直线与平面的位置关系知识点归纳

P · α L β
D
C
B
A α
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450
，且横边画成邻边的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L
B ∈L => L α A ∈α
B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

已知两条异面直
L A ·
α C ·
B
· A · α 共面直线
=>a ∥c 2
线a，b，经过空间任一点O作直线'a∥a, 'b∥b,我们把'a与'b所成的锐角（或直角）叫
做异面直线a与b所成的角。

（注意：异面直线所成的角不大于90 ）。

2.1.3 —2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平
行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L
p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学
思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 —2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图
基础练习
一选择题
1.若直线a、b都和平面α平行,则直线a、b的位置关系是().
A.相交
B.平行
C.异面
D.以上三者都有可能
【解析】可以画出直线a、b的三种位置关系的图形.
【答案】D
2.给出下列结论:
①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a ∥b,b⊂α,则a∥α;④若直线a∥b,b⊂α,则直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中结论正确的个数为().
A .1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】①直线l还可能在平面α内,所以①错误;
②直线a还可能与平面α相交,所以②错误;
③直线a还可能在平面α内,所以③错误;
④平面α内,与直线b平行的直线都与直线a平行,所以④正确.
【答案】A
3.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有().
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
【解析】根据异面直线的定义可知共3对,分别为AP与BC,CP与AB,BP与AC.
【答案】C
4.过一点与已知直线垂直的直线有().
A.一条
B.两条
C.无数条
D.无法确定
【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条,包括相交垂直和异面垂直.
【答案】C
5.在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数().
A.有限个
B.无限个
C.没有
D.没有或无限个
【解析】两平面相交或者平行,因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点.
【答案】D
6.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面().
A.平行
B.相交
C.平行或重合
D.平行或相交
【解析】若三点在平面的同侧,则两平面平行;若三点在平面的异侧,则两平面相交.【答案】D
7.下列说法中,正确的个数是().
①平行于同一平面的两条直线平行.
②直线a平行于平面α内的一条直线b,那么直线a∥平面α.
③若两平行直线中的一条与平面α相交,那么另一条也与平面α相交.
④直线a与平面α内的无数条直线相交,那么直线a在平面α内.
A.0B.1C.2D.3
【解析】只有③正确.
【答案】B
8.a,b是两条直线,α是一个平面,给出下列三个命题:
①如果a∥b,b⊂α,那么a∥α;
②如果a∥α,b∥α,那么a∥b;
③如果a∥b,a∥α,那么b∥α.
其中真命题有().
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】①中,a有可能在平面α内,故①不正确;平行于同一个平面的两条直线不一定平行,故②不正确;③中,b有可能在平面α内,故③不正确.综上可知,选A.
【答案】A
9.平面α,β满足α∥β,直线a⊂α,下列四个命题中:
①a与β内的所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不相交;
④a与β无公共点.
其中正确命题的个数是().
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】因为α∥β,直线a⊂α,所以a与β内的直线平行或异面,由此可知①错,其他均正确.【答案】C
10.已知A、B、C、D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H,则四边形EFGH是().
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
【答案】A
11.若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ,则θ的取值范围是().
A.(0,)
B.[0,)
C.(0,]
D.[0,]
【解析】当a∥α时,θ=0;当a⊥α时,θ=;a和α斜交时,θ的取值范围是(0,),综上,θ的取值范围是[0,].
【答案】D
12.P为△ABC所在平面外的一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题:
①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.
其中正确的个数是().
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】∵PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC,
∴PA⊥BC,即①正确,同理可证得②③正确.
【答案】D
13.室内有一根直尺,无论怎么样放置,在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线().
A.异面
B.相交
C.平行
D.垂直
【答案】D
14.若平面α、β互相垂直,则().
A.α中的任意一条直线都垂直于β
B.α中有且只有一条直线垂直于β
C.平行于α的直线垂直于β
D.α内垂直于交线的直线必垂直于β
【答案】D
15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为().
A. B. C. D.
【解析】利用三棱锥A1-AB1D1的体积变换:=,则×2×4=×6×h,解得h=.
【答案】C
16.点P是等腰三角形ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,PA=8,在△ABC中,底边BC=6,AB=5,则P到BC的距离为().
A.4
B.5
C.3
D.2
【解析】作AD⊥BC于D,连接PD,易证PD⊥BC,故PD的长即为P到BC的距离,
易求得AD=4,PD=4.
【答案】A
17.已知m,n表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列三个命题:
(1)⇒m∥n;(2)⇒n∥α;(3)⇒m⊥n.其中推理正确的个数为().
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】若则m∥n,即命题(1)正确;若则n∥α或n⊂α,即命题(2)不正确;若则m⊥n,即命题(3)正确.故选C.
【答案】C
18.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是().
A.直线AC
B.直线AB
C.直线CD
D.直线BC
【解析】∵D∈l,l⊄平面β,∴D∈平面β.
∵D∈AB,AB⊄平面ABC,∴D∈平面ABC,
∴D在平面ABC与平面β的交线上.
∵C∈平面ABC,且C∈平面β,∴C在平面β与平面ABC的交线上,
∴平面ABC∩平面β=CD.
【答案】C
二填空题
1.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=5,又AD=6,BC=8,则AD与BC所成角的大小为.
【解析】取AC中点G,连接EG,FG,
在△EFG中,EG∥BC,EG=BC=4,FG∥AD,FG=AD=3,又知EF=5,
∴∠EGF=90°,∴AD与BC所成角为90°.
【答案】90°
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线.
(1)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相同;
(2)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相反.
【解析】(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC,并且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同.
(2)D1B1∥BD,D1A1∥BC,并且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反.
【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1
3.若a⊂α,b⊂β,则a与b的位置关系是.
【解析】可能异面,也可能存在平面γ,使a⊂γ,且b⊂γ,即a与b仍可以在同一平面内.
【答案】平行、相交或异面
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC、C1D1的中点,则EF与平面BB1D1D的位置关系是.
【解析】如图,取D1B1的中点O,连接OF,OB.
∵OF B1C1,BE B1C1,
∴OF BE,∴四边形OFEB为平行四边形,∴EF∥BO.
∵EF⊄平面BB1D1D,BO⊂平面BB1D1D,
∴EF∥平面BB1D1D.
【答案】平行
5.平面α∥平面β,△ABC和△A'B'C'分别在平面α和平面β内,若对应顶点的连线共点,则这两个三角形.
【解析】由于对应顶点的连线共点,则AB与A'B'共面,
由面与面平行的性质知AB∥A'B',
同理AC∥A'C',BC∥B'C',故两个三角形相似.
【答案】相似
6.过平面外一点作该平面的垂线有条;垂面有个;平行线有条;平行平面有个.
【答案】一无数无数一
7.已知AH⊥Rt△HEF所在的平面,且HE⊥EF,连接AE、AF,则图中直角三角形的个数
是.
【解析】易知△AHE,△AHF,△HEF为直角三角形,又因为EF⊥HE,EF⊥AH,所以EF⊥平面AEH,所以EF⊥AE,即△AEF也是直角三角形.综上所述,图中直角三角形个数为4.
【答案】4
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线C1D与平面B1CD所成的角为.
【解析】连接C1B交B1C于点O,根据直线C1B⊥平面B1CD,可得直线C1D与平面B1CD所成的角为∠ODC1,在Rt△ODC1中,根据DC1=2OC1,可得∠ODC1=30°,因此直线C1D与平面B1CD所成的角为30°.
【答案】30°
9.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2,求侧面与底面所成的二面角.
【解析】易求得底面边长为2,高为3,tan θ=,所以θ=60°.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.
【解析】由EF∥平面AB1C,可知EF∥AC,
所以EF=AC=×2=.
强化练习
一选择题
1．下列命题中，正确的有()
①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．
④垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．
A．2个B．3个
C．4个D．5个
[答案] C
[解析] ②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立． 2．设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出α∥β的是( ) A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β B ．l ⊂α，m ⊂β，且l ∥m C ．l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m D ．l ∥α，m ∥β，且l ∥m [答案] C
[解析] 排除法，A 可举反例，如图(1)，B 可举反例如图(2)，其中l 与m 都平行于a ， D 可举反例，如图(3)，故选C.
3．(08·福建理)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )
A.6
3
B.255
C.155
D.105
[答案] D
[解析] 取B 1D 1中点O ，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，
又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，
∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，
在Rt△BOC1中，C1O＝2，BC1＝BC2＋CC21＝5，
∴sin∠OBC1＝10 5.
4．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A ＝2AB，则下列结论正确的是()
A．PB⊥AD
B．平面P AB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面P AE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
[答案] D
[解析]设AB长为1，由P A＝2AB得P A＝2，
又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，
又P A⊥平面ABC，所以P A⊥AD，
所以△P AD为直角三角形．
∵P A＝AD，∴∠PDA＝45°，
∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.
5．(09·湖北文)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠ACC1＝60°，∠BCC1＝45°，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于()
A.1
2 B.22 C.3
2
D.
33
[答案] A
[解析] 作C 1O ⊥底面ABC 于O ， 作OM ⊥CB 于M ，连C 1M . 作ON ⊥AC 于N ，连C 1N .
易知ON ⊥AC ，OM ⊥BC ，
又∠ACB ＝Rt ∠，∴ONCM 为矩形，OC ＝MN ， 在Rt △CNC 1中，∠C 1CN ＝60°，CC 1＝1，∴CN ＝1
2，
在Rt △C 1MC 中，∠C 1CM ＝45°，CC 1＝1，∴CM ＝2
2
. ∴NM ＝
⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫222＝32，∴OC ＝32
， 在Rt △C 1OC 中，C 1O ＝1－⎝⎛
⎭⎫322＝1
2
， ∴三棱柱高为1
2
.
6．(09·宁夏海南文)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝
2
2
，则下列结论中错误的是( ) A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A －BEF 的体积为定值
D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
[答案] D
[解析]由正方体ABCD－A1B1C1D1得，B1B⊥平面ABCD，∴AC⊥B1B，又∵AC⊥BD，∴AC⊥面BDD1B1，BE⊂面BDD1B1，
∴AC⊥BE，故A正确．
由正方体ABCD－A1B1C1D1得，B1D1∥BD，
B1D1⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴B1D1∥平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，∴B正确．
∵A到平面BDD1B1的距离d＝
2 2，
∴V A－BEF＝1
3S△BEF·d
＝1
3·
1
2S△BB1D1·d＝
1
12.
∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故C正确．
因E、F是线段B1D1上两个动点，且EF＝
2 2，
在E，F移动时，A到EF的距离与B到EF的距离不相等
∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错．
7．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
[答案] B
[解析] 连结AB 1，易知AB 1∥EF ，连结B 1C 交BC 1于点G ，取AC 的中点H ，则GH ∥AB 1∥EF .
设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，在△GHC 中，易知GH ＝12AB 1＝22a ，BG ＝22a ，HB ＝2
2a ，故
两直线所成的角为∠HGB ＝60°.
[点评] 除可用上述将EF 平移到GH 方法外还可以在平面BCC 1B 1内过F 作FD ∥BC 1
交B 1C 1于D ，考虑在△EFD 内求解等．如果再补上一个三棱柱成正方体则结论就更明显了．
8．在空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则对角线AC 与BD 的位置关系为( )
A ．相交但不垂直
B ．垂直但不相交
C ．不相交也不垂直
D ．无法判断 [答案] B
[解析] 作AO ⊥平面BCD 于O ，
连BO 并延长交DC 于N ，连DO 并延长交BC 于M ，
连CO 并延长交BD 于H ， ∵BC ⊥AO ，BC ⊥AD
∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DM ，同理 BN ⊥CD ，∴O 为△BDC 的垂心，∴CH ⊥BD 又AO ⊥BD ，∴BD ⊥平面AOC ， ∴BD ⊥AC .
9．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )
A.
3
3
B.
2
2
C.2
D. 3
[答案] C
[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥AO ，
∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1A
AO
＝2，∴选C.
10．在二面角α－l －β中，A ∈α，AB ⊥平面β于B ，BC ⊥平面α于C ，若AB ＝6，BC ＝3，则二面角α－l －β的平面角的大小为( )
A ．30°
B ．60°
C ．30°或150°
D ．60°或120° [答案] D
[解析] 如图，∵AB ⊥β，∴AB ⊥l ，∵BC ⊥α，∴BC ⊥l ，∴l ⊥平面ABC ，
设平面ABC ∩l ＝D ，
则∠ADB 为二面角α－l －β的平面角或补角， ∵AB ＝6，BC ＝3，
∴∠BAC ＝30°，∴∠ADB ＝60°， ∴二面角大小为60°或120°.
11．(2010·重庆文，9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( ) A ．只有1个 B ．恰有3个 C ．恰有4个 D ．有无穷多个
[答案] D
[解析] 过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45°角直线上所有点到两条直线的距离都相等，故选D.
12．ABCD 是正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A －BD －C ，E 为CD 的中点，则∠AED 的大小为( )
A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．90° [答案] D
[解析] 设BD 中点为F ，则AF ⊥BD ，CF ⊥BD
∴∠AFC ＝90°，∴AF ⊥面BCD ∵E 、F 分别为CD 、BD 的中点， ∴EF ∥BC ，
∵BC ⊥CD ，∴CD ⊥EF ，
又AF ⊥CD ，∴CD ⊥平面AEF ，∴CD ⊥AE .故选D. 13．已知l ⊂β，m ⊥α，有下列四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m; ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题是( ) A ．②与④ B ．③与④ C ．①与② D ．①③
[答案] D [解析]
⎭
⎪⎬⎪
⎫
⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⊥αα∥β⇒m ⊥β l ⊂β
⇒m ⊥l ，∴①正确否定A 、B ，
⎭
⎪⎬⎪
⎫
⎭
⎪⎬⎪
⎫又m ⊥α l ∥m ⇒l ⊥α l ⊂β
⇒β⊥α，∴③正确否定C ，故选D. 14．已知三棱锥S －ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC ＝2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
[答案] D
[解析] 此三棱锥的高为球的半径，ABC 所在大圆面积为πr 2，三棱锥的底面易知为等腰直角三角形．腰长为2r ，所以三棱锥底面面积为12(2r )2＝r 2
，V 球V 锥＝43πr 3
13r 3
＝4π，∴球体积
与三棱锥体积之比为4π，故选D.
15．在空间四边形ABCD 中，AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，且△BCD 是锐角三角形，那么必有( )
A ．平面ABD ⊥平面ADC
B ．平面ABD ⊥平面AB
C C ．平面ADC ⊥平面BC
D D ．平面ABC ⊥平面BCD [答案] C
16．已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β； ⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l . 其中正确命题的序号是( ) A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③
[答案] C
[解析] 由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；
对于②，若l ∥α，m ⊂α，则l 与m 可能平行，也可能是异面直线，故②不正确； 对于③，满足题设的平面α、β有可能平行或相交，也有可能垂直，故③是错误的； 由面面垂直的判定定理知，④是正确的；
对于⑤，m 与l 可能平行，也可能是异面直线，故⑤是错误的．故正确的命题是①、④. 17．若a 、b 表示直线，α表示平面， ①a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α； ②a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥α； ③a ∥α，b ⊥α，则b ⊥a ； ④a ⊥α，b ⊂α，则b ⊥a . 上述命题中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④
[答案] C
[解析] ①b ∥α或b ⊂α ②b ⊥α或b ∥α或b ⊂α ③、④正确， ∴选C.
18．已知三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ，下面四个命题中，正确的是( ) A.
⎭⎪⎬⎪
⎫α⊥γβ⊥γ⇒α∥β B.
⎭⎪⎬⎪
⎫m ∥βl ⊥m ⇒l ⊥β C.
⎭⎪⎬⎪
⎫m ∥γn ∥γ⇒m ∥n D.
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β [答案] D
[解析] 对于A ，α与β可以平行，也可以相交；对于B ，l 与β可以垂直，也可以斜交或平行；对于C ，m 与n 可以平行，可以相交，也可以异面．
19．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．可能存在也可能不存在 C ．有无数多个
D．一定不存在
[答案] B
[解析]当a⊥b时，有且只有一个．
当a与b不垂直时，不存在．
20．(08·安徽)已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
[答案] D
21．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
[答案] A
[解析]∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，
又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，
∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C.
又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.
而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C.
又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.
22．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()
A．平行B．垂直
C．斜交D．不能确定
[答案] B
[解析]设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l⊥a，l⊥b.
过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.
同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，
∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.
23．设有直线m、n与平面α、β，则在下面命题中，正确的是()
A．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
B．若m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β
[答案] C
[解析]对于C，由m∥n，n⊥β得m⊥β.
又m⊂α，可得α⊥β.∴应选C.
24．如图已知平面CBD⊥平面ABD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状为()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
[答案] B
[解析]过A作AE⊥DB，则AE⊥平面DBC，∴AE⊥BC，又DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC，
又DA∩AE＝A，∴BC⊥平面DAB，
∴BC⊥AB，∴△ABC为直角三角形．
25．(2010·北京理，8)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD、CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()
A．与x，y，z都有关
B．与x有关，与y，z无关
C．与y有关，与x，z无关
D ．与z 有关，与x ，y 无关 [答案] D
[解析] 这道题目延续了北京高考近年8,14,20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，△EFQ 的面积永远不变，为矩形A 1B 1CD 面积的1
4，而当P 点变化(即z 变化)
时，它到平面A 1B 1CD 的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．
26．在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝8，B ＝30°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，P ′是AB 边上动点，则PP ′的最小值为( )
A ．2 B.7 C ．27
D.19
[答案] C
[解析] 作CP ′⊥AB ，垂足为P ′，则易知PP ′⊥AB ，
∴PP ′为所求最小值．
在Rt △ABC 中，由AB ＝8，∠B ＝30°得， P ′C ＝23， 又PC ⊥平面ABC ， ∴PC ⊥P ′C ，
∵PC ＝4，∴PP ′＝27.
27．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ⊥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；
④l ⊥m ⇒α∥β.
其中正确的两个命题是( ) A ．①② B ．③④ C ．②④
D ．①③
[答案] D
28．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确的是( ) A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
[答案] D
[解析]当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，故B错；同样，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D正确．
29．对于直线m、n和平面α、β、γ，下列命题中，正确命题的个数为()
①若m∥α，n⊥m，则n⊥α
②若m⊥α，n⊥m，则n∥α
③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ
④若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
A．1B．2
C．3D．4
[答案] A
[解析]①②③错，④正确．
30．(09·广东文)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是()
A．①和②B．②和③
C．③和④D．②和④
[答案] D
31．(09·浙江文)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β
B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
[答案] C
[解析]l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，A错；
l ∥α，α∥β⇒l ∥β或l ⊂β，B 错； l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，C 正确；
若l ∥α，α⊥β，则l 与β位置关系不确定，D 错．
32．a 、b 为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题： ①a ∥α且a ∥b ⇒b ∥α； ②a ⊥α且a ⊥b ⇒b ∥α； ③a ⊥α且a ⊥b ⇒b ⊥α； ④a ⊥β且α⊥β⇒a ∥α. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
[答案] A [解析]
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ∥αa ∥b ⇒b ∥α或b ⊂α； ⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α或b ⊂α；
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⊥βα⊥β⇒a ∥α或a ⊂α. 33．如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，AP ⊥平面ABC ，PD ⊥BC 于D ，则图中共有________个直角三角形( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
[答案] A
[解析] △P AC ，△P AD ，△P AB ，△PDC ，△PDB ，△CDA ，△BDA ，△CAB 共8个． 34．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、
B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )
A ．2∶1
B ．3∶1
C ．3∶2
D ．4∶3
[答案] A
[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π
4，
∠ABA ′＝π
6
，设AB ＝2a ，
则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π
6＝3a ，
∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB A ′B ′＝
35．已知a 、b 、c 是直线，α、β是平面，下列条件中，能得出直线a ⊥平面α的是( ) A ．a ⊥c ，a ⊥b ，其中b ⊂α，c ⊂α B ．a ⊥b ，b ∥α C ．α⊥β，a ∥β D ．a ∥b ，b ⊥α [答案] D
[解析] A 中缺b 与c 相交的条件；如图(1)，可知b ∥α，a ⊥b 时，a 与α可平行、可相交，相交时也可垂直，故B 错；
如图(2)是一个正方体，满足α⊥β，直线a 可以是AC ，也可以是AB ，故C 错． 36．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．
的是( ) A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面P AE C ．平面PDF ⊥平面ABC D ．平面P AE ⊥平面ABC [答案] C
[解析] ∵D 、F 分别为AB 、CA 中点，∴DF ∥BC . ∴BC ∥平面PDF ，故A 正确． 又∵P －ABC 为正四面体，
∴P 在底面ABC 内的射影O 在AE 上．∴PO ⊥平面ABC .∴PO ⊥DF . 又∵E 为BC 中点，∴AE ⊥BC ，∴AE ⊥DF .
又∵PO ∩AE ＝O ，∴DF ⊥平面P AE ，故B 正确．
又∵PO ⊂面P AE ，PO ⊥平面ABC ， ∴面P AE ⊥面ABC ，故D 正确． ∴四个结论中不成立的是C.
二 填空题
1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，P A 垂直于圆O 所在的平面，AC ＝3，P A ＝4，AB ＝5，则直线PB 与平面P AC 所成角的正弦值为________．
[答案]
441
41
[解析] ∵P A ⊥平面ABC ∴P A ⊥BC ， 又BC ⊥AC ∴BC ⊥平面P AC ，
∴∠BPC 为直线PB 与平面P AC 所成的角． 在Rt △P AB 中，P A ＝4，AB ＝5，∴PB ＝41， 在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，∴BC ＝4， ∴sin ∠BPC ＝BC PB ＝441
41
.
2．▱ABCD 的对角线交点为O ，点P 在▱ABCD 所在平面外，且P A ＝PC ，PD ＝PB ，则PO 与平面ABCD 的位置关系是________．
[答案] 垂直
[解析] ∵P A ＝PC ，O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC . 同理可得PO ⊥BD .∵AC ∩BD ＝O ， ∴PO ⊥平面ABCD .
3．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离是________．
[答案]
135
[解析] 因为AB ＝3，BC ＝4，所以BD ＝5，过A 作AE ⊥BD ，连接PE ，∵P A ⊥平面
ABCD ，∴P A ⊥BD ，
∵P A ∩AE ＝A ，∴BD ⊥平面P AE ，∴PE ⊥BD ， 在△ABD 中，AE ＝12
5
，所以PE ＝
12＋⎝⎛⎭⎫1252＝135.
4．(2010·湖南文，13)如图中的三个直角三角形是一个体积20cm 3的几何体的三视图，则h ＝______ cm.
[答案] 4
[解析] 该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V ＝
1
3×⎝⎛⎭
⎫1
2×5×6×h ＝20，∴h ＝4 cm.
5．(09·全国Ⅰ文)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．
[答案] 16π
[解析] 设球的半径为R ，截面圆的半径为r ， 则有⎩⎪⎨⎪
⎧
πr 2
＝3π⎝⎛⎭
⎫R 22＋r 2＝R 2
解得R ＝2，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π.
6．如图，ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ＝a .
(1)二面角A －PD －C 的度数为________； (2)二面角B －P A －D 的度数为________； (3)二面角B －P A －C 的度数为________； (4)二面角B －PC －D 的度数为________． [答案] 90°；90°；45°；120°
[解析] (1)P A ⊥平面ABCD ∴P A ⊥CD
又ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ， 又CD ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD ， ∴二面角A －PD －C 为90°.
(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥P A ，AD ⊥P A ∴∠BAD 为二面角B －AP －D 的平面角 又∠BAD ＝90°，∴二面角B －AP －D 为90° (3)P A ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥P A ，AC ⊥P A ∴∠BAC 为二面角B －P A －C 的平面角 又ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45° 即二面角B －P A －C 为45° (4)作BE ⊥PC 于E ，连DE
则由△PBC ≌△PDC 知∠BPE ＝∠DPE 从而△PBE ≌△PDE
∴∠DEP ＝∠BEP ＝90°，且BE ＝DE ∴∠BED 为二面角B －PC －D 的平面角 ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又AB ⊥BC ， ∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥PB ， ∴BE ＝PB ·BC PC ＝63
a ，BD ＝2a
∴取BD 中点O ，则sin ∠BEO ＝BO BE ＝3
2，
∴∠BEO ＝60°，∴∠BED ＝120° ∴二面角B －PC －D 的度数为120°.
7．已知二面角α－AB －β为120°，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AB ＝AC ＝
BD＝a，则
(1)CD的长为________；
(2)CD与AB所成的角为________．
[答案](1)2a(2)60°
[解析]在平面β内，作AD′綊BD，连DD′，则DD′綊AB
(1)∵AC⊥AB，D′A⊥AB，
∴∠D′AC为二面角α－AB－β的平面角
即∠D′AC＝120°
∵AB＝AC＝BD＝a，∴CD′＝3a
又AB⊥平面ACD′，DD′∥AB，∴DD′⊥平面ACD′
∴DD′⊥D′C，又DD′＝a
∴CD＝DD′2＋D′C2＝2a
(2)∵DD′∥AB
∴∠D′DC为异面直线CD与AB所成的角
在Rt△DD′C中，DD′＝a，CD＝2a
∴∠D′DC＝60°，即CD与AB所成的角为60°.
8．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，E是P A的中点，则E到平面PBC的距离为________．
[答案]
3 4a
[解析]如图，设AC交BD于O，连EO，
∵E、O分别为P A、AC的中点，∴EO∥PC，又EO⊄面PBC，PC⊂面PBC，
∴EO∥平面PBC，于是EO上任一点到平面PBC的距离都相等，则O点到平面PBC 的距离即为所求．
在平面ABCD内过O作OG⊥BC于G，∵PC⊥平面ABCD，
∴PC⊥OG，
∴OG⊥平面PBC.
∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴OG＝3a
2sin∠OBC＝
3a
2×sin30°＝
3
4a.
即E到面PBC距离为
3 4a.
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为__________．
[答案]
2 4
[解析](1)转化为点A1到平面ABC1D1的距离，连A1D交AD1于O1点，可证A1O1⊥平面ABC1D1，
∴A1到平面ABC1D1距离A1O1＝
2 2，
从而O到平面ABC1D1距离为
2 4.
(2)转化为直线到平面的距离，过O作直线EF∥A1B1交A1D1于E，交B1C1于F，过E 作EE1⊥AD1，可证EE1⊥平面ABC1D1从而得解．
10．三条直线a∥b∥c，若b、c距离为2，a、c距离为1，a、b距离为7，则由a、c 确定的平面α与b的距离为________．
[答案] 3
[解析]在直线b上取一点P，过P作PO⊥α于O，作OQ⊥c于Q，交直线a于R，。