第9课等比数列的概念和通项公式(教、学案)

第9课时等比数列的概念和通项公式 【学习导航】
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学习要求 1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，
2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法,
3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.
【自学评价】 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1
-n n a a =q （q ≠0） 注:1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数q
｛n a ｝成等比数列⇔n
n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且
3︒ q= 1时，{a n }为常数列.
2.等比数列的通项公式
① 111(0)n n a a q a q -=⋅⋅≠
②1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠ 3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
4.等比中项的定义：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.且 2G ac =
5．证明数列{}n a 为等比数列：
①定义：证明1n n
a a +=常数， ②中项性质：212121
n n n n n n n a a a a a a a +++++==或； 【精典范例】
【例1】判断下列数列是否为等比数列：
（１）１，１，１，１，１；
（２）０，１，２，４，８；
（３）1，21-，4
1，81-，161. 【解】
（１）所给数列是首项为１，公比为１的等比数列．
（２）因为０不能作除数，所以这个数列不是等比数列．
（３）所给数列是首项为１，公比为2
1-的等比数列． 【例2】求出下列等比数列中的未知项：
（１）２，ａ，８；
（２）－４，ｂ，ｃ，2
1． 【解】 （１） 根据题意，得
所以ａ＝４或ａ＝－４．
（２） 根据题意，得
解得
所以ｂ＝２，ｃ＝－１．
【例3】在等比数列{a n }中，
（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；
（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．
【解】
（１）由等比数列的通项公式，得
（２）设等比数列的公比为ｑ，那么
所以
【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．
【解】设插入的三个数为2a ，3a ，4a ，由题意知243，2a ，3a ，4a ，3成等比数列． 设公比为ｑ，则
因此，所求三个数为８１，２７，９，
或－８１，２７，－９．
追踪训练一
1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：
（1）２，６，１８，５４，…； （2）7，314，9
28，;,2756 （3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…；
（4）5，15+c ，125+c ， ,513+c .
【答案】
(1) 1532,162,3-⨯===n n a a q
(2) 15)3
2(7,81112,32-⨯===n n a a q
(3) n n n a a q 3.0)1(,00243.0,3.015⨯-==-=-
(4) 1!455,5,5+-+===c nc n c c a a q
2. 数列m ,m ,m ,…m , ( C )
A. 一定是等比数列
B.既是等差数列又是等比数列
C.一定是等差数列不一定是等比数列
D.既不是等差数列，又不是等比数列 3.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n +a n +1},{a n +1－a n }，{
1
+n n a a }{na n }这四个数列中，是等比数列的有(C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 【选修延伸】
【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.
【解】设这三个数分别为,,a d a a d -+
()()15a d a a d -+++=
解得5a =
∴这三个数为5,5,5d d -+
故由题意又可得2(53)(51)(59)d d +=-+++
解得210()d d ==-舍去或
∴这三个数为3，5，7
【例6】已知数列｛a n ｝满足：lg a n ＝3n ＋5，试用定义证明｛a n ｝是等比数列.
【证明】 由lg a n ＝3n ＋5，得a n ＝103
n +5 535
)1(311010++++=n n n n a a ＝1000 ∴数列｛a n ｝是公比为1000的等比数列.
【点评】 若｛a n ｝是等差数列，b n ＝b a n 可以证明数列｛b n ｝为等比数列，反之若｛a n ｝为等比数列且a n ＞0，则可证明｛lg a n ｝为等差数列.
追踪训练二
1．在等比数列｛a n ｝中，a 3·a 4·a 5＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 9·a 10·a 11的值等于(D )
A.48
B.72
C.144
D.192
2．在等比数列中，已知首项为
89，末项为31,公比为3
2，则项数n 等于___4___. 3．已知等比数列{a n }的公比q =－31,则86427531a a a a a a a a ++++++=___－3___. 4．已知数列｛a n ｝为等比数列，
(1)若a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，
求a 3＋a 5.
(2)a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .
【解】
(1)由已知a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25知a 12q 4＋2a 12q 6＋a 12q 8＝25
即a 12q 4(1＋q 2)2＝25
∴a 1q 2(1＋q 2)＝5
因此a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 4＝a 1q 2(1＋q 2)＝5
(2)由已知a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8知⎪⎩⎪⎨⎧==++8
73312111q a q a q a a
①÷②得2
712=++q q q 即2q 2－5q ＋2＝0q ＝2或q ＝2
1 当q ＝2时，a 1＝1 ∴a n ＝2n
－1当q ＝21时，a 1＝4 ∴a n ＝23－n ⎩⎨⎧==++27)1(121
q a q q a 即 ①②。