八年级第二学期3月份质量检测数学试卷含答案

一、选择题
1．如图，在23⨯的正方形网格中，AMB ∠的度数是（ ）
A ．22.5°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
2．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：
①BD =CE ，
②BD ⊥CE ，
③∠ACE +∠DBC=30°，
④()2222BE AD AB =+．
其中，正确的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4 3．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，
E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（ ）
A ．1cm
B ．1.5cm
C ．2cm
D ．3cm
4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )
A ．3
B ．154
C ．5
D ．152
5．已知，等边三角形ΔABC 中，边长为2，则面积为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2
a b +值为（ ）
A ．25
B ．9
C ．13
D ．169 7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A ．5.3尺
B ．6.8尺
C ．4.7尺
D ．3.2尺
8．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ，则下列关系式成立的是（ ）
A ．222221a b h +=
B ．222
111a b h += C ．2h ab = D ．222h a b =+ 10．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A ．7,24,25 B ．111,4,5222 C ．3,4,5 D ．114,7,822
二、填空题
11．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．
12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA=1，以点A 1为直角顶点，OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2018的坐标是_____．
14．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =，则AC 的长为_________
15．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为_______________．
16．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，
M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.
17．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
18．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．
19．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，斜边AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，连接AD ，线段CD 的长为_________．
20．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知25AB = ，24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位．
三、解答题
21．（1）计算：1312248233⎛÷ ⎝ （2）已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=．判断以a 、b 、c 为边能否
构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
△中，∠ACB = ∠DCE=90°．
22．如图，在两个等腰直角ABC和CDE
（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是；
△绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？（2）探究证明：把CDE
说明理由；
△绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、（3）拓展延伸：把CDE
D三点在直线上时，请直接写出 AD的长．
23．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E是AB的中点，连接CE交AD于点F，BD=3，求BF的长．
24．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O．
（1）“距离坐标”为(1，0)的点有个；
（2）如图2，若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为(p，q)，且∠BOD = 150︒，请写出p、q的关系式并证明；
（3）如图3，点M的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM的长．
25．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．
（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．
（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．
26．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．
（1）则BC =____________cm ；
（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?
（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
27．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 6m -n ﹣12）2＝0．
（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；
（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；
（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．
28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．
（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．
29．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．
（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．
（2）如图1，求AF 的长．
（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．
①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．
②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t
的值．
30．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．
（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度；
（2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ；
（3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；
（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．
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一、选择题
1．C
解析：C 【分析】
连接AB ，求出AB 、BM 、AM 的长，根据勾股定理逆定理即可求证AMB ∆为直角三角形，而AM=BM ，即AMB ∆为等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
连接AB
∵22125AM =+=22125AB =+=221310BM =+=∴22210AM AB BM +==∴AMB ∆为等腰直角三角形
∴45AMB ∠=︒
故选C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明AMB ∆为直角三角形．
2．B
解析：B
【分析】
①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；
②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
【详解】
解：如图，
① ∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，
即∠BAD=∠CAE ，
∵在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴BD=CE ，
故①正确；
②∵△BAD ≌△CAE ，
∴∠ABD=∠ACE ，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，
∴∠BDC=90°，
∴BD ⊥CE ，
故②正确；
③∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，
故③错误；
④∵BD ⊥CE ，
∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，
∵△ADE 为等腰直角三角形，
∴AE=AD ，
∴DE 2=2AD 2，
∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，
在Rt △BDC 中，BD BC <，
而BC 2=2AB 2，
∴BD 2<2AB 2，
∴()2222BE AD AB
<+
故④错误，
综上，正确的个数为2个．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
根据折叠的性质可得AD=A'D ，AE=A'E ，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC ，则可求得答案．
【详解】
解：因为等边三角形ABC 的边长为1cm ，所以AB=BC=AC=1cm ，
因为△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A'处，所以AD=A'D ，AE=A'E ，
所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC =1+1+1=3（cm ）．
故选：D ．
【点睛】
此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．
4．C
解析：C
【解析】
将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，
∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=15， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，
∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，
所以S 2=x+4y=5，
故答案为5．
点睛：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=15求解是解决问题的关键．
5．D
解析：D
【解析】
根据题意可画图为：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∵AB=2，
∴3，
∴S △ABC =
12BC·AD=1233 故选D. 6．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据()2
222a b a ab b +=++即可求解．
【详解】
根据勾股定理可得2213a b +=，
四个直角三角形的面积是：14131122ab ⨯=-=，即212ab =， 则()2222131225a b a ab b +=++=+=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】
解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：
x 2+62=（10-x ）2，
解得：x=3.2，
答：折断处离地面的高度OA 是3.2尺．
故选D ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
【详解】
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
故选B.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
9．B
解析：B
【分析】
设斜边为c ，根据勾股定理得出
【详解】
解：设斜边为c ，根据勾股定理得出 ∵12ab=12
ch ，
∴，即a 2b 2=a 2h 2+b 2h 2， ∴22222a b a b h =22222a h a b h +22
222b h a b h
， 即
21a +21b ＝2
1h ． 故选：B ．
【点睛】 本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．
【详解】
A 、22272425+=，能组成直角三角形，故正确；
B 、222
11145222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，不能组成直角三角形，故错误； C 、222345+=，能组成直角三角形，故正确； D 、22
21147822⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，能组成直角三角形，故正确； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形．
二、填空题
11．45
【分析】
如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD. ABC ACB DAC ∠+∠=∠，只需证△ADC 是
等腰直角三角形即可
【详解】
如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD
设正方形网络每一小格的长度为1
则根据网络，555BC=5，∴5其中BD 、DC 、BC 边长满足勾股定理逆定理
∴∠CDA=90°
∵AD=DC
∴△ADC 是等腰直角三角形
∴∠DAC=45°
故答案为：45°
【点睛】
本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA ，构造处△ABC 的外角∠CAD
12．21021332【分析】
在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算,,DF DE CE ''，可得CD ．
【详解】
∵90ACB ︒∠=，4,2AC BC ==， ∴5AB = 情况一：当25AD AB ==AE CE ⊥于E
∴ 1122BC AC AB AE ⋅=⋅，即45AE =，145DE =∴22855CE AC AE =
-= ∴22213CD CE DE =+=
情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ，
∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅，即455BE =，1455
DE = ∴22255CE BC BE =
-= ∴22210CD CE DE =+=
情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E
∴1122
BC AC AB BE ⋅=⋅， ∴55BE =
355
CE ∴= ∵ABD △为等腰直角三角形
∴152
BF DF AB ===∴95DE DF E F DF BE ''=+=+= 25355CE EE CE BF CE ''=-=-==
∴2232CD CE E D ''=+=
故答案为：210或213或32
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键．
13．（0，21009）
【解析】
【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系．
【详解】∵∠OAA 1=90°，OA=AA 1=1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，
∴OA 1=2，OA 2=（2）2，…，OA 2018=（2）2018，
∵A 1、A 2、…，每8个一循环，
∵2018=252×8+2
∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=
()20182=21009，
故答案为（0，21009）.
【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号． 14．5
【分析】
由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝
∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长．
【详解】
解：如图所示，连接BD ，
∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，
且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ， 在ACE 和BCD 中，
AC=BC ACE=BCD CE=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACE ≌△BCD （SAS ），
∴AE ＝BD ＝3，∠E ＝∠BDC ＝45°， ∴∠ADB
＝∠ADC+∠BDC ＝45°+45°＝90°，
∴AB ＝22AD +BD =7+3=10，
∵AB=2BC ，
∴BC ＝2×AB=52
， 故答案为：5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．32或42
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：△ABC 是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC ，即可得到答案
【详解】
当△ABC 是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴222213125CD AC AD =-=-=,
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴222215129BD AB AD =-=-=,
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC 的周长=4+15+13=32；
当△ABC是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴2222
=-=-=，
13125
CD AC AD
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴2222
=-=-=，
BD AB AD
15129
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC的周长=14+15+13=42；
综上，△ABC的周长是32或42，
故答案为：32或42.
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键. 16．3．
【分析】
作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】
如图，作点B关于AD的对称点B′，
由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，
由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，
∴B′N=2×3
=3，
即BM+MN的最小值是3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
17．
【解析】
【分析】
延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图，延长AD、BC相交于E，
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB，CE=2CD
∵AB=3，AD=4,
∴AE=6, DE=2
设CD=x,则CE=2x，DE=x
即x=2
x=
即CD=
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE和直角△CDE，是解题的关键．
18．10
【分析】
首先作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值，易得△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∠N ′OM ′=90°，继而可以求得答案．
【详解】
作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．
根据轴对称的定义可
知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′=22''OM ON +=10． 故答案为10．
【点睛】
本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．
19．
78
． 【解析】 ∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴AC 2254-．
∵AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，∴BD =AD ．
设CD =x ，则AD =BD =4-x ，在Rt △ACD 中，2223(4)x x +=- ，解得：78
x =．故答案为：78
． 20．49
【分析】
先计算出BC 的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.
【详解】
∵∠ACB=90︒，25AB = ，24AC =,
∴22222252449BC AB AC =-=-=,
∴阴影部分的面积=249BC =，
故答案为：49.
【点睛】
此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键.
三、解答题
21．（1）4
23；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，
【分析】
（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；
（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.
【详解】
解：（1）⎛
÷ ⎝
=÷
=÷ ＝423
； （2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，
理由是：
∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，
∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，
∴a ＝，b ＝，c
∵，，
∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，
∵a ＝，b ＝，c
∴a 2+b 2＝c 2，
∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，
则此三角形的面积是
12
⨯. 【点睛】
此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.
22．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．
【分析】
（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；
（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；
（3）先利用勾股定理求出10
2AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：
如图1，延长AE 交BD 于H ，
由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，
∴()ACE BCD SAS ≅，
∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，
∵90DBC BDC ∠+∠=︒，
∴90EAC BDC ∠+∠=︒，
∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，
即AE BD ⊥，
故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；
（2）成立，理由如下：
如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，
∵90ACB ECD ∠=∠=︒，
∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，
在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ACE BCD SAS ≅，
∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，
∵90ACB ∠=︒，
∴90EAC AOC ∠+∠=︒，
∵AOC BOH ∠=∠，
∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，
∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，
即AE BD ⊥；
（3）设AD x =，
10,90AC BC ACB ==∠=︒，
2102AB AC ∴==，
由题意，分以下两种情况：
①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，
同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，
12DE =，
12BD AE AD DE x ∴==-=-，
在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，
解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），
即14AD =，
②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，
同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，
12DE =，
12BD AE AD DE x ∴==+=+，
在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，
解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），
即2AD =，
综上，AD 的长为14或2．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．
23．BF 的长为
32
【分析】
先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．
【详解】
解：连接BF ．
∵CA=CB ，E 为AB 中点
∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°
在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，
BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴Rt △FEB ≌Rt △FEA
又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°
∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°
又∵BD ⊥AD ，∠D=90°
∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3
∴222232BF BD FD BD =
+== 【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．
24．(1)2；(2)3q p =
；(3)27OM = 【分析】
（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；
（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =
-=即可解决问题；
（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．
【详解】
解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，
故答案为：2；
（2）过M 作MN CD ⊥于N ，
∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，
∴60MON ∠=︒，
∵MN q =，OM p =，
∴1122NO MO p =
=， ∴2232
MN MO NO p =-=，
∴32q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．
∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，
∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，
∴260EOF BOD ∠=∠=︒，
∴△OEF 是等边三角形，
∴OM OE OF EF ===，
∵1MP =，3MQ =，
∴2MF =，23ME =，
∵30BOD ∠=︒，
∴150PMQ ∠=︒，
过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，
∴30FMG ∠=︒，
在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，
在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=，
∴22(33)127EF =+=，
∴27OM =．
【点睛】
本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．
25．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析
【分析】
（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ；
（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长； （3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．
【详解】
解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，
理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AE ⊥BD ；
（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=22=2516=3EQ AE --，
∴PQ=2AQ=6；
（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，
∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=22=2516=3EQ AE --，
∴PQ=2AQ=6；
如图4，若点D 在BA 的延长线上，
∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=22=2516=3EQ AE --，
∴PQ=2AQ=6.
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．
26．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；
（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．
【详解】
（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =
-=-=(cm )．
故答案为：12；
（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，
∴PC = PA =t ，PB =16-t ． 在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即222
1216)t t +-=（，
解得：t=25 2
．
∵Q从B到C所需的时间为12÷2=6(s)，25
2
＞6，
∴此时，点Q在边AC上，CQ=
25
21213
2
⨯-=(cm)；
（3）分三种情况讨论：
①当CQ=BQ时，如图1所示，
则∠C=∠CBQ．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10，
∴BC+CQ=22，
∴t=22÷2=11(s)．
②当CQ=BC时，如图2所示，
则BC+CQ=24，
∴t=24÷2=12(s)．
③当BC=BQ时，如图3所示，
过B 点作BE ⊥AC 于点E ，
则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯=
==， ∴CE 2222483612()55
BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，
∴CQ =2CE =14.4，
∴BC +CQ =26.4，
∴t =26.4÷2=13.2(s )．
综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
27．（1）y ＝－2x ＋12，点C 坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D 坐标（－4，0）；（3）点P 的坐标（143
-，643） 【分析】
（1）由已知的等式可求得m 、n 的值，于是可得直线AB 的函数解析式，把点C 的坐标代入可求得a 的值，由此即得答案；
（2）画出图象，由CD ⊥AB 知1AB CD k k =-可设出直线CD 的解析式，再把点C 代入可得CD 的解析式，进一步可求D 点坐标；
（3）如图2，取点F （－2，8），易证明CE ⊥CF 且CE ＝CF ，于是得∠PEC ＝45°，进一步求出直线EF 的解析式，再与直线AB 联立求两直线的交点坐标，即为点P .
【详解】
解：（16m -n ﹣12）2＝0，
∴m ＝6，n ＝12，
∴A （6，0），B （0，12），
设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ， 则有1260b k b =⎧⎨+=⎩，解得212k b =-⎧⎨=⎩
， ∴直线AB 解析式为y ＝－2x ＋12，
∵直线AB 过点C （a ，a ），
∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）．
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，
设直线CD解析式为y＝1
2
x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，
∴直线CD解析式为y＝1
2
x＋2，
∴点D坐标（－4，0）．
（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，
图2
∵直线EC解析式为y＝3
2
x－2，直线CF解析式为y＝－
2
3
x＋
20
3
，
∵3
2
×（－
2
3
）＝－1，
∴直线CE⊥CF，
∵EC＝13CF＝13
∴EC＝CF，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∴∠FEC＝45°，
∵直线FE解析式为y＝－5x－2，
由
212
52
y x
y x
=-+
⎧
⎨
=--
⎩
解得
14
3
64
3
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴点P的坐标为（
1464
,
33
-）.
【点睛】
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121
k k=-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F（－2，8）是解题的突破口. 28．（1）,
CM ME CM EM
=⊥；（2）见解析；（3）25
CM=.
【解析】
【分析】
(1)证明ΔFME≌ΔA MH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC，EM，由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）结论：CM＝ME，CM⊥EM．
理由：∵AD∥EF，AD∥BC，
∴BC∥EF，
∴∠EFM＝∠HBM，
在△FME和△BMH中，
EFM MBH
FM BM
FME BMH
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△FME≌△BMH（ASA），
∴HM＝EM，EF＝BH，
∵CD＝BC，
∴CE＝CH，∵∠HCE＝90°，HM＝EM，
∴CM＝ME，CM⊥EM．
（2）如图2，连接BD，
∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，
∴45,45FDE CBD ︒︒∠=∠=
∴点B E D 、、在同一条直线上，
∵90,90BCF BEF ︒︒∠=∠=，M 为BF 的中点， ∴12CM BF =，12
EM BF =，∴CM ME =， ∵45EFD ∠=︒，∴135EFC ∠=︒，
∵CM FM ME ==，
∴,MCF MFC MFE MEF ∠=∠∠=∠
∴135MCF MEF ∠+∠=︒，
∴36013513590CME ∠=︒-︒-︒=︒， ∴CM ME ⊥．
（3）如图3中，连接EC ，EM ．
由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，
∵22EC 26210+=
∴CM ＝EM ＝25【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
29．（1）证明见解析；（2）AF ＝5cm ；（3）①有可能是矩形，P 点运动的时间是8，Q 的速度是0.5cm /s ；②t ＝
203
． 【解析】
【分析】
（1）证△AEO ≌△CFO ，推出OE=OF ，根据平行四边形和菱形的判定推出即可； （2）设AF=CF=a ，根据勾股定理得出关于a 的方程，求出即可；
（3）①只有当P 运动到B 点，Q 运动到D 点时，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t ，即可求出答案；②分为三种情况，P 在AF 上，P 在BF 上，P 在AB 上，根据平行四边形的性质求出即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，。