2017-2018学年高中数学必修一模块综合测评 含解析 精

模块综合测评
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．已知集合A ＝{}0，1，2，3，4，B ＝{}x ||x |<2，则A ∩B ＝________. 【解析】 B ＝{}x ||x |<2＝{}x |－2<x <2，A ∩B ＝{}0，1. 【答案】
{}0，1
2．如果集合P ＝{x |x >－1}，那么下列结论成立的是________．(填序号) (1)0⊆P ；(2){0}∈P ；(3)∅∈P ；(4){0}⊆P .
【解析】 元素与集合之间的关系是从属关系，用符号∈或∉表示，故(1)(2)(3)不对，又0∈P ，所以{0}⊆P .
【答案】 (4)
3．设集合B ＝{a 1，a 2，…，a n }，J ＝{b 1，b 2，…，b m }，定义集合B ⊕J ＝{(a ，b )|a ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，b ＝b 1＋b 2＋…＋b m }，已知B ＝{0,1,2}，J ＝{2,5,8}，则B ⊕J 的子集为________．
【解析】 因为根据新定义可知，0＋1＋2＝3,2＋5＋8＝15，故B ⊕J 的子集为∅，{(3,15)}．
【答案】 ∅，{(3,15)} 4．若函数f (x )＝
log 2 (x －1)
2－x
的定义域为A ，g (x )＝ln (1－x )的定义域为B ，则∁R (A ∪B )＝________.
【解析】 由题意知，⎩⎨⎧
x －1>0，
2－x >0⇒1<x <2.
∴A ＝(1,2)．
⎩⎨⎧
1－x >0，
ln (1－x )≥0⇒x ≤0. ∴B ＝(－∞，0]， A ∪B ＝(－∞，0]∪(1,2)， ∴∁R (A ∪B )＝(0,1]∪[2，＋∞)．
【答案】 (0,1]∪[2，＋∞)
5．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a ＋b 的值为________．
【解析】 设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0，f (－1)＝1>0，所以a ＝－2，b ＝－1，则a ＋b ＝－3.
【答案】 －3
6．已知函数y ＝g (x )与y ＝log a x 互为反函数，f (x )＝g (3x －2)＋2，则f (x )的图象恒过定点________．
【解析】 由题知g (x )＝a x ，∴f (x )＝a 3x －
2＋2，
由3x －2＝0，得x ＝2
3，故函数f (x )＝a 3x －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，3. 【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23，3
7．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是________．(填序号)
①增函数；②减函数；③非单调函数；④可能是增函数，也可能是减函数． 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴m ＝0，即f (x )＝－x 2＋3在(－5，－2)上是增函数．
【答案】 ①
8．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a ＝________.
【解析】 依题意，函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性，因此a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.
【答案】 2
9．已知f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋1，x ≤0，
2x ，x >0，
若f (x )＝10，则x ＝________.
【解析】 当x ≤0时，令x 2＋1＝10，解得x ＝－3或x ＝3(舍去)； 当x >0时，令2x ＝10， 解得x ＝5.
综上，x ＝－3或x ＝5. 【答案】 －3或5
10．若y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫log 2 13＝________.
【解析】 ∵f (x )是奇函数， ∴f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫log 2 13＝f (－log 2 3) ＝－f (log 2 3)．
又log 2 3>0，且x >0时，f (x )＝2x ＋1，
∴f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫log 2 13＝－4.
【答案】 －4
11．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧
log 2(4－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)
的值为________．
【解析】 ∵3>0，且x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，所以f (3)＝－f (0)，又∵x ≤0时，f (x )＝log 2 (4－x )，∴f (3)＝－f (0)＝－log 2 (4－0)＝－2.
【答案】 －2
12．函数y ＝f (x )的图象如图1所示，则函数y ＝log 12
f (x )的图象大致是
________．(填序号)
图1
【解析】 设y ＝log 12
u ，u ＝f (x )，所以根据外层函数是单调减函数，所以
看函数u ＝f (x )的单调性，在(0,1)上u ＝f (x )为减函数，所以整体是增函数，u >1，所以函数值小于0，在(1,2)上u ＝f (x )为增函数，所以整体是减函数，u >1，所以函数值小于0，所以选③.
【答案】 ③
13．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |
＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是
________.
【解析】 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1(x ≥1)，2x －1(x <1)，
∴画图象可知－1≤m <0. 【答案】 [－1,0)
14．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ≤－1)，若当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 函数f (x )的对称轴为直线x ＝a ， 当a ≤－1，x ∈[－1，＋∞)时， f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .
又f (x )≥a 恒成立，所以f (x )min ≥a ， 即3＋2a ≥a ，解得a ≥－3. 所以－3≤a ≤－1. 【答案】 [－3，－1]
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 3＋23log 2 3⎝ ⎛⎭⎪⎫
2log 3 2＋32log 3 2＋log 3 2＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5
＝53log 2 3·92log 3 2＋(lg 2)2
＋lg 2·lg 5＋lg 5＝152＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＝
152＋lg 2＋lg 5＝
152＋1＝172
. 16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2 x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；
(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，
B ＝{x |log 2 x >1}＝{x |x >2}，A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．
(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.
综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．
17．(本小题满分14分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元时，甲、乙两种商品可分别获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线P 1：y 1＝ax n ，P 2：y 2＝bx ＋c 如图2所示．
图2
(1)求函数y 1，y 2的解析式；
(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资？ 【解】 由题图知P 1：y 1＝ax n
过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54，⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，52， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 54＝a ·1n
，5
2＝a ·
4n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5
4，n ＝1
2，
∴y 1＝5
4x ，x ∈[0，＋∞)．
P 2：y 2＝bx ＋c 过点(0,0)，(4,1)，
∴⎩⎨⎧
0＝0＋c ，1＝4b ＋c ，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
c ＝0，b ＝14，∴y 2＝1
4x ，x ∈[0，＋∞)． (2)设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x )万元，
则y ＝54x ＋14(10－x )＝－14x ＋54 x ＋52＝－14⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －522＋6516(0≤x ≤10)，
当且仅当x ＝52即x ＝254＝6.25时，y max ＝65
16， 此时投资乙商品为10－x ＝10－6.25＝3.75万元，
故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润． 18．(本小题满分16分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x －1.其中a ＞0且a ≠1.
(1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；
(3)解关于x 的不等式－1＜f (x －1)＜4，结果用集合或区间表示． 【解】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)， 即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (－x )＝a －x －1.
由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－a －x ＋1(x ＜0)． ∴所求的解析式为
f (x )＝⎩⎨⎧
a x
－1(x ≥0)，－a －x
＋1(x ＜0).
(3)不等式等价于 ⎩⎨⎧ x －1＜0，－1＜－a
－x ＋1
＋1＜4， 或⎩⎨⎧
x －1≥0，
－1＜a x －1
－1＜4，
即⎩⎨⎧ x －1＜0，－3＜a －x ＋1＜2或⎩⎨⎧
x －1≥0，0＜a x －1
＜5. 当a ＞1时，有⎩⎨⎧
x ＜1，
x ＞1－log a 2
或⎩⎨⎧
x ≥1，x ＜1＋log a 5，
注意此时log a 2＞0，log a 5＞0，
可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当0＜a ＜1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a ＞1时，
不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为R .
19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)， (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．
【解】 (1)函数f (x )有意义，则a x －1>0， 当a >1时，由a x －1>0，解得x >0； 当0<a <1时，由a x －1>0，解得x <0. ∴当a >1时，函数的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，函数的定义域为(－∞，0)．
由函数单调性定义知：当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上是单调递增的. 20．(本小题满分16分)设函数y ＝f (x )是定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13＝1，且当x >0时，f (x )>0.
(1)求f (0)的值； (2)判断函数的奇偶性；
(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围． 【解】 (1)令x ＝y ＝0， 则f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0.
(2)令y ＝－x ，
得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，
∴f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是R 上的奇函数． (3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2， 则x 2－x 1>0， ∴f (x 2)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)>0.
∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13＝1，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13
＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13＝2.
∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )] ＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，
又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数， 得2x ＋2<23，解得x <－2
3. 故x ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，－23.。