湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中高三数学五月模拟考试试题

2015年全国高等学校招生统一考试汉阳一中仿真模拟（二）
数学（文史类）试题
★祝考试顺利★ 试卷满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知向量(2,1)a =r ，(1,)a b k +=r r
错误!未找到引用源。

，若错误!未找到引用源。

∥错误!
未找到引用源。

，则实数错误!未找到引用源。

= （ ）
A ．错误!未找到引用源。

B ．－2
C ．－7
D ．3
3．在△ABC 中，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

△ABC 的面积等于 （ ）
A －错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

4．下列关于函数错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

（ ）
A ．错误!未找到引用源。

B ．错误!未找到引用源。

C ．错误!未找到引用源。

D ．错误!未找到引用源。

5．右图是一个几何体的三视图，其中正（主）视图、
侧（左）视图都是矩形，则该几何体的体积是 （ ） A ．24 B ．18 C ．16
D ．12
6．错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

A. 错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C. 错误!
未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

7．已知错误!未找到引用源。

的导函数是错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

错误!
未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，则有
（ ）
A ．错误!未找到引用源。

B ．错误!未找到引用源。

C ．错误!未找到引用源。

D ．错误!未找到引用源。

8．设
错误!未找到引用源。

，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是 （ ）
A ．S=2,这5个数据的方差
B ．S=2,这5个数据的平均数
C ．S=10,这5个数据的方差
D ．S=10,这5个数据的平均数 9.错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，则下列结论中正确的是 （ ） A ．错误!未找到引用源。

B ．错误!未找到引用源。

C ．错误!未找到引用源。

D ．错误!未找到引用源。

10．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，当0＞x 时，.2),2(2
1
20,12)(1⎪⎩⎪
⎨⎧-≤-=-＞＜x x f x x f x 则关于x 的方程()[]()0162
=--x f x f 的实数根个数为 （ ）
A 、6
B 、7
C 、8
D 、9
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上．
11.函数错误!未找到引用源。

的定义域是
12.已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5），错误!未找到引用源。

. 错误!未找到引用源。

则实数t 的错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

.
13.区域错误!未找到引用源。

，定点A （3，1），在M 内任取一点P ，使得错误!未找到引用源。

的概率为
14. 已知抛物线错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

是抛物线
错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，
错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

15．若α
是第二象限角，其终边上一点(P x
，且cos 4
α=，则sin α= ． 16. 给出下列四个命题：
①错误!未找到引用源。

的充分不必要条件是错误!未找到引用源。

； ②错误!未找到引用源。

;
③已知点错误!未找到引用源。

若错误!未找到引用源。

，则动点错误!未找到引用源。

的
轨迹为双曲线的一支；
④若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

其中所有真命题的序号是
17. 设1F 、2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，
使22()0OP OF PF +⋅=u u u r u u u u r u u u u r
（O 为坐标原点），且||4||321PF PF =，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. 设(),R f x a b λ∈=⋅r r ，其中()cos ,sin ,sin cos ,cos()2a x x b x x x πλ⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
r r ，已知
()f x 满足()03f f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）求不等式3)6
2cos(2>-π
x 的解集。

19. 已知等差数列{}n a 满足121, a a =、73a -、8a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和
1n n T a =-（其中a 为正常数）
（1）求{}n a 的前项和n S ；
（2）已知*
2a N ∈，1122n n n I a b a b a b =++⋅⋅⋅+，求n I
20．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介
于155㎝和195㎝之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组错误!未找到引用源。

，第二组错误!未找到引用源。

、…、第八组错误!未找到引用源。

，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。

（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180㎝以上（含180㎝）的人数；
（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别
为错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，求满足：错误!未找到引用源。

的事件概率。

21．若函数()f x 是定义域D 内的某个区间I 上的增函数，且()()
f x F x x =在I 上是减函数，则称()y f x =是I 上的“单反减函数”，已知()()2
ln ,2ln ()f x x g x x a x a R x
==++∈
（1）判断()f x 在(]0,1上是否是“单反减函数”；
（2）若()g x 是[)1,+∞上的“单反减函数”，求实数a 的取值范围．
22．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为154，12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆
上任意一点，且PF 1F 2的周长是8215+ （1）求椭圆C 的方程；
（2）设圆T ：()2
249
x t y -+=，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E 、F 两点，
当圆心在x 轴上移动且()1,3t ∈时，求EF 的斜率的取值范围．
E
F
M
x
y O
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
A
C
D
D
C
A
A
A
B
二、填空题：
11. 错误!未找到引用源。

12. 错误!未找到引用源。

13. 错误!未找到引用
源。

14. 错误!未找到引用源。

15.
10
4
16. ② 17. 错误!未
找到引用源。

三、解答题：
18. 解：（1）()()cos sin cos sin cos 2f x x x x x x πλ⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
2
2
sin cos cos sin x x x x λ=-+ sin 2cos 22x x λ
=
- ………………2分
()
0233f f πλ⎛⎫
-=∴= ⎪⎝⎭
Q ……………3分 ()3sin 2cos 22sin 26f x x x x π⎛
⎫∴=-=- ⎪⎝
⎭
令()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，得()6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
()f x ∴的单调递增区间是(),63k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
…………7分
（2）∵32)6
2cos(4>-π
x ，∴2
3
)6
2cos(>
-
π
x ()2226
6
6
k x k k Z π
π
π
ππ∴-
<-
<+
∈
()6
k x k k Z π
ππ∴<<+
∈
不等式的解集是()|6
x k x k k Z π
ππ⎧
⎫<<+∈⎨⎬⎩
⎭
……………12分
19. 解：（1）设{}n a 的公差是d ，则
()
()()()2
2
2873117163a a a d d d =-∴++=+-Q
1d ∴=或3
29
d =
…………………4分
当d=1时,()()11
111122
n S n n n n n =⨯+-⨯=+ 当329d =时,()213355112295858
n S n n n n n =⨯+-⨯=+ ……………6分
（2）2n a N
a n ∈∴=Q 当1n =时，11
b a =-
当2n ≥时，()111n n n n b T T a a --=-=- ()()()1111111*n n b a a a b a a n N --=-=-∴=-∈Q …………8分
当1a =时，00n n b I =⇒= ……………9分
当1a ≠时
()()()()211121311n n I a a a a a na a -=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+- ()()()()()21
121111n n n aI a a a a n a a na a -∴=-+-+⋅⋅⋅+--+-
()()()()()111111n n n a I a a a a a na a -∴-=-+-+⋅⋅⋅+--- ()11n
n
a na
a =---
1
1
n n
n a I na a -∴=-- …………………11分
()()()()
0110,11,1n n n
a I a na a a ⎧=⎪
∴=⎨--
∈⋃+∞⎪-⎩
…………………12分
20．（1）直方图的前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）错误!未找到引用源。

5=0.82 后三组的频率为1-0.82=0.18，故这所学校高三男生身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为800错误!未找到引用源。

0.18=144（人）
（2）由直方图得后三组的人数为0.18错误!未找到引用源。

50=9（人），第八组频率为0.008错误!未找到引用源。

5=0.04，人数为0.04错误!未找到引用源。

50=2（人），设第六组人数为m ，则第七组人数为9-2-m=7-m ，又m+2=2(7-m),所以m=4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08、0.06；
（3）由（2）知身高在错误!未找到引用源。

内的人数为4人，身高在错误!未找到引用源。

内的人数为2人，
若错误!未找到引用源。

时有，有6种情况；若错误!未找到引用源。

时有，有1种情况；若错误!未找到引用源。

分别在错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

内时，设错误!未找到引用源。

表示身高在错误!未找到引用源。

的4个人，错误!未找到引用源。

表示身高在错误!未找到引用源。

的2个人，若抽取的两个人在错误!未找到引用源。

中，
有错误!未找到引用源。

共6中情况，若抽取两人中一个来自于错误!未找到引用源。

，一个
来自于错误!未找到引用源。

中，
有错误!未找到引用源。

共8中情况，故基本事件总数为6+1+8=15种，事件“错误!未找到引用源。

”所包含的基本事件有7种，故所求概率为错误!未找到引用源。

21．解：（1）由于f （x ）=lnx ，在（0，1]上是增函数，且F （x ）=
=
，
∵F′（x ）=
，∴当x ∈（0，1]时，F′（x ）＞0，F （x ）为增函数，
∴f（x ）在（0，1]上不是“单反减函数”；•••••••••••••6分 （2）∵g（x ）=2x++alnx ，
∴g′（x ）=2﹣
+=
，••••••••••••••••8分
∵g（x ）是[1，+∞）上的“单反减函数”，
∴g′（x ）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g′（1）≥0，∴a≥0，•••••••••••••••••••••9分 又G （x ）=
=2+
+
在[1，+∞）上是减函数，
∴G′（x ）≤0在[1，+∞）恒成立，即﹣
+
≤0在[1，+∞）恒成立，
即ax ﹣axlnx ﹣4≤0在[1，+∞）恒成立，••••••••••••••••••11分
令p （x ）=ax ﹣axlnx ﹣4则p′（x ）=﹣alnx ， ∴
解得0≤a≤4，
综上所述0≤a≤4．••••••••••••••••14分
22．解：（1）由15
e =
，可知a=4b ，15c b = 因为12PF F V 的周长是815+
所以228215a c +=+所以a=4,b=1,
所求椭圆方程为2
2116
x y += …………………………4分 （2）椭圆的上顶点为M(0,1)，设过点M 与圆T 相切的直线方程为1y kx =+， 由直线1y kx =+与T 21
23
1kt k +=+， 即(
)
2
2
941850t k tk -++=
1212
22185
,9494
t k k k k t t ∴+=-
=--，…………6分 由122
1116
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2211116320k x k x ++=
12132116E k x k ∴=-
+ 同理 2
2
232116F
k x k =-+ ………8分 ()()121211E F E F E F
EF E F E F E F k x k x y y k x k x k x x x x x x +-+--=
==
--- 122126116283k k t k k t +==-- ……………11分 当1<t<3时，()2
6283t f t t =
-为增函数,故EF 的斜率的范围为6,1825⎛⎫
⎪⎝⎭
……………14分。