高考数学一轮复习直线的斜率与倾斜角课件

(2)如果 x1＝x2，那么直线 l 的斜率不存在． (3)对于与 x 轴不垂直的直线 l，它的斜率也可以看作 k＝yx22－－yx11＝ 纵横坐坐标标的的增增量量＝ΔΔyx.
1.已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于 1，则 m 的值是________．
13 2
[由斜率公式可得8m－－m5＝1，解得 m＝123.]
[跟进训练] 3．若点 P(x，y)在以 A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的 △ABC 的内部运动(不包含边界)，则yx－－21的取值范围是________．
14，1 [根据已知条件，可知点 P(x，y)是点 A，B，C 围成的△ABC 内一动点，那么所求yx－ －21的几何意义是过动点 P(x，y)与定点 M(1，2) 的直线的斜率．由已知，得 kAM＝14，kBM＝1，kCM＝23.利用图象(图略)， 可得yx－－21的取值范围是14，1.]
3.学习效果·课堂评估夯基础
1．已知直线经过点 A(0，4)和点 B(1，2)，则直线 AB 的斜率为( )
A．3
B．－2
C．2
D．不存在
B [由直线的斜率公式，得 k＝40－－21＝－2.]
2．若直线 l 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜角范围是( )
A．0°≤α＜90°
B．90°≤α＜180°
一一对应关系．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 直线的倾斜角 【例 1】 求图中各直线的倾斜角．
(1)
(2)
(3)
[解] (1)如图①，可知∠OAB 为直线 l1 的倾斜角．易知∠ABO＝ 30°，∴∠OAB＝60°，即直线 l1 的倾斜角为 60°.
C．90°＜α＜180°
D．0°＜α＜180°
C [直线经过第二、四象限时，直线的倾斜角为钝角，故 90°＜
α＜180°，选 C.]
3．若过两点 A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为 45°，则 y ＝________．
－1 [kAB＝4y＋－32＝tan 45°＝1，即y＋2 3＝1，∴y＝－1.]
①
②
③
求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0°；当 直线与 x 轴垂直时，倾斜角为 90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°.
[跟进训练]
1．一条直线 l 与 x 轴相交，其向上的方向与 y 轴正方向所成的角
(3)如图，直线 l1 的倾斜角 α1＝30°，直线 l1⊥l2，求 l1、l2 的斜率．
[解] 直线 l1 的倾斜角为 α1＝30°，直线 l2 的倾斜角 α2＝90°＋ 30°＝120°，
∴kl1＝tan 30°＝ 33，kl2＝tan 120°＝－ 3.
[跟进训练] 2．设点 A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线 AC 的斜 率等于直线 BC 的斜率的 3 倍，则实数 m 的值为________．
1.任意一条直线都有倾斜角吗？不同直线的倾斜角一定不 相同吗？
[提示] 由倾斜角的定义可以知道，任意一条直线都有倾斜角； 不同直线的倾斜角可能相同，如平行直线的倾斜角都是相同的．
知识点 3 直线的倾斜角与斜率的关系 (1)当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 的倾斜角为π2，斜率不存在； (2)当直线 l 与 x 轴不垂直时，直线 l 的斜率与倾斜角 α 之间的关 系为 k＝tan αα≠π2＝Δ Δyx.
第1章 直线与方程
1.1 直线的斜率与倾斜角
1.必备知识·情境导学探新知
知识点1 知识点2 知识点3
知识点 1 直线的斜率 对于直线 l 上的任意两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2). (1)如果 x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，xy22－－xy11是一个定 值，我们将其称为直线 l 的斜率． k＝yx22－－yx11(x1≠x2).
【例 2】 (1)过两点 A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是 135°，
则 y 等于( )
A．1
B．5
C．－1
D．－5
D ∵过两点 A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是 135°，
∴4y＋－32＝tan 135°＝－1，解得 y＝－5.
(2)若 A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)三点共线，则 a 的值为______． 4 由斜率公式得 kAB＝53－ －11＝2，因为 A，B，C 三点共线， 所以 kAB＝kAC，所以 2＝7a－ －11，解得 a＝4.
2.所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线 的倾斜角为多少？
[提示] 不是．若直线没有斜率，则其倾斜角为 90°.
2.已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线
的倾斜角是( )
A．0°
B．45°
C．60° A [∵k＝04＝0，∴θ ＝0°.]
D．90°
3.已知直线 l 的倾斜角为 30°，则直线 l 的斜率为( )
4 [依题意知，直线 AC 的斜率存在，且 m≠－1. kAC＝－mm＋＋31－4＝－mm＋－11＝－1， kBC＝m2－－(1－－14)＝m－3 5， 由题意得 kAC＝3kBC， ∵－1＝3×m－3 5，解得 m＝4.]
类型 3 直线的倾斜角和斜率的综合 [探究问题] 1．在斜率公式 k＝yx22－ －yx11中，分子与分母的顺序是否可以互换？ y1 与 y2，x1 与 x2 的顺序呢？ [提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但 y1 与 y2 和 x1 与 x2 可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为 k＝yx11－ －yx22.
知识点 2 直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴绕着 交点按_逆__时__针_方向旋转到与直线重合时，所转过的_最__小__正__角__α_ 定义 称为这条直线的倾斜角
规定 与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为_0_
范围
{α|0≤α＜π}
作用 表示平面直角坐标系内一条直线的_倾_斜__程__度__
(2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围．
[解] 由题意可知，直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角 之间，又 PB 的倾斜角是 45°，PA 的倾斜角是 135°，
所以 α 的取值范围是 45°≤α≤135°.
[母题探究] 1．(变条件)本例中，三点坐标不变，其他条件改为过 B 的直线 l 与线段 AP 有公共点，求直线 l 的斜率的取值范围．
为 α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A．α
B．180°－α
C．180°－α 或 90°－α
D．90°＋α 或 90°－α
D [如图，当 l 向上方向的部分在 y 轴左侧时，倾斜角为 90°＋ α；当 l 向上方向的部分在 y 轴右侧时，倾斜角为 90°－α.
故选 D.]
类型 2 直线的斜率
(2)如图②，可知∠xAB 为直线 l2 的倾斜角，易知∠OBA＝45°， ∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线 l2 的倾斜角为 135°.
(3)如图③，可知∠OAC 为直线 l3 的倾斜角，易知∠ABO＝60°， ∴∠BAO＝30°，
∴∠OAC＝150°，即直线 l3 的倾斜角为 150°.
【例 3】 已知两点 A(－3，4)，B(3，2)，过点 P(1，0)的直线 l 与线段 AB 有公共点．
(1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围； [解] 如图所示，由题意可知 kPA＝－4－3－01＝－1， kPB＝23－ －01＝1. 要使直线 l 与线≤－1 或 k≥1.
谢谢观看
2．斜率与倾斜角范围有什么联系？ [提示] 当 k＝tan α＜0 时，倾斜角 α 是钝角； 当 k＝tan α＞0 时， 倾斜角 α 是锐角； 当 k＝tan α＝0 时， 倾斜角 α 是 0°； 当 k 不存在时，倾斜角为 90°. 3．直线的斜率 k 随倾斜角 α 的增大而增大吗？ [提示] 不是，在[0，π2)内 k＞0，k 随 α 的增大而增大，在π2，π内 k＜0，k 也是随 α 的增大而增大．
4．已知交于点 M(8，6)的四条直线 l1，l2，l3，l4 的倾斜角之比为 1∶2∶3∶4，又知 l2 过点 N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．
[解] l2 的斜率为 k2＝68－－35＝1， ∴l2 的倾斜角为 45°， 由题意可得：l1 的倾斜角为 22.5°，l3 的倾斜角为 67.5°，l4 的倾 斜角为 90°.
A．
3 3
B． 3
C．1
D．
2 2
A
[由题意可知，k＝tan
30°＝
3 3 .]
4.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．
()
(2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．
()
(3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等． ( )
(4)直线的倾斜角 α 的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了
[解] 如例题中解图所示， 根据斜率公式得 kAB＝－4－3－23＝－13， kBP＝23－－01＝1， ∴直线 l 的斜率的取值范围为[－13，1].
2．(变条件)本例中，A，B 两点坐标不变，其他条件去掉，在直
线 y＝－1 上求一点 P，使 PA，PB 的斜率互为相反数． [解] ∵点 P 在直线 y＝－1 上， ∴可设点 P(x，－1). 又条件可知 kPA，kPB 一定存在． 由斜率公式得 kPA＋kPB＝－4＋3－1x＋23＋－1x＝0， 解得 x＝34. 故所求 P 点坐标为34，－1.