课件11：1.1 基本计数原理（一）

课堂小结 用两个计数原理解决计数问题时，分清是分类还是分步： (1)分类要做到“不重不漏”．分类过程中，自始至终要 按同一标准，最忌采用双重或多重标准分类，会出现重 漏现象．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类 加法计数原理求和得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好 完成了任务且步与步之间不能“重叠”．分步后再计算 每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成 每一步的方法数相乘，得到总数．
()
A．8
B．15
C．16
D．30
【解析】第一类：会第 1 种方法的选 1 人，有 3 种选 法；第二类：会第 2 种方法的选 1 人，有 5 种选法， 共有 5＋3＝8 种选法． 【答案】A
2x－y≥0， 2．若 x，y∈N＋，且 x，y 所满足的不等式组为x＋y≤6， 试求满足条件的点 M(x，y)共有多少个？
5．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a，b
组成复数 a＋bi，其中虚数有
()
A．30 个
B．42 个
C．36 个
D．35 个
【解析】第一步取数 b，有 6 种方法；第二步取数 a，也有
6 种方法．根据分步乘法计数原理，共有 6×6＝36 种方法．
【答案】C
6．火车上有 10 名乘客，沿途有 5 个车站，乘客下车的 可能方式有多少种？
问题 2：完成每一步各有几种方法？ 提示：第一个步骤有 7 种方法，第二个有 6 种方法． 问题 3：该志愿者从里约热内卢到库里奇巴共有多少 种不同的方法？ 提示：共有 7×6＝42 种不同方法．
新知自解
做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法，做第二个步骤有 m2 种不同的方法……做第
有( )
A．24 种
B．14 种
C．10 种
D．9 种
【解析】不选连衣裙有 4×3＝12 种方法，选连衣裙有 2 种．共有 12＋2＝14 种． 【答案】B
8．从 1,2,3,5,7,9 六个数中任取两个数作对数的底数和 真数，则所有不同的对数值的个数为________．
【解析】分两类：第一类取 1,1 只能为真数，此时对数的值为 0； 第二类，不取 1，分两步． 第一步，取底数，有 5 种方法； 第二步，取真数，有 4 种方法． 根据分步乘法计数原理，有 5×4 个对数值． 根据分类加法计数原理，可得不同的对数值有 1＋5×4＝21 个． 【答案】21
题组集训
4．现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，
如果选一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种
数为( )
A．7
B．12
C．64
D．81
【解析】要完成配套需分两步，第一步，选上衣，从 4 件上衣中任选一件，有 4 种不同选法；第二步，选长 裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同选法．故共 有 4×3＝12 种不同的配法． 【答案】B
解：结合图像可知 当 x＝1 时，y 取 1,2； 当 x＝2 时，y 取 1,2,3,4； 当 x＝3 时，y 取 1,2,3； 当 x＝4 时，y 取 1,2； 当 x＝5 时，y 取 1，共有 2＋4＋3＋2＋1＝12(个)．
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数 共有多少个？ 解：法一：按十位上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情 况分成八类，在每一类中满足题目条件的两位数分别 有 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个．由 分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有 8＋7＋ 6＋5＋4＋3＋2＋1＝36 个．
1.1 基本计数原理（一）
知识点一 分类加法计数原理 入门答辩 2014 年 6 月，第 20 届世界杯足球赛在巴西召开，这是国 际体坛的一大盛事．一名志愿者从里约热内卢赶赴圣保 罗为游客提供导游服务，每天有 7 个航班，6 列火车． 问题 1：该志愿者从里约热内卢到圣保罗的方案可分 几类？ 提示：两类，即乘飞机、坐火车．
解：由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成． 第一步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期 中任意选择一种理财方式； 第二步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和 三年期三种国债中任意选择一种理财方式． 由分步乘法计数原理，知张涛共有 2×3＝6 种不同的理 财方式．
一点通 利用分步乘法计数原理时要注意： (1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求 的先行安排； (2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性．
解：以“乘客”来考虑：10 名乘客下车可看作 10 步， 每人下车有 5 种方式，根据分步乘法计数原理， 10 名乘客不同的下车方式有 510 种.
考点三 两个计数原理的初步应用 例 3 有 A，B，C 型高级电脑各一台，甲、乙、丙、 丁 4 个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种 型号的电脑，丙不会操作 C 型电脑，而丁只会操作 A 型电脑．从这 4 个操作人员中选 3 人分别去操作这三 种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
n 个步骤有 mn 种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝
m1×m2×…×mn
种不同的方法．
热点考向 考点一 分类加法计数原理
例 1 若 x，y∈N＋，且 x＋y≤6，试求有序自然数对 (x，y)的个数．
解：按 x 的取值进行分类： x＝1 时，y＝1,2,3,4,5，共构成 5 个有序自然数对； x＝2 时，y＝1,2,3,4，共构成 4 个有序自然数对； x＝3 时，y＝1,2,3，共构成 3 个有序自然数对； x＝4 时，y＝1,2，共构成 2 个有序自然数对； x＝5 时，y＝1，共构成 1 个有序自然数对． 根据分类加法计数原理，共有 N＝5＋4＋3＋2＋1＝15 个 有序自然数对．
问题 2：这几类方案中各有几种方法？ 提示：第一类方案(乘飞机)有 7 种方法，第二类方案(坐 火车)有 6 种方法． 问题 3：该志愿者从里约热内卢到圣保罗共有多少种 不同的方法？ 提示：共有 7＋6＝13 种不同的方法．
新知自解 做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不 同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝
(3)分类问题中类与类是独立的，分步问题中步与步是连 续的，用分类加法计数原理、分步乘法计数原理计数，必 须确保类的独立、步的连续．

m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法.
知识点二 分步乘法计数原理
2014 年 6 月，第 20 届世界杯足球赛在巴西召开，这是国际体 坛的一大盛事．一名志愿者从里约热内卢赶赴库里奇巴为游客 提供导游服务，但需在圣保罗停留，已知从里约热内卢到圣保 罗每天有 7 个航班，从圣保罗到库里奇巴每天有 6 列火车． 问题 1：该志愿者从里约热内卢到库里奇巴需要经历几个 步骤？ 提示：两个，即先乘飞机到圣保罗，再坐火车到库里奇巴．
法二：按个位上的数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成八类，在 每一类中满足条件的两位数分别有 1 个，2 个，3 个， 4 个，5 个，6 个，7 个，8 个．所以按分类加法计数 原理知，满足条件的两位数共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋ 7＋8＝36 个．
考点二 分步乘法计数原理 例 2 张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余 的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部 分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期 两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期 和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理 财方式？
解：第一类，选甲、乙、丙 3 人，由于丙不会操作 C 型电脑， 分 2 步安排这 3 人操作电脑，有 2×2＝4 种方法； 第二类，选甲、乙、丁 3 人，由于丁只会操作 A 型电脑，这 时安排 3 人操作电脑，有 2 种方法； 第三类，选甲、丙、丁 3 人，这时安排 3 人操作电脑只有 1 种方法；第四类，选乙、丙、丁 3 人，同样也只有 1 种方法． 根据分类加法计数原理，共有 4＋2＋1＋1＝8 种选派方法．
一点通 利用分类加法计数原理时要注意： (1)要准确理解题意，确定分类的标准． (2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互 间的独立性．
题组集训
1．一项工作可以用 2 种方法完成，有 3 人会用第 1 种方
法完成，另外 5 人会用第 2 种方法完成．从中选出 1 人
来完成这项工作，不同选法的种数是
一点通 在处理比较复杂的有关两个原理的综合题目时，
要挖掘条件，先解题精要 所在．
题组集训
7．李芳有 4 件不同颜色的衬衣、3 件不同花样的裙子，
另有 2 套不同样式的连衣裙．“五一”劳动节需选择一
套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式