等价转化思想在充要条件中的应用

等价转化思想在充要条件中的应用
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想。

例如互为逆否命题的两个命题（原命题与逆否命题或逆命题与否命题）一定同真或同假，它们都是等价的。

但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真。

【规律总结】
命题的充要关系的判断方法
①定义法：即判断原命题与其逆命题的真假性。

②等价法：p是q的什么条件等价于⌝q是⌝p的什么条件。

③利用集合间的包含关系判断：建立命题p、q的相应集合：p：A＝{x|p（x）成立}，q：B＝{x|q（x）成立}，转化为判定A与B间的关系。

练习：已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的________条件。

思路分析：p和q中都含有否定词语，直接判断较为困难，可采用间接判断。

答案：∵p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，∴⌝p：x＋y＝2，⌝q：x＝1且y＝1。

∵⌝p⌝q，但⌝q⇒⌝p，∴⌝q是⌝p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件。

技巧点拨：由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p⇒q较困难时，可利用等价转化，先判断由⌝q⇒⌝p，从而得到p⇒q。

例题已知p：2x2－9x＋a<0，q：
2
2
430
680
x x
x x
⎧-+<
⎪
⎨
-+<
⎪⎩
，且⌝p是⌝q的充分条件，求实
数a的取值范围。

思路分析：先解p和q中的不等式，把条件间的关系转化为集合间的关系。

答案：由
2
2
430
680
x x
x x
⎧-+<
⎪
⎨
-+<
⎪⎩
，得
13
24
x
x
<<
⎧
⎨
<<
⎩
，即2<x<3。

∴q：2<x<3。

设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，
∵⌝p⇒⌝q，∴q⇒p，∴B⊆A。

∴2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0。

设f（x）＝2x2－9x＋a，要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，
须使
(2)0
(3)0
f
f
≤
⎧
⎨
≤
⎩
，即
8180
18270
a
a
-+≤
⎧
⎨
-+≤
⎩
，∴a≤9。

故所求实数a的取值范围是a≤9。

技巧点拨：解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解。

变式训练：已知p：
1
1
3
x-
-≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0 （m>0），且⌝p是⌝q的必要
而不充分条件，求实数m的取值范围。

思路分析：⌝p是⌝q的必要而不充分条件，等价于q是p的必要不充分条件，化简p 和q后，借助集合间的包含关系即可求得m的取值范围。

答案：方法一由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，
∴⌝q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，
由
1
1
3
x-
-≤2，解得－2≤x≤10，∴⌝p：B＝{x|x>10或x<－2}。

∵⌝p是⌝q的必要而不充分条件。

∴A B，∴
12
110
m
m
m
>
⎧
⎪
-<-
⎨
⎪+≥
⎩
，或
12
110
m
m
m
>
⎧
⎪
-≤-
⎨
⎪+>
⎩
，
即m≥9或m>9，∴m≥9。

方法二∵⌝p是⌝q的必要而不充分条件，∴p是q的充分而不必要条件，由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由
1
1
3
x-
-≤2，解得－2≤x≤10，∴p：P＝{x|－2≤x≤10}。

∵p是q的充分而不必要条件，∴P Q，∴
12
110
m
m
m
>
⎧
⎪
-<-
⎨
⎪+≥
⎩
，或
12
110
m
m
m
>
⎧
⎪
-≤-
⎨
⎪+>
⎩
，
即m≥9或m>9，∴m≥9。

技巧点拨：本例题涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决。

一般地，在涉及字母参数的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键。

等价转化思想在证明题中的应用
等价转化思想是包含在化归思想中的比较具体的一种数学思想，主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化。

【满分训练】
证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1。

思路分析：本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题。

答案：证明：命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”。

由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝（a＋b）（a－b）＋2（a－b）－2b－3＝a－b－1＝0。

∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题。

故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1。

技巧点拨：原命题和逆否命题真假性相同，故当判断一个命题的真假不易解决时，常等价转化为判断或证明其逆否命题的真假。