天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题Word版含答案

天津市六校2013届高三第二次联考
数学理
一． 选择题 1.i 是虚数单位，
i
33i += （ ）
A ．
i 123-41 B. i 12341+ C. i 6321+ D. i 6
3
-21
2.如果命题“p 且q”是假命题，“￢p”也是假命题，则 （ ） A ．命题“￢p 或q”是假命题 B. 命题“p 或q”是假命题 C. 命题“￢p 且q”是真命题 D. 命题“p 且￢q”是真命题
3.如图，若框图所给的程序的输出结果是S=990，那么判断框中应填入的关于的判断条件是
A ．k≥9？ B. k≥8？ C. k≤8？ D. k≤7？
4.设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥≤0y ,0x 0y -x 02-y -x 3，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）
的最大值为2，则
a 1+b
1
的最小值为 （ ） A ．
625 B. 3
8
C.2
D.4 5.已知等差数列{}n a 中，a 7+a 9=16，S 11=
2
99
，则a 12的值是 （ ）
A ．15 B.30 C.31 D.64 6.设函数f(x)=Asin （ϕω+x ）（A ＞0，ω＞0，-
2π＜ϕ＜2
π
）的图象关于直线x=
3
2π
对称，且周期为π，则f(x) ( ) A.图象过点（0，21
） B.最大值为-A
C.图象关于（π，0）对称
D.在[
125π,3
2π]上是减函数 7.△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2→
AO =→
AB +→
AC 且→
AO =→
AB ，则向量→
AB 在
→
BC 方向上的投影为 （ ） A ．
21 B. 23 C. -2
3 D. -21 8．定义在R 上的奇函数f(x),当x≥0时，f （x ）=⎪⎩
⎪⎨⎧+∞∈∈+）,1[3-x -1)1,0[x ），1x （log 21x ，则关
于x 的函数F(x)=f(x)-a(0＜a ＜1)的所有零点之和为 （ ）
A ．2a -1 B.1-2a C.2-a -1 D.1-2-a 二．填空题
9.一个社会调差机构就某地居民月平均收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。

为了分析居民的月平均收入与年龄、学历、工作等方面的关系，要从这10000人再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000]（元）月收入段应抽 人。

10.一个几何体的三视图如上图所示，且其侧视图为正三角形，则这个几何体的体积为 。

11．若f(x)在R 上可导，f(x)=x 2+2f’(2)+3,则⎰=3
dx ）x （f 。

12.在(1+x)2(1-x
2
)3的展开式中，含x 项的系数是 。

13.已知：如图⊙O 和⊙P 相交于A ，B 两点，⊙O 的弦BC 切⊙P 于点B ，CP 及其延长线交⊙P 于D ，E 两点，过点E 做EF ⊥CE 延长线与点F.若CD=2，CB=22，则EF 的长为 。

14.函数f （x ）的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）为D 上的非减函数。

设f （x ）为定义在[0,1]上的非减函数，且满足一下三个条件： （1）f （0）=0；
（2）f （1-x ）+f （x ）=1 x ∈[0，1]；
（3）当x ∈[0，31]时，f （x ）≥23
x 恒成立，
则f （73）+f （95
）= 。

三．解答题
15.在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，已知向量→
p =（1，
3cos 2A ），→q =（2sin 2
A
，1-cos2A ），且→p ∥→q .
(1)若a 2-c 2=b 2-mbc ，求实数m 的值；
(2)若a=3，求△ABC 面积的最大值，以及面积最大是边b ，c 的大小.
16.甲乙等5名志愿者被随机分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。

(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量ξ为这5名志愿者咱家A 岗位的服务的人数，求ξ的分布列及期望。

17.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中∠ACB=90°，M ，N 分别为A 1B ，B 1C 1的中点，BC=AA 1=2AC=2，求证： (1)求三棱柱C 1-A 1CB 的体积；
(2)求直线A 1C 与直线MB 1所成角的余弦值；
(3)求平面B 1MN 与平面A 1CB 所成锐二面角的余弦值。

18.已知数列{a n }中，a 1=1，若2a n+1-a n =
）2n ）（1n （n 2-n ++，b n =a n -）
1n （n 1
+
(1)求证：{ b n }为等比数列，并求出{a n }的通项公式； (2)若C n =nb n +）
1n （n 1
+，且其前n 项和为T n ，求证：T n ＜3.
19.椭圆E ：22a x +22
b y =1（a ＞b ＞0）离心率为23，且过P （6，22）。

(1)求椭圆E 的方程；
(2)已知直线l 过点M （-21
，0），且与开口朝上，顶点在原点的抛物线C 切于第
二象限的一点N ，直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，与y 轴交与D 点，若→
AD =λ
→AN ，→BD =μ→
BN ，且λ+μ=2
5
，求抛物线C 的标准方程。

20.已知函数f(x )=2ln x +ax 2-1(a ∈R) （1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若a=1，分别解答下面两题，
（i ）若不等式f （1+x ）+f （1-x ）＜m 对任意的0＜x ＜1恒成立，求m 的取值范围；
（ii ）若x 1，x 2是两个不相等的正数，且f （x 1）+f （x 2）=0，求证x 1+x 2＞2.
参考答案
一. 选择
1.B
2. C
3. C
4.C
5.A
6.D
7. D
8.B. 二. 填空
9.25 10.
π6
3
334+ 11.18- 12.4- 13. 2 14.1
三.解答题
15.【解析】解:（Ⅰ）由∥
分
又A为锐角
而222
a c
b mbc
-=-可以变形为
----------- 4分
，所以1
m=5分
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知分
8分
分
时，ABC
∆面积的最大值是---------- 13分
16. 解：（1）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件A E，那么
3
3
24
54
1
()
40
A
A
P E
C A
==，
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是
1
40
．----------4
（2）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么
4
4
24
54
1
()
10
A
P E
C A
==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
9
()1()
10
P E P E
=-=．-----------9 （3）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2
ξ=”是指有两人同时参加A岗位服务，
则10
4
1
)2
(
4
4
2
5
3
3
2
5-
-
-
-
=
=
=
A
C
A
C
Pξ
所以
3
(1)1(2)
4
P P
ξξ
==-==，------------11
ξ的分布列是
ξ 1 2
P
3
4
1
4
4
5
=
ξE -----------13 17. 解: (1)32=
V --------------4 (2)55------------8 (3)5
3
------------------13
18.解：（1）
2
1)1(1)2)(1(1
)2)(1(222)1(1)2)(1(111
=
+-
++-
++-+=+-++-
=++n n a n n n n n n a n n a n n a b b n n n n n
n ----6
∴{b n }为等比数列, 又 b 1 =
21, q=21∴n n b )2
1
(=---------------------7 （2）由（1）可知
)
1(1
2++=
n n n C n
n ∴)
1(1
3212112232221132++
---+⨯+⨯++---+++∙
=n n n T n n ∴31
1
223<+-+-
=n n T n n ------------------------13
19. 解． （1）
32e =
，
----------
1分
--------3分 点P ）在椭圆E 上
6分 （2）设抛物线C 的方程为2
0y ax a =>（），
直线与抛物线C 切点为 200(,)x ax ，200002,2,2()y ax l ax l ax ax x x '=∴=-直线的斜率为的方程为y- 000002
2
11(,0),2(),(,)22
l ax ax x N x ax x -
∴-=--∴直线过在第二象限,解得01x =-，(1,)N a ∴-，
l 直线的方程为:2y ax a =--
----------- 8分
代入椭圆方程并整理得：
2222(116)16480
(1)a x a x a +++-= -------- 9分
1122(,)(,)A x y B x y 设、则1
2x x 、是方程（1）的两个根，
由λ=，μ=，
111x x +=
λ,2
21
x x +=μ------- 11分 --------- 12分 52λμ+=0,a a >∴， --------- 13分
---------- 14分 20. 解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,)+∞， /2
()2f x ax x
=
+ ，………………1分 令/
()0,
f x >0x >，2220ax ∴+>，
①当0a ≥时，/
()0f x >在(0,)+∞恒成立，∴f(x)递增区间是(0,)+∞；………3分
②当0a <
时，
2
2
1220ax x x a ∴+>⇔<-⇔<<,又x>0,
()f x ∴递增
区间是，递减区间是)+∞. ………………………5分 （Ⅱ）（ⅰ）
设2
2
()(1)(1)2ln(1)(1)12ln(1)(1)1F x f x f x x x x x =++-=+++-+-+--,
化简得：2
()2ln(1)2ln(1)2F x x x x =++-+, 3
/
2
224()4111x F x x x x x =-+=-
+--,
01x <<，/()0F x ∴<在01x <<上恒成立，()F x ∴在(0,1)x ∈上单调递减，
所以()(0)0F x F <=，0m ∴≥,即m 的取值范围是),0[+∞ .………………9分 （ⅱ）
(1)0f =，()f x 在(0,)+∞上单调递增,
①若12,(0,1)x x ∈，则12()0,()0,f x f x <<则12()()0f x f x +<与已知
0)()(21=+x f x f 矛盾,
②若12,(1,)x x ∈+∞，则12()0,()0,f x f x >>则12()()0f x f x +>与已知
0)()(21=+x f x f 矛盾,
③若11x =，则1()0f x =，又0)()(21=+x f x f ，2()0f x ∴=得21x =与12x x ≠矛盾,
④不妨设1201x x <<<，则由（Ⅱ）知当01x <<时,(1)(1)0f x f x ++-<, 令11x x -=，则11112(2)()0(2)()()f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=, 又()f x 在(0,)+∞上单调递增，122,x x ∴-<即122x x +> . …………12分 证2；22121122()()02ln 12ln 10f x f x x x x x +=⇔+-++-=
221212*********ln ()220()22ln 2x x x x x x x x x x x x ⇔++--=⇔+=-+, (11)
分
设12t x x =，则t>0，()22ln 2g t t t =-+，/22(1)
()2t g t t t
-=-
=
, 令/
()0g t >，得1t >，()g t ∴在（0，1）单调递减，在(1,)+∞单调递增,……………13分
min ()(1)4g t g ∴==，
∴4)(221≥+x x ,又因为1=t 时,121==x x ,""=∴不成立.
212()4x x ∴+>，122x x ∴+>. ………………………14分。