江苏省南通市如皋中学2020届高三数学下学期第一次模拟冲刺试题创新班含解析
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【解析】
【分析】
（1）先用二倍角公式化简 ，再根据正弦定理即可解出 ;
（2）用正弦定理分别表示 ，再用三角形内角和及和差公式化简，转化 三角函数求最值。
【详解】(1）由 及二倍角公式得 ，
又 即 ,所以 ;
(2）由正弦定理得 ,
周长:
，
又因为 ，所以 。
因此 周长的取值范围是 .
【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，三角形求边长取值范围常用的方法：1、转化为三角函数求最值；2、基本不等式.
分别是 的中点， ，则 ， ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ， ,同理 , ，
所以截面周长为 ．
故答案为: ．
【点睛】本题考查求正方体截面周长，解题关键是作出正方体的截面，根据是平面的基本性质．掌握平面基本性质是解题基础．
10。已知数列 满足 ,则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
16。多面体 中， ， ， 是边长为2的等边三角形，四边形 是菱形， ， 分别是 的中点。
(1)求证: 平面 ;
（2）求证:平面 平面 .
【答案】（1)见解析.
（2)见解析.
【解析】
分析：（1）先证明平面 平面 ,再证明 平面 .(2)先证明 平面
，再证明平面 平面 .
详解：（1)证明：取 的中点 ，连接
【详解】 ，由正弦定理可得: ,
，
, ，
，
，
，
为锐角三角形, ， ,
（当且仅当 ，即 时取等号)，
的最小值为 。
故答案为: .
【点睛】本题考查解三角形中的最值问题的求解,涉及到正弦定理边化角、两角和差正弦和正切公式的应用等知识；关键是能够利用一个变量表示出所求式子，进而得到符合基本不等式的形式,利用基本不等式求得和的最小值。
【详解】如图,设直线 与 交于点 ,与直线 交于点 ,与直线 于点 ，连接 交 于 ，连接 交 于 ,连接 ，
是正方形,边长为1, 分别是 的中点，则 ， ，
正方体中 与 平行且相等,则 是平行四边形，所以 , ,
因为 ，所以 ,所以 三点共线，所以 是截面 与底面 的公共点,从而五边形 是平面MNP截正方体所得截面，
设 ,则 ， ， ，
在 中， ，
化简可得 ，解得 ，①
在 中，由余弦定理可得 ，化简得 ,②
由①②可得 ，
又 ，联立可得 ，即 ，
等式两边同时除以 可得 ,
令 ,则 ，解得 或 ,
由题意可得 ,因此， .
故答案 : 。
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查计算能力，属于难题。
12.函数 的最小值为______
11。已知 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ,且 ，则 _________
【答案】
【解析】
【分析】
由 化简得出 且 ,在 上取点 ,使得 ，设 ，在 中利用余弦定理得出 ，化简得出 ,进而可求得 的值。
【详解】由题意可知 ，由余弦定理得 ，化简得 ,则 .
在 中,不妨设 ，则 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ，
8。已知三角形ABC中，长为2的线段AQ为BC的边上的高，满足 ,且 ,则BH=________
【答案】
【解析】
【分析】
过 分别作 的平行线交 于 ，交 于 ,,由向量加法的平行四边形法则得 ,结合平面向量基本定理得 分别是 的中点， ，然后由余弦定理可求得结论．
【详解】如图，过 分别作 的平行线交 于 ，交 于 ,则 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 是菱形，且 ,所以 ， ， 因为 ,则 是 中点，即与 重合, ，
江苏省南通市如皋中学2020届高三数学下学期第一次模拟冲刺试题（创新班，含解析）
一、填空题
1.已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为__________。
【答案】2
【解析】
【分析】
由条件等式，将 用 表示， 转为关于 的函数,然后用基本不等式求最值。
【详解】
当且仅当 ，即 时取等号。
故答案为：2
【点睛】本题考查含有条件等式的最值问题，解题的关键要灵活应用条件等式，转化为基本不等式求最值，属于中档题。
【答案】
【解析】
【分析】
①当直线 斜率不存在时，易求得 ；②当直线 斜率存在时，设其方程为 ，利用直线与圆有交点可求得 ;将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据 和 可整理得到 ， , ， 满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得 ；当 时,知 ；当 时，可将 表示为关于 的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.
【详解】设 ，
①当直线 斜率不存在时，直线方程为 ，此时 ， ,
， ， ， ，
满足 ,此时 ；
②当直线 斜率存在时，设其方程为： ，
与圆 有两个不同交点， ，即 ，
由 得： ,
设 ， ，
则 , ，
，
.
， ，解得： ,
由 得: ，
整理得: ，
，整理得: ，
当 时， ；
当 时， ，代入 式得： ，
解得: ，
2。已知函数 ，其中 ，记 为 的最小值，则当 =2时， 的取值范围为_______
【答案】
【解析】
【分析】
求出 的导数，讨论当 时，当 时，判断函数 的单调性,可得 的最小值,解方程可得 的范围．
【详解】函数 ，
导数 ，
当 时， ， 在 递增，可得 取得最小值，
且为 ，由题意即
则 ,所以 ，
，所以 满足条件.
所以椭圆C1的离心率 ，
又 ,所以 .
故答案为:
【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率范围的求解，直线与圆相切的几何性质，考查了转化与化归的思想,考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.
5.已知圆 点 ,直线 与圆 交于 两点，点 在直线 上且满足 。若 ,则弦 中点 的横坐标的取值范围为_____________。
所以,函数 在 处取得极小值，亦即最小值,即 。
故答案为： .
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值,解答的关键就是利用极值点所满足的等式进行化简变形,考查计算能力,属于中等题.
13。已知在锐角 中，角 的对边分别为 。若 ，则 的最小值为_____________。
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得 ，利用 和两角和差正切公式可得到 ，代入所求式子后可化简为关于 的函数，利用基本不等式即可求得最小值。
方程 有三个不等实根，根据函数图象，
则有 有一个实数根， 有两个实数根,
即有 ,
即 的两个实数根满足
设函数 ，
由 ，所以有 ，得
故答案为:
【点睛】本题考查利用导数研究方程实数根的个数，利用导数研究函数的单调性，考查二次方程实根的分布,属于中档题。
4.已知椭圆C1： (a＞b＞0）与圆C2： ，若在椭圆C1上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是_______
【详解】如图所示，以 中点 为原点，以 为 轴，建立直角坐标系．
设点 关于点 对称的点为 ，由对称性知, ， ， 三点共线．设 的方程为 ， ， ，则直线 方程为 ，由 得 ,
所以 , ，
由 ，所以 ,
因为 异号，所以 ，
由 ，解得 ,
代入 ，得 ，
因为 ,所以 ,
所以 的离心率 ．
【点睛】本小题考查直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想;考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数研究函数 的单调性，可得出函数 的极小值点 满足 ,可得出 ，进而可求得函数 的最小值为 。
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ,则 ，函数 在 上单调递增。
， ,所以，存在 ，使得 ,
则 , 。
当 时， ,则 ，此时函数 单调递减；
当 时, ，则 ，此时函数 单调递增。
6.在 中,内角A，B,C所对 边分别是a，b，c，且BC边上的高为 ，则 的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由面积公式可得 ，再用余弦定理可得 ,即 得出结果。
【详解】由题，三角形的面积: 。
由所以 的最大值为 .
故答案为： 。
【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形,将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.
,
, ，
当 时， 单调递增，
在 上单调递减，
,
综上所述：弦 中点 的横坐标的取值范围为 .
故答案为： 。
【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域;本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求.
所以 ,所以 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理，解题关键是作出平行四边形 ，由平面向量基本定理得出 分别是 的中点．
9。在棱长为1的正方体 中，MN分别是棱 的中点,P是体对角线 上一点，满足 ，则平面MNP截正方体所得截面周长为_______
【答案】
【解析】
【分析】
设直线 与 交于点 ，与直线 交于点 ，与直线 于点 ,连接 交 于 ,连接 交 于 ,连接 ，证明 是截面 与底面 的公共点后得五边形 是平面MNP截正方体所得截面，计算出周长即可．
14.已知两个向量 ，若对 上任意点A， 恒成立(其中O为原点），则 的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】
由数量积的定义有 ，又由 ， ,结合条件 ，可得 ，再平方得 ，再根据 , ，可得到 得出答案。
【详解】因
，
由 ，即
所以
则 ，所以
又因为 ，当且仅当 时取等号.
，当且仅当 时取等号。
由 ，即
【答案】
【解析】
【分析】
如图,设过点 的两条直线与圆 分别切于点 ,由两条切线相互垂直,可知 ，由题知 ，解得 ,又 即可得出结果.
【详解】
如图，设过点 的两条直线与圆 分别切于点 ，由两条切线相互垂直，
可知 ，
又因为在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，
所以 ，即得 ,所以 ，
3.已知函数 ,关于x的方程 有三个不等实根，则实数m的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数 的单调区间，方程 有三个不等实根,设 ,即研究方程 的根的情况，即研究方程 的根的情况，再根据 ，得出方程 的两个实数根满足 ，从而由二次方程实根的分布求出参数的范围。
【详解】由函数 ，有 .
令 ，得 ， ,得 ,
所以 在 上单调递增，在 上单调递减。
,当 时, ，且 时，
且 时， ，
的大致图象如下。
方程 有三个不等实根，设 ，
即研究方程 的根的情况,即研究方程 的根的情况。
若方程 无实数根或只有一个实数根，则由 可知原方程至多有2个实数根,不满足条件.
所以方程 有两个不等实数根，设为 ,设 。
当 时，由 ，可得 （负的舍去），
当 时， ， 在 递增，可得 为最小值，
且有 ，
即 ,由 有 ,解得
当 时， 在 递减，在 递增，
可得 为最小值，且有 ， ，所以
又 ,则
即 ，解得 .
综上可得 的取值范围是 。
故答案为： .
【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，有解运算能力．属于难题。
所以 ，当且仅当 且 时取等号。
故答案的为：
【点睛】本题考查向量数量积的范围问题，向量的数量积的运算和性质，将向量模平方利用向量的数量积的性质是解决本题的关键，注意取等条件的分析，属于中档题。
二、解答题
15.在 中，角 所对的边分别为 ,已知 ， 。
(1）求 的值；
(2)若 ,求 周长的取值范围。
【答案】（1）3;（2) 。
等价变形 ，换元设 ，得
,两边取对数,得 是首项 ，公比 的等比数列，求出 可解 .
【详解】 ， ，
,设 ,则 ， ，两边取对数，
, ，所以 是首项 ,公比 的等比数列，
， ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是由数列的递推公式求通项公式，
常见的求解方法有如下几种:累和法，适用于 的形式，累乘法，适用于 的形式，构造法，适用于 的形式，适当的配凑常数使其变形为 ，转化等比数列 求解，形如 的递推公式可两边同除以指数式 ，转化为 的形式，形如 的递推公式可通过两边取倒数的方法转化为 的形式
7。已知梯形 满足 ，以 为焦点的双曲线 经过 两点．若 ,则 的离心率为____．
【答案】
【解析】
【分析】
以 中点 为原点，以 为 轴，建立直角坐标系．设点 关于点 对称的点为 ，由对称性知， ， ， 三点共线．设 的方程为 ， ， ,则直线 方程为 ，由已知得 ，所以 ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消去 ，利用韦达定理得 ，结合 ，可得 的等式,从而求得离心率．
【分析】
（1）先用二倍角公式化简 ，再根据正弦定理即可解出 ;
（2）用正弦定理分别表示 ，再用三角形内角和及和差公式化简，转化 三角函数求最值。
【详解】(1）由 及二倍角公式得 ，
又 即 ,所以 ;
(2）由正弦定理得 ,
周长:
，
又因为 ，所以 。
因此 周长的取值范围是 .
【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，三角形求边长取值范围常用的方法：1、转化为三角函数求最值；2、基本不等式.
分别是 的中点， ，则 ， ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ， ,同理 , ，
所以截面周长为 ．
故答案为: ．
【点睛】本题考查求正方体截面周长，解题关键是作出正方体的截面，根据是平面的基本性质．掌握平面基本性质是解题基础．
10。已知数列 满足 ,则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
16。多面体 中， ， ， 是边长为2的等边三角形，四边形 是菱形， ， 分别是 的中点。
(1)求证: 平面 ;
（2）求证:平面 平面 .
【答案】（1)见解析.
（2)见解析.
【解析】
分析：（1）先证明平面 平面 ,再证明 平面 .(2)先证明 平面
，再证明平面 平面 .
详解：（1)证明：取 的中点 ，连接
【详解】 ，由正弦定理可得: ,
，
, ，
，
，
，
为锐角三角形, ， ,
（当且仅当 ，即 时取等号)，
的最小值为 。
故答案为: .
【点睛】本题考查解三角形中的最值问题的求解,涉及到正弦定理边化角、两角和差正弦和正切公式的应用等知识；关键是能够利用一个变量表示出所求式子，进而得到符合基本不等式的形式,利用基本不等式求得和的最小值。
【详解】如图,设直线 与 交于点 ,与直线 交于点 ,与直线 于点 ，连接 交 于 ，连接 交 于 ,连接 ，
是正方形,边长为1, 分别是 的中点，则 ， ，
正方体中 与 平行且相等,则 是平行四边形，所以 , ,
因为 ，所以 ,所以 三点共线，所以 是截面 与底面 的公共点,从而五边形 是平面MNP截正方体所得截面，
设 ,则 ， ， ，
在 中， ，
化简可得 ，解得 ，①
在 中，由余弦定理可得 ，化简得 ,②
由①②可得 ，
又 ，联立可得 ，即 ，
等式两边同时除以 可得 ,
令 ,则 ，解得 或 ,
由题意可得 ,因此， .
故答案 : 。
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查计算能力，属于难题。
12.函数 的最小值为______
11。已知 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ,且 ，则 _________
【答案】
【解析】
【分析】
由 化简得出 且 ,在 上取点 ,使得 ，设 ，在 中利用余弦定理得出 ，化简得出 ,进而可求得 的值。
【详解】由题意可知 ，由余弦定理得 ，化简得 ,则 .
在 中,不妨设 ，则 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ，
8。已知三角形ABC中，长为2的线段AQ为BC的边上的高，满足 ,且 ,则BH=________
【答案】
【解析】
【分析】
过 分别作 的平行线交 于 ，交 于 ,,由向量加法的平行四边形法则得 ,结合平面向量基本定理得 分别是 的中点， ，然后由余弦定理可求得结论．
【详解】如图，过 分别作 的平行线交 于 ，交 于 ,则 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 是菱形，且 ,所以 ， ， 因为 ,则 是 中点，即与 重合, ，
江苏省南通市如皋中学2020届高三数学下学期第一次模拟冲刺试题（创新班，含解析）
一、填空题
1.已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为__________。
【答案】2
【解析】
【分析】
由条件等式，将 用 表示， 转为关于 的函数,然后用基本不等式求最值。
【详解】
当且仅当 ，即 时取等号。
故答案为：2
【点睛】本题考查含有条件等式的最值问题，解题的关键要灵活应用条件等式，转化为基本不等式求最值，属于中档题。
【答案】
【解析】
【分析】
①当直线 斜率不存在时，易求得 ；②当直线 斜率存在时，设其方程为 ，利用直线与圆有交点可求得 ;将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据 和 可整理得到 ， , ， 满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得 ；当 时,知 ；当 时，可将 表示为关于 的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.
【详解】设 ，
①当直线 斜率不存在时，直线方程为 ，此时 ， ,
， ， ， ，
满足 ,此时 ；
②当直线 斜率存在时，设其方程为： ，
与圆 有两个不同交点， ，即 ，
由 得： ,
设 ， ，
则 , ，
，
.
， ，解得： ,
由 得: ，
整理得: ，
，整理得: ，
当 时， ；
当 时， ，代入 式得： ，
解得: ，
2。已知函数 ，其中 ，记 为 的最小值，则当 =2时， 的取值范围为_______
【答案】
【解析】
【分析】
求出 的导数，讨论当 时，当 时，判断函数 的单调性,可得 的最小值,解方程可得 的范围．
【详解】函数 ，
导数 ，
当 时， ， 在 递增，可得 取得最小值，
且为 ，由题意即
则 ,所以 ，
，所以 满足条件.
所以椭圆C1的离心率 ，
又 ,所以 .
故答案为:
【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率范围的求解，直线与圆相切的几何性质，考查了转化与化归的思想,考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.
5.已知圆 点 ,直线 与圆 交于 两点，点 在直线 上且满足 。若 ,则弦 中点 的横坐标的取值范围为_____________。
所以,函数 在 处取得极小值，亦即最小值,即 。
故答案为： .
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值,解答的关键就是利用极值点所满足的等式进行化简变形,考查计算能力,属于中等题.
13。已知在锐角 中，角 的对边分别为 。若 ，则 的最小值为_____________。
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得 ，利用 和两角和差正切公式可得到 ，代入所求式子后可化简为关于 的函数，利用基本不等式即可求得最小值。
方程 有三个不等实根，根据函数图象，
则有 有一个实数根， 有两个实数根,
即有 ,
即 的两个实数根满足
设函数 ，
由 ，所以有 ，得
故答案为:
【点睛】本题考查利用导数研究方程实数根的个数，利用导数研究函数的单调性，考查二次方程实根的分布,属于中档题。
4.已知椭圆C1： (a＞b＞0）与圆C2： ，若在椭圆C1上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是_______
【详解】如图所示，以 中点 为原点，以 为 轴，建立直角坐标系．
设点 关于点 对称的点为 ，由对称性知, ， ， 三点共线．设 的方程为 ， ， ，则直线 方程为 ，由 得 ,
所以 , ，
由 ，所以 ,
因为 异号，所以 ，
由 ，解得 ,
代入 ，得 ，
因为 ,所以 ,
所以 的离心率 ．
【点睛】本小题考查直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想;考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数研究函数 的单调性，可得出函数 的极小值点 满足 ,可得出 ，进而可求得函数 的最小值为 。
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ,则 ，函数 在 上单调递增。
， ,所以，存在 ，使得 ,
则 , 。
当 时， ,则 ，此时函数 单调递减；
当 时, ，则 ，此时函数 单调递增。
6.在 中,内角A，B,C所对 边分别是a，b，c，且BC边上的高为 ，则 的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由面积公式可得 ，再用余弦定理可得 ,即 得出结果。
【详解】由题，三角形的面积: 。
由所以 的最大值为 .
故答案为： 。
【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形,将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.
,
, ，
当 时， 单调递增，
在 上单调递减，
,
综上所述：弦 中点 的横坐标的取值范围为 .
故答案为： 。
【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域;本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求.
所以 ,所以 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理，解题关键是作出平行四边形 ，由平面向量基本定理得出 分别是 的中点．
9。在棱长为1的正方体 中，MN分别是棱 的中点,P是体对角线 上一点，满足 ，则平面MNP截正方体所得截面周长为_______
【答案】
【解析】
【分析】
设直线 与 交于点 ，与直线 交于点 ，与直线 于点 ,连接 交 于 ,连接 交 于 ,连接 ，证明 是截面 与底面 的公共点后得五边形 是平面MNP截正方体所得截面，计算出周长即可．
14.已知两个向量 ，若对 上任意点A， 恒成立(其中O为原点），则 的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】
由数量积的定义有 ，又由 ， ,结合条件 ，可得 ，再平方得 ，再根据 , ，可得到 得出答案。
【详解】因
，
由 ，即
所以
则 ，所以
又因为 ，当且仅当 时取等号.
，当且仅当 时取等号。
由 ，即
【答案】
【解析】
【分析】
如图,设过点 的两条直线与圆 分别切于点 ,由两条切线相互垂直,可知 ，由题知 ，解得 ,又 即可得出结果.
【详解】
如图，设过点 的两条直线与圆 分别切于点 ，由两条切线相互垂直，
可知 ，
又因为在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，
所以 ，即得 ,所以 ，
3.已知函数 ,关于x的方程 有三个不等实根，则实数m的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数 的单调区间，方程 有三个不等实根,设 ,即研究方程 的根的情况，即研究方程 的根的情况，再根据 ，得出方程 的两个实数根满足 ，从而由二次方程实根的分布求出参数的范围。
【详解】由函数 ，有 .
令 ，得 ， ,得 ,
所以 在 上单调递增，在 上单调递减。
,当 时, ，且 时，
且 时， ，
的大致图象如下。
方程 有三个不等实根，设 ，
即研究方程 的根的情况,即研究方程 的根的情况。
若方程 无实数根或只有一个实数根，则由 可知原方程至多有2个实数根,不满足条件.
所以方程 有两个不等实数根，设为 ,设 。
当 时，由 ，可得 （负的舍去），
当 时， ， 在 递增，可得 为最小值，
且有 ，
即 ,由 有 ,解得
当 时， 在 递减，在 递增，
可得 为最小值，且有 ， ，所以
又 ,则
即 ，解得 .
综上可得 的取值范围是 。
故答案为： .
【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，有解运算能力．属于难题。
所以 ，当且仅当 且 时取等号。
故答案的为：
【点睛】本题考查向量数量积的范围问题，向量的数量积的运算和性质，将向量模平方利用向量的数量积的性质是解决本题的关键，注意取等条件的分析，属于中档题。
二、解答题
15.在 中，角 所对的边分别为 ,已知 ， 。
(1）求 的值；
(2)若 ,求 周长的取值范围。
【答案】（1）3;（2) 。
等价变形 ，换元设 ，得
,两边取对数,得 是首项 ，公比 的等比数列，求出 可解 .
【详解】 ， ，
,设 ,则 ， ，两边取对数，
, ，所以 是首项 ,公比 的等比数列，
， ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是由数列的递推公式求通项公式，
常见的求解方法有如下几种:累和法，适用于 的形式，累乘法，适用于 的形式，构造法，适用于 的形式，适当的配凑常数使其变形为 ，转化等比数列 求解，形如 的递推公式可两边同除以指数式 ，转化为 的形式，形如 的递推公式可通过两边取倒数的方法转化为 的形式
7。已知梯形 满足 ，以 为焦点的双曲线 经过 两点．若 ,则 的离心率为____．
【答案】
【解析】
【分析】
以 中点 为原点，以 为 轴，建立直角坐标系．设点 关于点 对称的点为 ，由对称性知， ， ， 三点共线．设 的方程为 ， ， ,则直线 方程为 ，由已知得 ，所以 ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消去 ，利用韦达定理得 ，结合 ，可得 的等式,从而求得离心率．