弧微分与曲率

tan y (设 )
2
2
得 arctan y
d (arctan y)dx
K d
ds
又 故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
当 y 1时, 有曲率近似计算公式 K y
注:参数方程下曲率的计算
设
x y

2

(
x
)2
x
(y
2
)2

MN MN

2


1

(y)2
x 2

s x

MN MN
2
1
(y)2
x2

N T
x x x
当x 0时, N M

lim
NM

MN MN
2
K

2 (1 4x2 )3/ 2
,


1 K

(1 4x2 )3/ 2 2
.
在点(0, 0),
Kmax
2,
min

1. 2
y
随着曲线 y x2
O2
自原点逐渐上升 (| x | 增大),
K 逐渐减小， 逐渐增大.
O1
A
O
y x2
x
求 y x2 的最小曲率半径时的曲率圆的方程.
下面求 s s( x) 的导数与微分
设N ( x x, y y)为曲线 上的另一点, s MN
y AM
s 2 x

MN x

2


MN MN
2
MN x
2
o
x0 x

MN MN

T
M (x, y)
DM R 1
o
x
K
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
注:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲 率互为倒数.
A的曲率近似为 1 . R
o
C( x0 ,0)
x
证明: 如图
x 0 表示直线轨道，
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
在缓冲段上,
y 1 x2 , y 1 x.
2Rl
Rl
y B
R
l A( x0 , y0 )
o C( x0,0) x
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
3
[2 (t) 2 (t)]2

(a
2
sin
2
t

b2
cos
2
t
)
3 2
在t=0处,即在点(a,0)的曲率为
K

a b2
思考: 上面的椭圆在何处曲率最大?
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
M 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
CR
为了行驶平稳,往往在直道和弯道之间接入 一段缓冲段,使曲率连续地由零过渡到 1 .
R
通常用三次抛物线
y

1 6Rl
x 3，x
[0,
x0 ]．作为
缓冲段 OA，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段
OA 在始端 O 的曲率 为零,并且当 l 很小
R ( l 1) 时，在终端 R
y
B
R
l A( x0 , y0 )
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|
例4. 求椭圆
在t=0处的曲率.
解: (t) a sin t ; (t) bcost ; (t) a cost (t) bsin t
故曲率为
ab
(t) (t) (t) (t)
K
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处 的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大 (曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例6. 求抛物线 y x2 上任一点处的曲率和曲率半径.
解： y 2x, y 2.
)2
l 1, R
略去二次项 l2 4R2
,
得
kA

1. R
o
x
到原点时,飞行员对座椅的
P
压力.
解 如图,受力分析 F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F mv 2 .

O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0

x 2000
x0
0,
y
x0

1. 2000
得曲率为
k
x x0

1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
1
lim y y x0 x
故 ds 1 y2 dx .
s s( x)为单调增函数,
故 ds 1 y2dx.
y N
AM
T
o
x0 x
x x x
弧微分公式
弧微分公式
设x xx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x) 上的对应点为M N 并设对应于x的增量x 弧 s 的增量 为s. 因为当x0时 s ~ MN 又x与s同号 所以
第三章 微分中值定理与导数的
应用
高等数学
第六节 弧微分与曲率
我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分 有不同的弯曲程度；
怎样描述曲线局部弯曲程度？
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度
越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N

转角相同弧段越
短弯曲程度越大
一 弧微分
设函数f ( x)在区间(a,b) y
例2 计算等边双曲线xy1在 点(1, 1)处的曲率.
y
K

(1
y
2
)
3 2
解解
由
y

1 x

得
y 1 y 2
x2
x3
因此y|x11 y|x12 曲线在点(1 1)处的曲率为
K

| (1
y| y2)3
2
2 (1(1)2)3 2

1 2
2 2
例3 抛物线yax2bxc上 哪一点处的曲率最大？
y
K

(1
y
2
)
3 2
解 由yax2bxc 得
y2axb y2a 代入曲率公式 得
K
| 2a |

[1(2axb)2]3 2
显然 当2axb0时曲率最大
曲率最大时 x b 对应的点为抛物线的顶点 2a

1 y2
由此得弧微分公式:
ds 1 y2 dx 或者
ds (dx)2 (dy)2
二、曲率及其计算公式 1、曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
M
M
N
S2 N

弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段短的弯曲大 问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？

(t ), (t ),
二阶可导,
y
K

(1
y
2
)
3 2

dy dx


(t (t
) )
,
d2y dx2

(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .

k

(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
设曲率圆圆心 (x0 , y0 ), 则
( x0
0)2
( y0
0)2

1 4

m2 in,
又在(0,0)处, y 0, y 2, 故
切线：y = 0 , 法线： x = 0 .
而圆心(x0, y0 )在法线上, 故 x0 0,
y0

1 2
(舍பைடு நூலகம்0


1). 2
于是, y x2在(0,0)点处的曲率圆方程：
6
3
[1 ( y)2 ]2 (4sin2 t 9cos2 t )2

6
3
(4 5cos2 t )2
3
要使k 最大， 必有 (4 5cos2 t)2 最小，
t , 3 此时k 最大，
22
附2. 铁道的弯道分析
火车转弯时,为使火车能平稳地转过弯去, 必须将外轨垫高.铁轨由直道转入圆弧弯道时 (设半径为R),外轨的弯曲有一个跳跃,会导致 接头处的曲率突然改变,容易发生事故.
x2 (y 1)2 1 . 24
例7 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用 砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径
y0.8x y0.8
y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得
根据实际要求 l x0 ,
有
y
x x0

1 2Rl
x02

1 l2 2Rl
l, 2R
y
B
y
x x0

1 Rl
x0
1l Rl
1, R
R
l
A( x0 , y0 )
故在终端A的曲率为
o
C( x0 ,0)
x
1
kA
y
3
(1 y2 )2
x x0

(1

R l2
4R2
3
ddddddxsxsxsllixlixmixmm000xsxsxsllixlixmixmm000
(((xxx)))222(((yyy)))222 |||xxx|||
llilimimm
xxx000
111(((yxyxyx)))222
K

| y| (1 y2)3 2
08
抛物线顶点处的曲率半径为
r=K-11.25 因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径 不得超过2.50单位长
例9 飞机沿抛物线 y x2
y
4000
(单位为米)俯冲飞行,在原
Q
点O处速度为v 400米 / 秒, 飞行员体重70千克.求俯冲
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M

s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
内具有连续导数.
N
在曲线上取点: A( x0 , y0 ) 作为度量弧长的基点.
AM
T
对于曲线上任意一点M( x, y), o
x0
x
x x x
规定： (1)曲线的正向为x增大的方向;
(2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号,相反时, s取负号.
易看出：弧长 s s( x)是x的单调增函数.
提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表 达弧段的平均弯曲程度.
2、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线
转角为 , 定义
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
1. 弧长微分 ds 1 y2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
2. 曲率公式
K d
ds
y

(1
y2
3
)2
3. 曲率圆
曲率半径
R
1
(1 y2 )32
K
y
附1 椭圆 x 2cos t, y 3sin t 上哪
些点处曲率最大？
解
k
| y | 3
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、小结 运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学
分支——微分几何学.
基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆. 曲线弯曲程度的描述——曲率;
曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
内容小结