四川省资阳市高三4月模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
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(Ⅰ)若 ∥平面A1CD，确定D的位置，并说明理由；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角 的余弦值．
20.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系 中，椭圆： 的离心率为 ，直线l：y＝2上的点和椭圆上的点的距离的最小值为1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)已知椭圆的上顶点为A，点B，C是上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线 与 的斜率分别为 ， ．
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)若 ，求a的取值范围．
18.（本小题满分12分）
共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
(A) (B)
(C) (D)
5．双曲线E： ( ， )的一个焦点F到E的渐近线的距离为 ，则E的离心率是
(A) (B) (C) 2(D) 3
6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是
故当 时，函数 取得极大值，也为最大值，所以 ，
所以， ，得证．4分
（Ⅱ）不等式 ，
即为 ．
而
．
令 ．故对任意 ，存在 ，使 恒成立，
所以 ．6分
设 ，则 ，
设 ，知 对于 恒成立，
则 为 上的增函数，于是 ，
即 对于 恒成立，所以 为 上的增函数．
所以 ．8分
设 ，即 ，
当a≥0时， 为 上的减函数，且其值域为R，可知符合题意．
13. 28；14.0.2；15.2.6；16. ．
三、解答题：本大题共70分。
17.（本小题满分12分）
（Ⅰ）由已知得 ，2分
化简得 ，
整理得 ，即 ，4分
由于 ，则 ，
所以 ．6分
（Ⅱ）根据余弦定理，得
8分
．10分
又由 ，知 ，可得 ，
所以 的取值范围是 ．12分
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）由 ，解得 ．4分
（结果保留一位小数，参考数据： ， ）
16．已知函数 （k是常数，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）在区间 内存在两个极值点，则实数k的取值范围是________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
所以 ．6分
②直线AC的方程为 ，直线AB的方程为 ，不妨设 ，则 ，
令y＝2，得 ，
而 ，
所以，△CEF的面积
．8分
由 得 ，
则 ，当且仅当 取得等号，
所以△CEF的面积的最小值为 ．12分
21.（本小题满分12分）
（Ⅰ）当a＝－1时， （x＞－1），
则 ，令 ，得 ．
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减．
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式 的展开式中，常数项是_____．
14．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ²)，且P(0≤X≤2)＝0.3，则P(X＞4)＝_____．
(D)
2．已知等差数列 的前项和为 ，且 ，则
(A) 6(B) 7(C) 8(D) 9
3．已知i为虚数单位，若复数 （其中 ）为纯虚数，则
(A) (B)
(C) (D)
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为
(A)40
(B) 60
(C) 80
(D) 100
7．已知MOD函数是一个求余函数，记 表示m除以n的余数，例如 ．右图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出 的值为
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
8．已知函数 ，其中 ．若 对 恒成立，则 的最小值为
(A) 2(B) 4(C) 10(D) 16
①求证： 为定值；
②求△CEF的面积的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知函数 ，其中 .
(Ⅰ)当a＝－1时，求证： ；
(Ⅱ)对任意 ，存在 ，使 成立，求a的取值范围.（其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）
请考生在22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。
当a＜0时， ，由 可得 ，
由 得 ，则p(x)在 上为增函数；由 得 ，则p(x)在 上为减函数，所以 ．
从而由 ，解得 ．
综上所述，a的取值范围是 .12分
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
(Ⅰ)由 得
则曲线 的普通方程为 .
又由 ，得 ，得 .
把两式作差得， ，代入 ，
可得交点坐标为为 .5分
则有
．
因为 ， ，则 ，
所以 ，原不等式得证．10分
9．已知 ， ，下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
10．正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE＝120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为
(A) (B) (C) (D)
11．过抛物线 的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为
(A) 16(B) 32(C) 48(D) 64
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝R，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为
(A) 或
(B) 或
(C)
已知函数 ．
(Ⅰ)解不等式 ；
(Ⅱ)若 ， ，求证： ．
资阳市高中2014级高考模拟考试
数学参考答案及评分意见（理工类）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.B
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
12．如图，在直角梯形 中， ， ∥ ， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为 ，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若 ，其中 ，则 的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答。
（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有 人，
其中男生6人，女生3人．5分
则X的值可以为0，1，2，3．， ，， ．9分则X分布列如下：
X
0
1
2
3
P
10分
所以X的期望 ．12分
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）D为 的中点，理由如下：
连接AC1，交A1C于点E，可知E为AC1的中点，连接DE，
因为 ∥平面A1CD，
平面ABC1∩平面A1CD＝DE，
所以 ∥DE，
故 为 的中点．4分
（Ⅱ）不妨设 ＝2，分别取BC，B1C1的中点O，O1，连接AO，OO1，可知OB，OO1，OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O-xyz．
知 ，
则 ， ，
设面A1CD的法向量 ，
由 得
令 ，得A1CD的一个法向量为 ，
又平面BCC1的一个法向量 ，
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
(Ⅰ)求图中 的值；
(Ⅱ)已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2:1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21:12
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱 中，底面△ABC是等边三角形，侧面 为正方形，且 平面ABC， 为线段 上的一点．
(Ⅱ)由平面几何知识可知，
当 依次排列且共线时， 最大，此时 ，
直线 的方程为 ，则 到 的距离为 ，
所以 的面积为 .10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）原不等式即为 ．
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，此时不成立；
当 时，则 ，解得 ．
所以原不等式的解集为 或 ．5分
（Ⅱ）要证 ，即 ，只需证明 ．
资阳市高中2014级高考模拟考试
数 学（理工类）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程是 ( 为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ．
(Ⅰ)求曲线 与 交点的平面直角坐标；
(Ⅱ)点 分别在曲线 ， 上，当 最大时，求 的面积( 为坐标原点)．
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设二面角 的平面角为α，
则 ．
即该二面角的余弦值为 ．12分
20.（本小题满分12分）
（Ⅰ）由题知 ，由 ，
所以 ．
故椭圆的方程为 ．3分
（Ⅱ）①证法一：设 ，则 ，
因为点B，C关于原点对称，则 ，
所以 ．6分
证法二：直线AC的方程为 ，
由 得 ，
解得 ，同理 ，
因为B，O，C三点共线，则由 ，
整理得 ，
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角 的余弦值．
20.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系 中，椭圆： 的离心率为 ，直线l：y＝2上的点和椭圆上的点的距离的最小值为1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)已知椭圆的上顶点为A，点B，C是上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线 与 的斜率分别为 ， ．
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)若 ，求a的取值范围．
18.（本小题满分12分）
共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
(A) (B)
(C) (D)
5．双曲线E： ( ， )的一个焦点F到E的渐近线的距离为 ，则E的离心率是
(A) (B) (C) 2(D) 3
6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是
故当 时，函数 取得极大值，也为最大值，所以 ，
所以， ，得证．4分
（Ⅱ）不等式 ，
即为 ．
而
．
令 ．故对任意 ，存在 ，使 恒成立，
所以 ．6分
设 ，则 ，
设 ，知 对于 恒成立，
则 为 上的增函数，于是 ，
即 对于 恒成立，所以 为 上的增函数．
所以 ．8分
设 ，即 ，
当a≥0时， 为 上的减函数，且其值域为R，可知符合题意．
13. 28；14.0.2；15.2.6；16. ．
三、解答题：本大题共70分。
17.（本小题满分12分）
（Ⅰ）由已知得 ，2分
化简得 ，
整理得 ，即 ，4分
由于 ，则 ，
所以 ．6分
（Ⅱ）根据余弦定理，得
8分
．10分
又由 ，知 ，可得 ，
所以 的取值范围是 ．12分
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）由 ，解得 ．4分
（结果保留一位小数，参考数据： ， ）
16．已知函数 （k是常数，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）在区间 内存在两个极值点，则实数k的取值范围是________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
所以 ．6分
②直线AC的方程为 ，直线AB的方程为 ，不妨设 ，则 ，
令y＝2，得 ，
而 ，
所以，△CEF的面积
．8分
由 得 ，
则 ，当且仅当 取得等号，
所以△CEF的面积的最小值为 ．12分
21.（本小题满分12分）
（Ⅰ）当a＝－1时， （x＞－1），
则 ，令 ，得 ．
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减．
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式 的展开式中，常数项是_____．
14．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ²)，且P(0≤X≤2)＝0.3，则P(X＞4)＝_____．
(D)
2．已知等差数列 的前项和为 ，且 ，则
(A) 6(B) 7(C) 8(D) 9
3．已知i为虚数单位，若复数 （其中 ）为纯虚数，则
(A) (B)
(C) (D)
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为
(A)40
(B) 60
(C) 80
(D) 100
7．已知MOD函数是一个求余函数，记 表示m除以n的余数，例如 ．右图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出 的值为
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
8．已知函数 ，其中 ．若 对 恒成立，则 的最小值为
(A) 2(B) 4(C) 10(D) 16
①求证： 为定值；
②求△CEF的面积的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知函数 ，其中 .
(Ⅰ)当a＝－1时，求证： ；
(Ⅱ)对任意 ，存在 ，使 成立，求a的取值范围.（其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）
请考生在22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。
当a＜0时， ，由 可得 ，
由 得 ，则p(x)在 上为增函数；由 得 ，则p(x)在 上为减函数，所以 ．
从而由 ，解得 ．
综上所述，a的取值范围是 .12分
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
(Ⅰ)由 得
则曲线 的普通方程为 .
又由 ，得 ，得 .
把两式作差得， ，代入 ，
可得交点坐标为为 .5分
则有
．
因为 ， ，则 ，
所以 ，原不等式得证．10分
9．已知 ， ，下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
10．正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE＝120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为
(A) (B) (C) (D)
11．过抛物线 的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为
(A) 16(B) 32(C) 48(D) 64
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝R，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为
(A) 或
(B) 或
(C)
已知函数 ．
(Ⅰ)解不等式 ；
(Ⅱ)若 ， ，求证： ．
资阳市高中2014级高考模拟考试
数学参考答案及评分意见（理工类）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.B
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
12．如图，在直角梯形 中， ， ∥ ， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为 ，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若 ，其中 ，则 的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答。
（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有 人，
其中男生6人，女生3人．5分
则X的值可以为0，1，2，3．， ，， ．9分则X分布列如下：
X
0
1
2
3
P
10分
所以X的期望 ．12分
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）D为 的中点，理由如下：
连接AC1，交A1C于点E，可知E为AC1的中点，连接DE，
因为 ∥平面A1CD，
平面ABC1∩平面A1CD＝DE，
所以 ∥DE，
故 为 的中点．4分
（Ⅱ）不妨设 ＝2，分别取BC，B1C1的中点O，O1，连接AO，OO1，可知OB，OO1，OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O-xyz．
知 ，
则 ， ，
设面A1CD的法向量 ，
由 得
令 ，得A1CD的一个法向量为 ，
又平面BCC1的一个法向量 ，
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
(Ⅰ)求图中 的值；
(Ⅱ)已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2:1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21:12
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱 中，底面△ABC是等边三角形，侧面 为正方形，且 平面ABC， 为线段 上的一点．
(Ⅱ)由平面几何知识可知，
当 依次排列且共线时， 最大，此时 ，
直线 的方程为 ，则 到 的距离为 ，
所以 的面积为 .10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）原不等式即为 ．
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，此时不成立；
当 时，则 ，解得 ．
所以原不等式的解集为 或 ．5分
（Ⅱ）要证 ，即 ，只需证明 ．
资阳市高中2014级高考模拟考试
数 学（理工类）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程是 ( 为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ．
(Ⅰ)求曲线 与 交点的平面直角坐标；
(Ⅱ)点 分别在曲线 ， 上，当 最大时，求 的面积( 为坐标原点)．
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设二面角 的平面角为α，
则 ．
即该二面角的余弦值为 ．12分
20.（本小题满分12分）
（Ⅰ）由题知 ，由 ，
所以 ．
故椭圆的方程为 ．3分
（Ⅱ）①证法一：设 ，则 ，
因为点B，C关于原点对称，则 ，
所以 ．6分
证法二：直线AC的方程为 ，
由 得 ，
解得 ，同理 ，
因为B，O，C三点共线，则由 ，
整理得 ，
