的电 U内 Ir 势降落，习惯上叫内电压.
3、
E IR Ir
E=U内 +U外
三、电池组的串并联
1、串联：
串 nE0
r串 nr0
2、并联：
并 E0
1 r并 r0 n
D
E
D K G B IJF
E
解:
2 R0 r 3 对分割一次后的图形 5 5 2 R1 r r 9 6 3
对分割二次后的图形
对三角形ABC,任意两点间的电阻
r B
5 r 6
A
读题
C
r 2
可见,分割三次后的图形
2 5 R2 r 3 6
3
2
2 125 5 R3 r r 3 234 6
7 1 R RAB 3
7 1 a 3
解:
如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已 知每一段电阻丝的电阻均为r，试求A、B两点之间的总电阻． 解题方向:将原无限长立体正三棱柱框 B A 架沿左、右递缩为三棱台再“压”在 C AB所在平面，各电阻连接如图 A
A
C
3 21 x r 6
B
导体中自由电子的定向移动 使两个带电体成为等势体，达 到静电平衡，导线R中会产生 一个瞬时电流
形成电流的条件：
（1）存在自由电荷 金属导体——自由电子 电 解 液——正、负离子
（2）导体两端存在电压
当导体两端存在电压时，导体内建立了电场， 导体中的自由电荷在电场力的作用下发生定向移动， 形成电流。
电流的形成
1．电流：电荷的定向移动 形成电流．
电荷的热运动，从宏观上看，不能形成电流。
电流的形成
导体两端存在电势差 导体中产生电流的条件: __________________________
+ + + A + + + +
水势A
_ _ _ _ B _ _ _ _
+
A
B
抽水机
A
连通器 水势B 水流
B
B
r
r 2
2r 3
r x r 由 3 r x r 3 x 3
RAB
2 21 r 21
2、电流分布法
设定电流I从网络A流入，B 流出。应用电流分 流思想和网络中任意两点之间不同路径等电压的思 想，建立以网络中的各电阻的电流为未知量的方程 组，解出各电流I的比例关系，然后选取A到B的某一 路经计算A、B 间的电压，再由RAB=UAB/IAB即可算 出RAB。
在时间Δt内 通过导体某截面的电量为:
Δq =(v· Δ t· S)n· q
所形成的电流为:
v
s
v
I =Δq/Δt = n· q· S· v
P42 图2.1--3
一、电阻
导体两端的电压与通过导体的电流的比值. 1、定义： U R反映导体对电流的阻碍作用. 2、定义式： R I R只与导体本身性质有关.
递推到分割n次后的图形
2 5 Rn r 3 6
n
5r 2 5 12 6 r
如图所示的平面电阻丝网络中，每一直 线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间 的等效电阻．
解:
B B A B B A
B
A
A
RAB
3 r 4
r
A
解:
三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连 接成如图所示的网络．已知每一个金属圆圈的电阻都是R， 试求图中A、B两点间的等效电阻RAB．
标量
注意： 定义式 I =q/t
（1）适用于任何电荷的定向移动 形成的电流。
（2）在金属导体中，电流方向与自由电荷（电子） 的定向移动方向相反；
（3）在电解液中，电流方向与正离子定向移动方向 相同，与负离子定向移动方向相反．导电时，是正、 负离子（同时）向相反方向定向移动形成电流， I合 = I+ + I电量q表示通过截面的正、负离子电量绝对值之和。
解: AC间等效电阻:
则 RAC
如图所示，12个阻值都是R的电阻，组成一立 方体框架，试求AC间的电阻RAC 、AB间的电阻RAB与AG间的电阻 RAG． F E A B
专题19-例1
3R R 3 R 3R R 4
A
H B
G C
D
F
E
H
G
C
D
续解
AB间等效电阻: A R H 2 R 2 D R R 2.5 R 7 则 RAB R R 12 A 2R 2 R R E 2.5 R H
3．决定电流大小的微观因素
在加有电压的一段粗细均匀的导体AD上选取 两个截面B和C，设导体的横截面积为S．导体每 单位体积内的自由电荷数为n，每个电荷的电荷 量为q，电荷的定向移动速率为v 则在时间t内处于相距为 vt 的两截面B、C间 的所有自由电荷将通过截面C ．
已知：n为单位体积内自由电荷的个数，S为 导线的横截面积，v为自由电荷的定向移动速率
即：EIt=I2Rt+I2rt 即：EI=I2R+I2r 电源工作时功率分配：P总=P出+P内
闭合电路欧姆定律
１、对纯电阻电路
E IR Ir
E 即 I Rr
２、表述：闭合电路中的电流跟电源 的电动势成正比，跟内、外电路的电 阻之和成反比． E
I
Rr
闭合电路欧姆定律：
E IR Ir
1. 大小、方向都不随时间变化的电流
2.电流(I): 表示电流强弱的物理量。
量度:通过导体横截面的电量q 跟通过这些 电量所用时间t的比值.
定义式: I = q/t 单位:（SI制） 安培(A) 1A=1C/s 常用单位：毫安(mA)、微安(μA)
方向：（规定）正电荷定向移动的方向
电流是标量 还是矢量？
♠
Y-△变换法
利用Y型联接电阻与△型联接电阻间等价关系的结论，通 过电阻Y型联接与△型联接方式的互换，达到简化电路成单纯 串联或并联的目的．
一、有限电阻网络
1、对称性简化
所谓的对称性简化，就是利用网络结构中可能存 在的对称性简化等效电阻的计算。它的效果是使计算 得以简化，计算最后结果必须根据电阻的串、并联公 式；电流分布法；极限法等来完成。 在一个复杂的电路中，如果能找到一些完全对称 的点，那么当在这个电路两端加上电压时，这些点的 电势一定是相等的，即使用导线把这些点连接起来也 不会有电流（或把连接这些点的导线去掉也不会对电 路构成影响），充分的利用这一点我们就可以使电路 大为简化。
四、电源的功率和效率
1、功率 ①电源的功率（电源的总功率）:PE=IE ; ②电源的输出功率:P出=IU; ③电源内部消耗的功率:P r=I2r 2、电源的效率: P外 U外 R （只适用于纯 PE E R r 电阻电路） E2R 4Rr E 2 E 2 3、电源的输出功率 : P 2 2 R r P R r 4r 4r 当内外电阻相等时，电源 P 的输出功率最大，为
A A
A E A D
图1 B 图3 图4 C 图2 B C l0 F C B C F 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分 形几何学”的新学科．近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法 用于有关的物理领域，取得了有意义的进展． 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的 等效电阻问题：设如图1所示的三角形ABC边长L0的电阻均为r；经一次分割得到 如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r 的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是 原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图4所示的图形，其中 每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一． ⑴ 试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻． ⑵ 试求按此规律作了n次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻.
三个金属圈共有六个结点，每四分之 一弧长的电阻R/4. A 将三维金属圈“压扁”到AB 所在平面并“抻直”弧线成下图
R 4
RAB
R R R 88 2 R R R 8 8 2
B
R 8
A
R 4
5 R 48
B
正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小 段电阻均为R．试求RAB和RCD． E
内电路:电源内部是内电路.
外电路
R
K
部分电路 闭合电路
内电路
E
r
3、电路中的电势变化情况 （1）在外电路中，沿电流方向电势降 低。 （2）在内电路中，一方面，存在内阻， 沿电流方向电势也降低；另一方面，沿 电流方向存在电势“跃升”。
a b
a a
d c
b
c d b
4
讨论
1、若外电路中的用电器都是纯电阻R，在时间t内外 电路中有多少电能转化为内能？
D
E B
F G C
B
R 2
F G
R
C 续解
AG间等效电阻:
E
A
F
B
H
G C
则 RAG
5 R 6
E A
R 3
D
F B
R 6
H
R 3
G
D
C
如图所示的正方形网格由24个电阻r0=8Ω的电阻 丝构成，电池电动势ε=6.0 V，内电阻不计，求通过电池的电流．
专题19-例2
解:
RAB
电源外电路等效电阻: