2020-2021学年上海市杨浦区八年级(下)期末数学试卷
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2020-2021学年上海市杨浦区八年级(下)期末数学试卷
一、选择题(本大题共6小题,共18.0分)
1. 如果二次三项式x 2+4x +p 能在实数范围内分解因式,那么p 取值范围是( )
A. p >4
B. p <4
C. p ≥4
D. p ≤4
2. 在一次函数y =(m −1)x +m +1中,如果y 随x 的增大而增大,那么常数m 的取值范围是( )
A. m >1
B. m <1
C. m >−1
D. m <−1
3. 下列方程是二项方程的是( )
A. 2x 2=0
B. x 2−x =0
C. 12x 3−1=0
D. y 4+2x 2=1
4. 以下描述AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系不正确的是( )
A. 方向相反
B. 模相等
C. 平行
D. 相等.
5. 下列事件中,属于必然事件的是( )
A. 某射击训练射击一次,命中靶心
B. 室温低于−5℃时,盆内的水结成了冰
C. 掷一次骰子,向上的一面是6点
D. 抛一枚硬币,落地后正面朝上
6. 下列命题中,真命题是( )
A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D. 对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
二、填空题(本大题共12小题,共24.0分)
7. 如果y =kx +x +k 是一次函数,那么k 的取值范围是______ .
8. 若点(3,a)在一次函数y =3x +1的图象上,则a =______.
9. 方程x 4−9=0的根是______ .
10. 方程x 2−x x =0的根是______ .
11. 方程√2x +3=x 的解为______.
12. 方程组{x −y =5xy =−6
的解是______ . 13. 布袋内装有大小、形状相同的2个红球和2个白球,从布袋中一次摸出两个球,那么两个都摸到红球的概率是______ .
14. 如果多边形的一个顶点共有6条对角线,那么这个多边形的内角和是______ .
15. 如图,已知梯形ABCD 中,AB//CD ,DE//CB ,点E 在AB 上,且EB =4,若梯形
ABCD 的周长为24,则△AED 的周长为______ .
16. 如图,菱形ABCD 由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,则菱形
的对角线AC 的长为______.
17. 如图,▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,将▱ABCD 翻折使点B
与点D 重合,点A 落在点E ,已知∠AOB =α(α是锐角),那么∠CEO 的
度数为______ .(用α的代数式表示)
18. 平行四边形ABCD 中,两条邻边长分别为3和5,∠BAD 与∠ABC 的平分线交于点E ,点F 是CD 的中
点,联结EF ,则EF = ______ .
三、计算题(本大题共1小题,共6.0分)
19. 解方程:2x +√x −3=6.
四、解答题(本大题共7小题,共52.0分)
20. 解方程组:{x 2+4xy +4y 2=9x 2+xy =0
21. 如图,在▱ABCD 中,点E 是边BC 的中点,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ .
(1)写出所有与BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 互为相反向量的向量:______ .
(2)试用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示向量DE
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ . (3)在图中求作:BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EC
⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ . (保留作图痕迹,不要求写作法,但要写出结果)
22. 如图,已知BD 、BE 分别是∠ABC 与它的邻补角的平分线,AE ⊥BE ,AD ⊥BD ,垂足分别为E 、D ,
联结CD 、DE ,DE 与AB 交于点O ,CD//AB.求证:四边形OBCD 是菱形.
23.为庆祝中国共产党建党100周年,6月中旬某校组织同学去展览馆看党史展览,该展览馆2个验票口A、
B(可进出),另外还有2个出口C、D(不许进).小张同学凭票进入展览大厅,参观结束后离开.
(1)小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式?(要求用树状图法或列表法)
(2)小张不从同一个验票口进出的概率是多少?
24.某市为了美化环境,计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务,后来市政府调整了原定计划,
不但绿化面积在原计划的基础上增加20%,而且要提前1年完成任务.经测算,要完成新的计划,平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩,求原计划平均每年的绿化面积.
25.如图,已知在平面直角坐标系中,直线y=kx+2和双曲线y=m
都经过点A(1,4)和点B.
x
(1)求线段AB的长;
(2)如果点P在y轴上,点Q在此双曲线上,当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,直
接写出P、Q的坐标.
26.如图,在正方形ABCD中,点E是边BC延长线上一点,联结DE,过点B作BF⊥DE,垂足为点F,
BF与边CD相交于点G.
(1)求证:CG=CE;
(2)联结CF,求证:∠BFC=45°;
(3)如果正方形ABCD的边长为2,点G是边DC的中点,求EF的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:∵二次三项式x2+4x+p能在实数范围内分解因式,
∴△=16−4p≥0,
解得:p≤4,
故选:D.
根据多项式能分解因式,得到多项式为0时方程有解,确定出p的范围即可.
此题考查了实数范围内分解因式,熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键.
2.【答案】A
【解析】解:由题意得m−1>0,
解得m>1,
故选:A.
根据一次函数的性质,当k=m−1>0时,函数y的值随x的值增大而增大,据此可求解.
本题主要考查一次函数的图象与性质,在一次函数y=kx+b中,当k>0时函数y的值随x的值增大而增大;当k<0时函数y的值随x的值增大而减小.
3.【答案】C
x3−1=0为二项方程.
【解析】解:1
2
故选:C.
根据二项方程的定义进行判断即可.
本题考查了高次方程:通过适当的方法,把高次方程化为次数较低的方程求解.所以解高次方程一般要降次,即把它转化成二次方程或一次方程.注意理解二项方程的定义.
4.【答案】D
【解析】解:A 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系是方向相反,正确;
B 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系是模相等,正确;
C 、AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系是平行,正确; D 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系不相等,错误;
故选:D .
利用单位向量的定义和性质直接判断即可.
此题考查平面向量问题,解题时要认真审题,注意单位向量、零向量、共线向量的定义和的性质的合理运用.
5.【答案】B
【解析】解:A 、射击运动员射击一次,命中靶心,是随机事件,故此选项不合题意;
B 、室温低于−5℃时,盆内的水结成了冰,是必然事件,故本选项符合题意;
C 、掷一次骰子,向上的一面是6点,是随机事件,故此选项不合题意;
D 、抛一枚硬币,落地后正面朝上,是随机事件,故此选项不合题意;
故选:B .
必然事件就是一定发生的事件,依据定义即可判断.
此题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
6.【答案】C
【解析】解:A 、对角线相等的梯形是等腰梯形,故原命题是假命题;
B 、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形,故原命题是假命题;
C 、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,是真命题;;
D 、对角线平分一组对角的梯形不一定是直角梯形,故原命题是假命题;
故选:C .
利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项.
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解特殊四边形的判定定理,难度不大.
7.【答案】k≠−1
【解析】解:∵y=kx+x+k是一次函数,
∴k+1≠0.
故答案为:k≠−1.
根据一次函数的定义条件直接解答即可.
本题主要考查了一次函数的定义,属于基础题,注意掌握一次函数y=kx+b的定义条件是:k、b为常数,k≠0,自变量次数为1.
8.【答案】10
【解析】解:把点(3,a)代入一次函数y=3x+1
得:a=9+1=10.
故填10.
把点(3,a)代入一次函数y=3x+1,求出y的值即可.
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,即一次函数图象上的点的坐标一定适合此函数的解析式.
9.【答案】x=√3或x=−√3
【解析】解:由x4−9=0得(x2+3)(x2−3)=0,
∴x2+3=0或x2−3=0,
而x2+3=0无实数解,
解x2−3=0得x=√3或x=−√3,
故答案为:x=√3或x=−√3.
将左边因式分解,降次后化为两个一元二次方程即可解得答案.
本题考查解一元高次方程,解题的关键是将方程左边因式分解,把原方程降次,化为一元二次方程.
10.【答案】x=1
【解析】解:去分母得,
x2−x=0,
即x(x −1)=0,
所以x 1=0,x 2=1,
经检验:x 1=0是原方程的增根,x 2=1是原方程的根,
所以原方程的根为x =1,
故答案为:x =1.
根据解分式方程的步骤去分母转化为整式方程,求出整式方程的解,解分式方程容易产生增根,因此要对整式方程的解代入最简公分母检验后得出原方程的解.
本题考查解分式方程,掌握解分式方程的方法步骤是正确解答的前提,注意解分式方程容易产生增根需要检验.
11.【答案】3
【解析】
【分析】
首先把方程两边分别平方,然后解一元二次方程即可求出x 的值.
本题主要考查解无理方程,关键在于首先把方程的两边平方,注意最后要把x 的值代入原方程进行检验.
【解答】
解:两边平方得:2x +3=x 2
∴x 2−2x −3=0,
解方程得:x 1=3,x 2=−1,
检验:当x 1=3时,方程的左边=右边,所以x 1=3为原方程的解,
当x 2=−1时,原方程的左边≠右边,所以x 2=−1不是原方程的解.
故答案为3.
12.【答案】{x 1=2y 1=−3,{x 2=3
y 2=−2
【解析】解:{x −y =5 ①xy =−6②
由①得:y =x −5 ③,
将③代入②:x(x −5)=−6,
整理得:x²−5x +6=0,
x 1=2,x 2=3.
将上述x 代入③,
得:y 1=−3,y 2=−2.
∴方程组的解:{x 1=2y 1=−3,{x 2=3y 2=−2
. 故答案为:{x 1=2y 1=−3,{x 2=3y 2=−2
. 解二元二次方程组,用代入消元转化成一元二次方程,解出方程即可.
本题考查的是二元二次方程组,考核的是学生解二元二次方程组的能力以及转化思想,因为含有二次项,所以运用代入消元法转化成一元二次方程是关键.
13.【答案】1
6
【解析】解:画树状图为:
共有12种等可能的结果,其中两个都是红球的结果数为2, 所以两个都摸到红球的概率=212=1
6.
故答案为16.
画树状图展示所有12种等可能的结果,再找出两个都是红球的结果数,然后根据概率公式计算. 本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ,再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ,然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率.
14.【答案】1260°
【解析】解:∵过多边形的一个顶点共有6条对角线,
故该多边形边数为9,
∴(9−2)⋅180°=1260°,
∴这个多边形的内角和为1260°.
故答案为:1260°.
从多边形一个顶点可作6条对角线,则这个多边形的边数是9,n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°,代入公式就可以求出内角和.
本题主要考查了多边形的内角和公式,是需要熟记的内容,比较简单.
15.【答案】16
【解析】解:∵AB//CD,DE//CB,
∴四边形EBCD是平行四边形,EB=4,
∴EB=CD=4,ED=BC,
又∵梯形ABCD的周长为24,
∴AB+BC+CD+AD=24,EB+CD=8,
∴AE+BC+AD=16,
∴AE+DE+AD=16,
即△AED的周长为16;
故答案为:16.
因为AB//CD,DE//CB,所以,四边形EBCD是平行四边形,则EB=CD=4,ED=BC,又梯形ABCD 的周长为24,即AB+BC+CD+AD=24,所以,AE+BC+AD=16,即AE+DE+AD=16;
本题主要考查了梯形和平行四边形的性质,把△AED的周长看作一个整体,通过等量代换求出,本题蕴含了整体思想.
16.【答案】6√3
【解析】
【分析】
根据图形可知∠ADC=2∠A,又两邻角互补,所以可以求出菱形的锐角内角是60°;再根据AD=AB可以得出梯形的上底边长等于腰长,即可求出梯形的下底边长,所以菱形的边长可得,线段AC便不难求出.
本题考查的是等腰梯形的性质,仔细观察图形得到角的关系和梯形的上底边长与腰的关系是解本题的关键.【解答】
解:根据图形可知∠ADC=2∠A,又∠ADC+∠A=180°,
∴∠A=60°,
∵AB=AD,
∴梯形的上底边长=腰长=2,
∴梯形的下底边长=4(可以利用过上底顶点作腰的平行线得出),∴AB=2+4=6,
∴AC=2ABsin60°=2×6×√3
2
=6√3.
故答案为:6√3.
17.【答案】90°−α
【解析】解:如图所示:
由折叠的性质可得:∠AOB=∠EOF=∠COF,OE=OA=OC,在△OEF和△OCF中,
{OE=OC
∠EOF=∠COF OF=OF
,
∴△OEF≌△OCF(SAS),
∴∠OFE=∠OFC=90°,
∵∠AOB=α,
∴∠EOF=α,
∴∠CEO=90°−α.
故答案为:90°−α.
先画出图形,由折叠的性质证明△OEF≌△OCF,继而可得△OEF是直角三角形,∠OFE=90°,根据∠AOB=α,可求∠CEO的度数.
本题考查了翻折变换的性质以及平行四边形的性质,解决问题的关键是掌握:翻折前后对应边相等、对应角相等,解题时注意:平行四边形的对角线互相平分.
18.【答案】3.5或0.5
【解析】解:①如图1中,当AB=3,BC=5时,延长AE交BC于M.
∵AD//BC,
∴∠DAM=∠AMB,
∵∠DAM=∠BAM,
∴∠BAM=∠AMB,
∴AB=BM=3,
∴CM=BC−BM=2,
∵∠DAB+∠ABC=180°,
∴∠EAB+∠EBA=1
2∠DAB+1
2
∠ABC=90°,
∴∠AEB=90°,
∴BE⊥AM,∵BA=BM,∴AE=EM,∵DF=CF,
∴EF=AD+CM
2
=3.5
②如图2中,当AB=5,BC=3时,
同法可证,AE=EM,CM=BM−BC=AB−BC=2,
可得EF=1
2
(AD−CM)=0.5,
综上所述,EF的长为3.5或0.5.
分两种情形分别求解即可解决问题:①如图1中,当AB=3,BC=5时,延长AE交BC于M.②如图2中,当AB=5,BC=3时;
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、梯形的中位线定理等知识,解题的关键是学会用
分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构建梯形中位线解决问题,属于中考常考题型.
19.【答案】解:移项,√x −3=6−2x ,
x −3=(6−2x)2,
化简得,4x 2−25x +39=0,
(x −3)(4x −13)=0,
x 1=3,x 2=134.
经检验,x 1=3是原方程的根,x 2=
134是增根.
所以原方程的根为x =3.
【解析】把2x 移到等号的右边,两边平方求解,然后检验根是否存在.
本题主要考查了无理方程的解法,在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法,本题用了平方法,注意检验根的存在.属于基础题.
20.【答案】解:{x 2+4xy +4y 2=9 ①x 2+xy =0 ②
由①得:(x +2y)2=9,
x +2y =±3,
由②得:x(x +y)=0,
x =0,x +y =0,
即原方程组化为:{x +2y =3x =0,{x +2y =3x +y =0,{x +2y =−3x =0
,{x +2y =−3x +y =0, 解得:{x =0y =1.5,{x =−3y =3,{x =0y =−1.5,{x =−1.5y =1.5
, 所以原方程组的解为:{x =0y =1.5,{x =−3y =3,{x =0y =−1.5,{x =−1.5y =1.5
.
【解析】先把原方程组的每个方程化简,这样原方程组转化成四个方程组,求出每个方程组的解即可. 本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组,能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键.
21.【答案】CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ a ⃗ −b ⃗
【解析】解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD//CB ,
∵BE =CE ,
∴与BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 互为相反向量的向量有:CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .
故答案为:CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .
(2)∵AB//CD ,AB =CD ,
∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ,
故答案为:a ⃗ −b
⃗ . (3)连接AE ,BD .
∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求. (1)根据相反向量的定义解答即可.
(2)利用三角形法则求解.
(3)连接AE ,BD ,利用三角形法则求解即可.
本题考查作图−复杂作图,平行四边形的性质,平面向量等知识,解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质,学会利用三角形法则解决问题.
22.【答案】证明:∵BD 、BE 分别是∠ABC 与∠ABF 的平分线,
∴∠ABD +∠ABE =1
2×180°=90°,
即∠EBD =90°,
又∵AE ⊥BE ,AD ⊥BD ,E 、D 是垂足,
∴∠AEB =∠ADB =90°,
∴四边形AEBD 是矩形.
∴OB =OD ,
∴∠OBD =∠ODB ,
∵BD 平分∠ABC ,
∴∠OBD =∠DBC ,
∴∠ODB =∠DBC ,
∴OD//BC ,
∵CD//AB ,
∴四边形OBCD 是平行四边形,
∵OB=OD,
∴平行四边形OBCD是菱形.
【解析】根据已知条件首先证明四边形AEBD是矩形,可得OB=OD,再证明四边形OBCD是平行四边形,进而可得结论.
本题考查了矩形的判定与性质,菱形的判定,解决本题的关键是证明四边形AEBD是矩形.
23.【答案】解:(1)画树状图得:
则小张从进入到离开共有8种可能的进出方式.
(2)∵小张不从同一个验票口进出的有6种情况,
∴P(小张不从同一个验票口进出)=6
8=3
4
.
【解析】(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图即可求得所有等可能的结果;
(2)由(1)中的树状图,即可求得小张不从同一个验票口进出的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比.
24.【答案】解:设原计划平均每年完成绿化面积x万亩,
根据题意,可列出方程200
x −200(1+20%)
x+20
=1,
去分母整理得:x2+60x−4000=0
解得:x1=40,x2=−100
经检验:x1=40,x2=−100都是原分式方程的根,因为绿化面积不能为负,所以取x=40.
答:原计划平均每年完成绿化面积40万亩.
【解析】本题的相等关系是:原计划完成绿化时间−实际完成绿化实际=1.设原计划平均每年完成绿化面积x 万亩,则原计划完成绿化完成时间200x 年,实际完成绿化完成时间:200(1+20%)x+20年,列出分式方程求解.
本题考查了分式方程的应用.分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.列分式方程解应用题的检验要分两步:第一步检验它是否是原方程的根,第二步检验它是否符合实际问题.
25.【答案】解:(1)∵点A(1,4)在直线y =kx +2上,
∴k +2=4.
∴k =2,
∴直线AB 的解析式为y =2x +2①,
∵点A(1,4)在双曲线y =m x 上,
∴m =1×4=4,
∴双曲线的解析式为y =4x ②,
联立①②解得,{x =1y =4或{x =−2y =−2
, ∴B(−2,−2),
∵A(1,4),
∴AB =√(1+2)2+(4+2)2=3√5;
(2)由(1)知,双曲线的解析式为y =4x ,
∵点Q 在双曲线上,
∴设Q(q,4q ),
∵点P 在y 轴上,
∴设P(0,p),
由(1)知,B(−2,−2),
∵以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,
∴①当AB 与PQ 为对角线时,
∴12(1−2)=12(0+q),12(4−2)=12(p +4q ),
∴q =−1,p =6,
∴P(0,6),Q(−1,−4),
②当AP 与BQ 是对角线时,
∴12(1+0)=12(−2+q),12(4+p)=12(−2+4q ), ∴q =3,p =−143,
∴P(0,−143),Q(3,43), ③当AQ 与BP 是对角线时,
∴12(1+q)=12(−2+0),12(4+4q )=12(−2+p), ∴p =143,q =−3,
∴P(0,143),Q(−3,−43
), 即满足条件的点P ,Q 的坐标分别为P(0,6),Q(−1,−4)或P(0,−143),Q(3,43)或P(0,143),Q(−3,−43).
【解析】(1)将点A 的坐标代入直线和双曲线的解析式中,求出直线和双曲线的解析式,再联立求解得出点B 坐标,最后用两点间距离公式求解,即可得出结论;
(2)设Q(q,4q ),P(0,p),分三种情况,利用平行四边形的对角线互相平分建立方程组求解,即可得出结论. 此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,两点间的距离公式,平行四边形的性质,用方程组的思想解决问题是解本题的关键.
26.【答案】解:(1)∵四边形ABCD 为正方形,
∴BC =CD ,∠BCG =∠DCE ,
∵BF ⊥DE ,
∴∠E +∠CBG =∠E +∠EDC ,
∴∠CBG =∠EDC ,
在Rt △BCG 与Rt △DCE 中,
{∠CBG =∠CDE BC =DC ∠GCG =∠DCE
∴Rt △BCG≌Rt △DCE(ASA),
∴CG =CE .
(2)作CM ⊥CF 交BF 于点M ,
∵△BCG≌△DCE,
∴∠E=∠BGC,
∵∠MCG+∠FCG=∠ECF+∠FCG=90°,∴∠MCG=∠FCE,
在△MCG和△FCE中,
{∠MCG=∠FCE CG=CE
∠MGC=∠E
,
∴△MCG≌△FCE(ASA),
∴MG=FE,MC=FC,
∴△MCF为等腰直角三角形,
∴∠BFC=45°.
(3)作CN⊥BF于点N,
∴△CNF为等腰直角三角形,CN=NF,
∵G为CD中点,正方形ABCD的边长为2,∴CG=DG=CE=1,
∴BG=DE=√BC2+CG2=√5,
∴1
2BC⋅CG=1
2
BG⋅CN,
∴CN=GC⋅CG
BG =
√5
=2√5
5
,
在△CNG和△DFG中,
{∠CNG=∠DFG ∠NGC=∠FGD CG=DG
,
∴△CNG≌△DFG(AAS),∴DF=CN=2√5
5
,
∴EF=DE−DF=√5−2√5
5=3√5
5
.
【解析】(1)把CG和CE分别放在Rt△BCG和Rt△DCE中,说明它们全等即可得证;
(2)连接CF,过点C作MC⊥CF交BG于M,说明△MCF为等腰三角形即可得证;
(3)过点C作CN⊥BF于N,构造△CNG≌△DFG,即可求出DF=NC,再利用线段和差即可求出EF的长.本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,构造特殊三角形和三角形全等是解题的关键.
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