南溪一中高2011级寒假作业(五)

南溪一中高2011级寒假作业（五） 班级 姓名 学号
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，把正确选项的代号填在机读卡的指定位置） 1．若直线1x =的倾斜角为α，则α（ ） A ．等于0 B ．等于4π C ．等于2
π D ．不存在
2．“21x -<<”是“||1x >”成立的（ ）条件 A ．充要条件 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要 3．对于实数a 、b 、c ，下列说法错误的是（ ）
A ．0a b <<，则2
2a ab b >>
B ．若22ac bc >，则a b >
C ．0a b <<，则
11a b <
D ．若0b c <<，则c b
b c
< 4．直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:280l mx y ++=平行，则m 等于（ ）
A ．1
B ．2
3
- C ．－2或1 D ．－2
5．已知
22
1||12x y m m
+=--表示焦点在y 轴上椭圆，则m 范围为（ ） A ．2m < B ．1m <-或3
12
m <<
C ．1m <-或12m <<
D ．12m <<
6．圆22
221x y +=与直线sin 10(,,)2
x y R k k Z πθθθπ⋅+-=∈≠+∈位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．由θ确定
7．双曲线22
1x y -=右支上点P(a ，b )
，则a b +=（ ）
A ．12-
B ．12
C ．12
± D ．2± 8．椭圆22
1259
y x +=与双曲线22115y x -=有公共点P ，则P 与双曲线二焦点连线构成三角形面积为（ ）
A ．4 B
． C ．5 D ．3
9．M 为抛物线2
y x =上一点，N 为圆22(1)(4)1x y ++-=关于直线10x y -+=的对称曲线C 上一点，
则|MN|最小值为（ ）
A
．
12- B
．14- C
．12- D
1 10．圆22
4x y +=，A(－1，0)、B(1，0)动抛物线过A 、B 二点，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点
轨迹方程为（ ）
A ．2
21(0)53x y y +=≠ B ．22
1(0)43x y y +=≠ C ．2
21(0)5
4x y y +=≠ D ．22
1(0)34x y y +=≠
11．过双曲线x 2－22
y
=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有
（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
12．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若
BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 ）
A ．x y 2
32=
B ．x y 32=
C ．x y 2
9
2=
D ．x y 92=
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13．已知正数,x y 满足21x y +=，则
11
x y
+最小值为 . 14．设双曲线22
221x y a b
-=与22221(0,0)x y a b a b -+=>>离心率分别为12,e e ，则当,a b 变化时，12e e +最
小值为 .
15．一个圆圆心为椭圆右焦点，且该圆过椭圆中心，交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为该椭圆左焦点）是此圆
切线，则椭圆离心率为 .
16．AB 为过抛物线焦点F 的弦，P 为AB 中点，A 、B 、P 在准线l 上射影分别为M 、N 、Q ，则下列命题：
①以AB 为直径作圆则此圆与准线l 相交；②MF ⊥NF ；③AQ ⊥BQ ；④QB ∥MF ；⑤A 、O 、N 三点共线（O 为原点），正确的是 .
三、解答题（本大题共6小题，共76分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
由点Q （3，a ）引圆C ：22
(1)(1)1x y ++-=二切线，切点为A 、B ，求四边形QACB （C 为圆心）面积最小值. 18．（本小题满分13分）
（1）解不等式22
241
323
x x x x --≥--； （6分）
（2）,a b R +
∈，2c a b >+，求证c a c <<（7分） 19．（本小题满分13分） △ABC 中，B （0，－2）、C （0，2）顶点A 满足3
sin sin sin 2
B C A +=. （1）求顶点A 轨迹方程； （2）点P （x ，y ）在(1)轨迹上，求2x y μ=-最大、小值. 20．（本小题满分13分）
已知双曲线22
221x y a b
-=离心率为1e >F 1、F 2，左准线l ，能否在双曲线左
支上找一点P ，使|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项？说明理由. 21．（本小题满分13分）
双曲线中心在原点，一条渐近线方程为y =
，准线方程为x = （1）求双曲线方程； （2）若双曲线上存在关于1y kx =+对称的二点，求k 范围. 22．（本小题满分12分）
如图，已知⊙C 过焦点A （0，P ）（P ＞0）圆心C 在抛物线2
2x py =上运动，若MN 为⊙C 在x 轴上截得的弦，设|AM|＝l 1，|AN|＝l 2，∠MAN ＝θ （1）当C 运动时，|MN|是否变化？证明你的结论.
（2）求
21
12
l l l l +的最大值，并求出取最大值时θ值及此时⊙C 方程.
2008—2009学年度第一学期期末六校联考
高二数学答案(理科)
一、选择题
1.C
2.D
3.C
4.A
5.B
6.C
7.B
8.D
9.C 10.B 11 C 12.B 二、填空题
13．3+ 14． 151 16．②③④⑤
三、解答题
17．由题知，Q 在直线x ＝3上运动，求S QACB 最小，即求切线长|QA|最小……（2分） ∴当Q 与C 距最小时|QA|最小…………（4分） 即QC ⊥直线x ＝3时，|MA|最小为4 …………（6分）
此时Q （3，1） |QA|===…………（10分）
∴(S QACB )min ＝|QA|·|AC|…………（12分）
18．（1）原不等式等价于2228023
x x x x -++≥--…………（2分）
即
(4)(2)
0(3)(1)
x x x x -+≤-+…………（4分）
由标根法知[2,1)x ∈--∪(3,4]…………（6分）
（2）要证原式成立，即证a c <<
即证||a c -<2分）
即证22||a c -<
即证2222a ac c c ab -+<-…………（4分）
即证2
2a ab ac +>
即证2a b c +<……………（6分）
由题设，此式成立，∴原命题成立，得证 …………（7分）
19．（1）由正弦定理知3
2||2||||22
R AC R AB BC R +=⋅
∴3
||||||6||42
AC AB BC BC +=
=>=…………（3分） ∴A 轨迹为以B 、C 为焦点椭圆
∴A 轨迹方程为22
1(0)95
y x x +=≠…………（6分）
（2）P 在(1)轨迹上，设03cos x y θθ
⎧=≠⎪
⎨
=⎪⎩…………（8分）
∴3cos )μθθθϕ=-=-…………（10分）
其中cos
ϕϕ=
=
∴max μ，min μ=…………（12分） 当0x =时，3y =±，此时3μ=±不为最值
∴max μ，min μ=…………（13分）
20．设存在P 点在双曲线左支上，设P （x 、y ），则x a ≤-
设P 到右准线距为d 2，则由|PF 1|2＝d |PF 2|得 (ed )2＝d (ed 2)…………（3分）
∴ed ＝d 2
∴22
()()a a e x x c c --=-…………（5分） 则2(1)a ac
x a e c
+=
≤--………………（7分） ∴
11(1)
e
e e +≤-- ∴2210e e --≤…………（9分）
解得[1e ∈ ∵1e > ∴(1,1e ∈+
与题1e > ∴不存在这样的点…………（12分）
21．解一：（1）设双曲线方程为2
2
(0)2
y x λλ-=>…………（2分）
1
λ=⇒= ∴双曲线方程为2
2
12
y x -=…………（4分） （2）设双曲线上关于1y kx =+对称二点为M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中点为Q(x 0，y 0)
设MN 的方程为1y x n k
=-+代入22
12y x -=
得22
212(2)20n x x n k k
-
+--=…………（6分）
由22
22
22
212012414(2)(2)0k n k n n k k ⎧-≠⎪⎪⇒>-⎨⎪∆=+-+>⎪⎩
且2k ≠±……①（8分）
又Q(x 0，y 0)在直线1y kx =+
∴2222211212nk nk k k -=+-- ∴22
21
3k n k
-=…………（11分） 代入①式得42221310k k -+> ∴212k >
或 21
011
k <<
且2k ≠±
∴(,k ∈-∞
∪(
∪
∪)+∞…………（13分） 解法二：（1）同上…………（4分）
（2）设双曲线上关于1y kx =+对称二点为M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中点为Q(x 0，y 0)
则Q 在1y kx =+上且Q 为弦中点，必满足2200
12y x ->或22
0002
y x -<
∵2
21112122
121222
21
2212
y x y y y y x x x x y x ⎧-=⎪-+⎪⇒⋅=⎨-+⎪-=⎪⎩
即0
222MN y k x ⋅
=…………（7分） ∵MN 关于1y kx =+对称，∴1MN k k
=-
由000
00011232
13y x k k x y y kx ⎧⎧=-⎪-⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==+⎩⎪⎩
………………（10分） 由2200
12y x ->或2
2
0002
y x -<得
(k ∈
∪(,-∞
∪)+∞…………（13分） 当0k =时方程1y =，此时不存在二点关于1y =对称，∴0k ≠
∴(,k ∈-∞
∪(
∪
∪)+∞…………（13分） 22．（1）设11(,)C x y ，⊙C 方程为222
11()()||x x y y AC -+-=
∴2222
1111()()()x x y y x y P -+-=+-与0y =联立 得22
11220x x x y p p -+-=…………（2分）
∴||MN ==
∵11(,)C x y 在抛物线上 ∴2
12x py =，代入|MN|
得||2MN p ==为定值 ∴|MN|不变…………（4分）
（2）由(1)可设(,0)M x p -、(,0)M x p +
1l =
2l =6分）
∴22
2222
21121212l l l l l l l l ++===
22=
===≤(9分) 当且仅当y p =
时取等号，即x =
∴圆方程为222
()()2x y p p ±+-=………（10分）
当x =时，∠MAN 为AM 到AN 的角
AM p K p x
=
- ()AN p K x p =--
∴tan 11AN AM
AN AM
K K MAN K K -∠=
=+⋅ ∴45θ∠=︒
同理，x =时，∠MAN 为AN 到AM 的角仍可得45θ∠=︒……（12分）。