时函数模型及其应用
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(2)10 年后人口总数为 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人， 即 100×(1＋1.2%)x＝120， x＝log1.012112000＝log1.0121.20≈16(年)．
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【变式训练】 3.若题目条件不变，如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人， 年自然增长率应该控制在多少？ 解析： 由 100×(1＋x%)20≤120，得(1＋ x%)20≤1.2， 两边取对数得 20lg(1＋x%)≤lg 1.2＝0.079， 所以 lg(1＋x%)≤0.20079＝0.003 95， 所以 1＋x%≤1.009，得 x≤0.9%， 即年自然增长率应该控制在 0.9%.
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1．下列函数中随 x 的增大而增大速度最快
的是( )
A．y＝1010ex
B．y＝100ln x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
解析： 因为指数函数的增大速度较快，
故可排除 B、C.
又∵e＞2＞1，∴y＝1100ex 的增大速度要比
y＝100·2x 的增大速度要快. 答案： A
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解析： (1)1 年后该城市人口总数为 y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)． 2 年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋ 1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2. 3 年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋ 1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3. x 年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)x
答：当 CE＝CF＝0.1 米时，总费用最省．
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【变式训练】 1.某化工厂引进一条先进生产 线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(万 元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近 似地表示为 y＝x52－48x＋8 000，已知此生产 线年产量最大为 210 吨． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平 均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当
利润最大．
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指数函数模型 对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数 函数模型 y＝N(1＋p)x(其中 N 是基础数，p 为 增长率，x 为时间)和幂函数模型 y＝a(1＋x)n(其 中 a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式， 解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表 格中给定的值对应求解．
[2 000＋40020－x]x－7
[2
000－100x－20]x－7
0＜x≤20 20＜x＜40
，
∴y＝4100002450－ －xxxx－ －77
0＜x≤20 20＜x≤40
，
此函数的定义域为(0,40)．
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400[－x－162＋81] 0＜x≤20
(2)y＝100－x－4272＋1
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某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增 长率为 1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函 数关系式； (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万 人)； (3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年)．(参考数据： 1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079， lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)
定要注意函数的定义域，否则极易出错．
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某人定制了一批地砖，每块地砖(如图(1)所示) 是边长为 0.4 米的正方形 ABCD，点 E、F 分别 在边 BC 和 CD 上，△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格之 比依次为 3∶2∶1.若将此种地砖按图(2)所示的 形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形 EFGH.
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(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念 章所获得的利润 y(元)与每枚纪念章的销售 价格 x 的函数关系式(并写出这个函数的定 义域； (2)当每枚纪念章销售价格 x 为多少元时， 该特许专营店一年内利润 y(元)最大，并求 出这个最大值．
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解析： (1)依题意 y＝
∴L(x)＝－1 2130x02－＋4x0＋x－102x05000
0＜x＜80，x∈N*， x≥80，x∈N*.
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(2)当 0＜x＜80，x∈N*时，
L(x)＝－13(x－60)2＋950，
∴当 x＝60 时，L(x)取得最大值 L(60)＝950，
当 x≥80，x∈N*，
L(x)＝1
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
图象的 变化
随x增大逐 渐表现为 与y轴_平__行_ _一__样_
随x增大逐渐
表现为与x轴 _平__行__一__样____
随n值变化 而不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜ xn＜ax
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【思考探究】 以上三种函数都是单调增函数， 它们的增长速度相同吗？在(0，＋∞)上随着 x 的增大，三种函数的函数值间有什么关系？ 提示： 三种增长型的函数尽管均为增函数， 但它们的增长速度不同，且不在同一个档次 上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个 x0， 使 x＞x0 时有 ax＞xn＞logax.
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(1)求证：四边形 EFGH 是正方形； (2)E、F 在什么位置时，定来自这批地砖所需 的材料费用最省？
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解析： (1)证明：图(2)是由四块图(1) 所示地砖绕点 C 按顺时针旋转 90°后得 到的，∵图中△CFE 为等腰直角三角形， ∴四边形 EFGH 是正方形．
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解析： 利润 300 万元，纳税 300·p%万元， 年广告费超出年销售收入 2%的部分为 200 －1 000×2%＝180(万元)， 纳税 180·p%万元， 共纳税 300·p%＋180·p%＝120(万元)， p%＝14＝25%. 答案： C
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4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增 长率为 b,2009 年产生的垃圾量为 a t，由此预 测，该区下一年的垃圾量为______t,2014 年 的垃圾量为________t. 解析： 由于 2009 年的垃圾量为 a t，年增 长率为 b，故下一年的垃圾量为 a＋ab＝a(1 ＋b)t，同理可知 2011 年的垃圾量为 a(1＋b)2 t，…，2014 年的垃圾量为 a(1＋b)5 t.
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(2)设 CE＝x 米，则 BE＝(0.4－x)米，每块地砖 的费用为 W，制成△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 三种材料的每平方米价格依次为 3a、2a、 a(元)， W＝12x2·3a＋12×0.4×(0.4－x)×2a＋ 0.16－12x2－12×0.4×0.4－xa＝a(x2－0.2x＋ 0.24)＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)， 由 a＞0，当 x＝0.1 时，W 有最小值，即总费用 最省．
089
4
20＜x＜40
，
当 0＜x≤20，则当 x＝16 时，ymax＝32 400(元)． 当 20＜x＜40，
则当 x＝427时，ymax＝27 225(元)，
综上可得当 x＝16 时，该特许专营店获得的
利润最大为 32 400 元．
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【变式训练】 2.某厂生产某种产品的年固定 成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成 本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x)＝13 x2＋10x(万元)；当年产量不小于 80 千件时， C(x)＝51x＋10 x000－1 450(万元)．通过市场分 析，若每件售价为 500 元时，该厂年内生产该 商品能全部销售完． (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的 函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的 生产中所获利润最大？
年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最
大利润是多少？
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解析： (1)每吨平均成本为xy(万元)．
则xy＝x5＋8 0x00－48≥2
x8 5·
0x00－48＝32，
当且仅当x5＝8 0x00，即 x＝200 时取等号．
∴年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低为
32 万元．
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3．某企业去年销售收入 1 000 万元，年成本
为生产成本 500 万元与年广告成本 200 万元
两部分．若年利润必须按 p%纳税，且年广
告费超出年销售收入 2%的部分也按 p%纳
税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税 120
万元．则税率 p%为( )
A．10%
B．12%
C．25%
D．40%
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一次函数与二次函数模型 1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的 关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升 (自变量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系数 小于 0)． 2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如
面积问题、利润问题、产量问题等．一般利用函
数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一
2．设甲、乙两地的距离为 a(a＞0)，小王骑自行 车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( )
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解析： 注意到 y 为“小王从出发到返 回原地所经过的路程”而不是位移，用 定性分析法不难得到答案为 D. 答案： D
(2)设年获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函数， ∴x＝210 时，R(x)有最大值为 －15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元.
200－x＋10
x000≤1
200－2
＝1 200－200＝1 000，
10 000 x· x
∴当 x＝10 x000，即 x＝100 时，
L(x)取得最大值 L(100)＝1 000＞950.
综上所述，当 x＝100 时，L(x)取得最大值 1 000，即
年产量为 100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获
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分段函数模型
1．现实生活中有很多问题都可以用分段函数 表示，如出租车计费、个人所得税等问题，分 段函数是解决实际问题的重要模型． 2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循 的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段 的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要 注意各段自变量的变化范围，特别是端点值． 3．构造分段函数时，要力求准确简捷，做到 分段合理，不重不漏，分段函数也是分类讨论 问题．
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解析： (1)当 0＜x＜80，x∈N*时，
L(x)＝5001×0 0100000x－13x2－10x－250
＝－13x2＋40x－250；
当 x≥80，x∈N*时，
L(x)＝5001×0 0100000x－51x－10 x000＋1 450－250
＝1
200－x＋10
x000，
答案： a(1＋b) a(1＋b)5
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5.有一批材料可以建成 200 m 的围墙，如果用此 材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间 用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所 示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙 厚度不计)
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解析： 设矩形的长为 x m，宽为2004－xm， 则 S＝x·2004－x＝14(－x2＋200x)． 当 x＝100 时，Smax＝2 500 m2. 答案： 2 500 m2
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广州亚运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每 枚进价为 5 元，同时每销售一枚这种纪念章还需 向广州亚组委交特许经营管理费 2 元，预计这种 纪念章以每枚 20 元的价格销售时该店一年可销 售 2 000 枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销 售价格在每枚 20 元的基础上每减少一元则增加 销售 400 枚，而每增加一元则减少销售 100 枚， 现设每枚纪念章的销售价格为 x(元)．
(2)10 年后人口总数为 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人， 即 100×(1＋1.2%)x＝120， x＝log1.012112000＝log1.0121.20≈16(年)．
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【变式训练】 3.若题目条件不变，如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人， 年自然增长率应该控制在多少？ 解析： 由 100×(1＋x%)20≤120，得(1＋ x%)20≤1.2， 两边取对数得 20lg(1＋x%)≤lg 1.2＝0.079， 所以 lg(1＋x%)≤0.20079＝0.003 95， 所以 1＋x%≤1.009，得 x≤0.9%， 即年自然增长率应该控制在 0.9%.
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1．下列函数中随 x 的增大而增大速度最快
的是( )
A．y＝1010ex
B．y＝100ln x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
解析： 因为指数函数的增大速度较快，
故可排除 B、C.
又∵e＞2＞1，∴y＝1100ex 的增大速度要比
y＝100·2x 的增大速度要快. 答案： A
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第29页/共47页
解析： (1)1 年后该城市人口总数为 y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)． 2 年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋ 1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2. 3 年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋ 1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3. x 年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)x
答：当 CE＝CF＝0.1 米时，总费用最省．
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【变式训练】 1.某化工厂引进一条先进生产 线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(万 元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近 似地表示为 y＝x52－48x＋8 000，已知此生产 线年产量最大为 210 吨． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平 均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当
利润最大．
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指数函数模型 对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数 函数模型 y＝N(1＋p)x(其中 N 是基础数，p 为 增长率，x 为时间)和幂函数模型 y＝a(1＋x)n(其 中 a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式， 解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表 格中给定的值对应求解．
[2 000＋40020－x]x－7
[2
000－100x－20]x－7
0＜x≤20 20＜x＜40
，
∴y＝4100002450－ －xxxx－ －77
0＜x≤20 20＜x≤40
，
此函数的定义域为(0,40)．
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400[－x－162＋81] 0＜x≤20
(2)y＝100－x－4272＋1
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某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增 长率为 1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函 数关系式； (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万 人)； (3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年)．(参考数据： 1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079， lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)
定要注意函数的定义域，否则极易出错．
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某人定制了一批地砖，每块地砖(如图(1)所示) 是边长为 0.4 米的正方形 ABCD，点 E、F 分别 在边 BC 和 CD 上，△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格之 比依次为 3∶2∶1.若将此种地砖按图(2)所示的 形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形 EFGH.
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(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念 章所获得的利润 y(元)与每枚纪念章的销售 价格 x 的函数关系式(并写出这个函数的定 义域； (2)当每枚纪念章销售价格 x 为多少元时， 该特许专营店一年内利润 y(元)最大，并求 出这个最大值．
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解析： (1)依题意 y＝
∴L(x)＝－1 2130x02－＋4x0＋x－102x05000
0＜x＜80，x∈N*， x≥80，x∈N*.
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(2)当 0＜x＜80，x∈N*时，
L(x)＝－13(x－60)2＋950，
∴当 x＝60 时，L(x)取得最大值 L(60)＝950，
当 x≥80，x∈N*，
L(x)＝1
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
图象的 变化
随x增大逐 渐表现为 与y轴_平__行_ _一__样_
随x增大逐渐
表现为与x轴 _平__行__一__样____
随n值变化 而不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜ xn＜ax
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【思考探究】 以上三种函数都是单调增函数， 它们的增长速度相同吗？在(0，＋∞)上随着 x 的增大，三种函数的函数值间有什么关系？ 提示： 三种增长型的函数尽管均为增函数， 但它们的增长速度不同，且不在同一个档次 上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个 x0， 使 x＞x0 时有 ax＞xn＞logax.
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(1)求证：四边形 EFGH 是正方形； (2)E、F 在什么位置时，定来自这批地砖所需 的材料费用最省？
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解析： (1)证明：图(2)是由四块图(1) 所示地砖绕点 C 按顺时针旋转 90°后得 到的，∵图中△CFE 为等腰直角三角形， ∴四边形 EFGH 是正方形．
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解析： 利润 300 万元，纳税 300·p%万元， 年广告费超出年销售收入 2%的部分为 200 －1 000×2%＝180(万元)， 纳税 180·p%万元， 共纳税 300·p%＋180·p%＝120(万元)， p%＝14＝25%. 答案： C
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4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增 长率为 b,2009 年产生的垃圾量为 a t，由此预 测，该区下一年的垃圾量为______t,2014 年 的垃圾量为________t. 解析： 由于 2009 年的垃圾量为 a t，年增 长率为 b，故下一年的垃圾量为 a＋ab＝a(1 ＋b)t，同理可知 2011 年的垃圾量为 a(1＋b)2 t，…，2014 年的垃圾量为 a(1＋b)5 t.
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(2)设 CE＝x 米，则 BE＝(0.4－x)米，每块地砖 的费用为 W，制成△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 三种材料的每平方米价格依次为 3a、2a、 a(元)， W＝12x2·3a＋12×0.4×(0.4－x)×2a＋ 0.16－12x2－12×0.4×0.4－xa＝a(x2－0.2x＋ 0.24)＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)， 由 a＞0，当 x＝0.1 时，W 有最小值，即总费用 最省．
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20＜x＜40
，
当 0＜x≤20，则当 x＝16 时，ymax＝32 400(元)． 当 20＜x＜40，
则当 x＝427时，ymax＝27 225(元)，
综上可得当 x＝16 时，该特许专营店获得的
利润最大为 32 400 元．
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【变式训练】 2.某厂生产某种产品的年固定 成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成 本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x)＝13 x2＋10x(万元)；当年产量不小于 80 千件时， C(x)＝51x＋10 x000－1 450(万元)．通过市场分 析，若每件售价为 500 元时，该厂年内生产该 商品能全部销售完． (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的 函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的 生产中所获利润最大？
年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最
大利润是多少？
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解析： (1)每吨平均成本为xy(万元)．
则xy＝x5＋8 0x00－48≥2
x8 5·
0x00－48＝32，
当且仅当x5＝8 0x00，即 x＝200 时取等号．
∴年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低为
32 万元．
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3．某企业去年销售收入 1 000 万元，年成本
为生产成本 500 万元与年广告成本 200 万元
两部分．若年利润必须按 p%纳税，且年广
告费超出年销售收入 2%的部分也按 p%纳
税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税 120
万元．则税率 p%为( )
A．10%
B．12%
C．25%
D．40%
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一次函数与二次函数模型 1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的 关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升 (自变量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系数 小于 0)． 2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如
面积问题、利润问题、产量问题等．一般利用函
数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一
2．设甲、乙两地的距离为 a(a＞0)，小王骑自行 车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( )
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解析： 注意到 y 为“小王从出发到返 回原地所经过的路程”而不是位移，用 定性分析法不难得到答案为 D. 答案： D
(2)设年获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函数， ∴x＝210 时，R(x)有最大值为 －15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元.
200－x＋10
x000≤1
200－2
＝1 200－200＝1 000，
10 000 x· x
∴当 x＝10 x000，即 x＝100 时，
L(x)取得最大值 L(100)＝1 000＞950.
综上所述，当 x＝100 时，L(x)取得最大值 1 000，即
年产量为 100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获
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分段函数模型
1．现实生活中有很多问题都可以用分段函数 表示，如出租车计费、个人所得税等问题，分 段函数是解决实际问题的重要模型． 2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循 的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段 的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要 注意各段自变量的变化范围，特别是端点值． 3．构造分段函数时，要力求准确简捷，做到 分段合理，不重不漏，分段函数也是分类讨论 问题．
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解析： (1)当 0＜x＜80，x∈N*时，
L(x)＝5001×0 0100000x－13x2－10x－250
＝－13x2＋40x－250；
当 x≥80，x∈N*时，
L(x)＝5001×0 0100000x－51x－10 x000＋1 450－250
＝1
200－x＋10
x000，
答案： a(1＋b) a(1＋b)5
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5.有一批材料可以建成 200 m 的围墙，如果用此 材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间 用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所 示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙 厚度不计)
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解析： 设矩形的长为 x m，宽为2004－xm， 则 S＝x·2004－x＝14(－x2＋200x)． 当 x＝100 时，Smax＝2 500 m2. 答案： 2 500 m2
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广州亚运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每 枚进价为 5 元，同时每销售一枚这种纪念章还需 向广州亚组委交特许经营管理费 2 元，预计这种 纪念章以每枚 20 元的价格销售时该店一年可销 售 2 000 枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销 售价格在每枚 20 元的基础上每减少一元则增加 销售 400 枚，而每增加一元则减少销售 100 枚， 现设每枚纪念章的销售价格为 x(元)．