思想方法专题：矩形中的折叠问题人教八年级下册数学

思想方法专题：矩形中的折叠问题
漂市一中钱少锋
——体会折叠中的方程思想及数形结合思想
◆类型一折叠中求角度
1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
第1题图第2题图
2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )
A．25° B．30° C．36° D．45°
◆类型二折叠中求线段长
3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为( ) A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
第3题图第4题图
4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE 折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )
A．3 B.24
5
C．5 D.
89
16
5．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC 的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．
◆类型三折叠中求面积
6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F 处，FC交AD于E.
(1)求证：△AFE≌△CDE；
(2)若A＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．
参考答案与解析
1．B 解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝5°，∴∠BED ＝110°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故
选B.
2．B 3.C 4.C
5. 185 解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠FAE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝1
2BC
＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12
AB ·BE ＝错误!AE ·BH ，∴BH ＝错误!，则BF ＝2BH ＝错误!.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝错误!＝185
.
6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE 与△CDE 中，错误!∴△AFE ≌△CDE .
(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，
∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12
×4×5＝10. 7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.
(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AB ∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.
∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝4
5
S△NAQ＝
4
5
×
1 2×AN·NQ＝
4
5
×
1
2
×3×4＝
24
5
.
【素材积累】
1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。

上帝认为他太能说了，会打扰天堂的幽静，于是旧把他打入了地狱。

刚过了一个星期，阎王旧满头大汗找上门来说：上帝呀，赶紧把他弄走吧!上帝问：怎么回事?阎王说：地狱的小。

2、机会往往伪装成困难美国名校芝加哥大学的一位教授到访北大时曾提到：芝加哥大学对学生的基本要求是做困难的事。

因为一个人要想有所成旧，旧必须做那些困难的事。

只有做困难的事，才能推动社会发展进步。