专题提升一 关于一元二次方程的应用性问题-2020春浙教版八年级数学下册课时训练

专题提升一关于一元二次方程的应用性问题
类型一关于增长率（降低率）问题
例1 某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是3.38万元．
（1）求从1月份到3月份，该商店销售额平均每月的增长率；
（2）如果该商店4月份销售额增长率保持不变，销售额能否达到4.5万元，若不能，请说明理由．
变式：近年来，市民外出旅游的人数不断增加. 据媒体报道，2017年A地市民外出旅游总人数大约50万人次，2019年A地市民外出旅游总人数约72万人次，若2018年、2019年A地市民外出旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求2018年、2019年A地市民外出旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2020年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2020年A地市民外出旅游总人数约为多少万人次？
类型二关于市场营销问题
例2 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加________件，每件商品盈利________ 元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
变式：某店代理某品牌商品的销售．已知该品牌商品进价每件40元，日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），付员工的工资每人每天100元，每天还应支付其他费用150元．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）该店员工共3人，若某天收支恰好平衡（收入＝支出），求当天的销售价是多少？
类型三关于实际生活问题
例3 为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a度仍按每度电0.40元交费，超出a度部分则按每度电
元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a度用电量为多少？
变式：（1）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）A．x（x-1）=2450B．x（x+1）=2450
C．2x（x+1）=2450D．=2450
（2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是57，则每个支干长出________小分支．（）
A．5根B．6根
C．7根D．8根
类型四关于面积、体积问题
例4 校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．
变式：（1）将一个容积为600cm3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示．根据题意，列出关于x的方程为（）
A．15（30-2x）·x=600
B．30（30-2x）·x=600
C．15（15-x）·x=600
D．x（15-x）·x=600
（2）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．
①求这地面矩形的长；
②有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为50元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
类型五关于几何综合问题
例5 （1）三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（）
A．x（x+2）=35
B．x（x+2）=35+4
C．x（x+2）=4×35
D．x（x+2）=4×35+4
（2）如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（）
变式：从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺． 另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为x 尺，则下列方程，满足题意的是（ C ）
A ． （x+2）2+（x -4）2=x2
B ． （x+2）2+（x+4）2=x2
C ． （x -2）2+（x -4）2=x2
D ． （x -2）2+（x+4）2=x2
类型六 关于动态问题
例6 在△ACB 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=3cm ，点P 从A 点开始沿着AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发：
（1）经过多长时间，S △PQB=2
1S △ABC ？ （2）经过多长时间，P 、Q 间的距离等于42cm ？
.
变式：如图，甲、乙二人分别从长为100米、宽为50米的长方形广场的边缘点A、C两点同时出发，甲由A点向D点运动，速度为2米/秒，乙由C点向B点运动，速度为3米/秒．设x秒后两人直线距离是60米．
（1）请根据题意列出方程，并化为一般形式；
（2）根据生活经验判断x应该有几个解？试用图形说明一下．
参考答案
例1 解：（1）设商店销售额平均每月的增长率为x，则2月份销售额为2（1+x）万元，3月份销售额为2（1+x）2万元，由题意可得：2（1+x）2=3.38，解得：x1=0.3=30%，x2=-2.3（不合题意，舍去）.
答：该商店销售额平均每月的增长率为30%.
（2）如果该商店4月份销售额增长率保持不变，则销售额是：3.38×（1+30%）=4.394（万元），∵4.394＜4.5，∴销售额不能达到4.5万元．
变式：解：（1）设2018年、2019年A地市民外出旅游总人数的年平均增长率为x．
根据题意得：50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：2018年、2019年A地市民外出旅游总人数的年平均增长率为20%．
（2）如果2020年仍保持相同的年平均增长率，则2020年A地市民外出旅游总人数约为72（1+x）=72×（1+20%）=86.4（万人次）．
答：预测2020年A地市民外出旅游总人数约为86.4万人次．
例2 解：（1）当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50-x）元．
故答案为：2x，（50-x）.
（3）根据题意，得：（50-x）×（30+2x）=2000，整理，得：x2-35x+250=0，解得：x1=10，x2=25，∵商场要尽快减少库存，∴x=25．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
变式：解：（1）当40≤x≤58时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（40，
60），（58，24）代入y＝kx+b，得：解得：∴当40≤x≤58时，y与x之间的函数关系式为y＝-2x+140；同理可得，当58＜x≤71时，y与x之间的函数关系式为y＝-x+82．综上所述：y与x之间的函数关系式为y＝
（2）设当天的销售价为x元时，可出现收支平衡．当40≤x≤58时，依题意，得：（x-40）（-2x+140）＝100×3+150，解得：x1＝x2＝55；当58＜x≤71时，依题意，得：（x-40）（-x+82）＝100×3+150，此方程无解．
答：当天的销售价为55元时，可出现收支平衡．
例3 解：因为80×0.4=32，100×0.4=40＜42，所以80≤a＜100．由题意得0.4a+（100-a）
=42．去分母，得60a+（100-a）a=42×150．整理，得a2-160a+6300=0．解得a1=90，a2=70．因为a≥80，所以a2=70不合题意，舍去．所以a=90．
答：在该地区规定的电费计费方式中，a度用电量为90度．
变式：（1）A （2）C
例4 解：（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32-2x）米，根据题意得：x （32-2x）=126，解得：x1=7，x2=9，∴32-2x=18或32-2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米时，能围成面积是126m2的矩形花圃．
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36-2y）米，根据题意得：y（36-2y）=170，整理得：y2-18y+85=0．∵Δ=（-18）2-4×1×85=
-16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．
变式：（1）C
（2）解：①设AC=xm，则BC=（20-x）m，由题意得：x（20-x）=96，x2-20x+96=0，（x-12）（x-8）=0，x=12或x=8，即当AC=12时，BC=8，或当AC=8时，BC=12.
答：这地面矩形的长为12米.
②分两种情况：
A. 若选用规格为0.80×0.80（单位：m）的地板砖：=15×10=150（块），150×50=7500（元）；
B. 若选用规格为1.00×1.00（单位：m）的地板砖：=96（块），96×80=7680（元），∵7500＜7680，∴选用规格为0.80×0.80（单位：m）的地板砖费用较少．
例5 （1）A （2）解：依题意得（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，∴b2-b-1=0，∴b=，而b不能为负，∴b=．故选：B．
变式：C
例6 解：（1）设经过了x秒，S△PQB=S△ABC，∴AP=xcm，BQ=2xcm，BP=（6-x）cm，∴（6-x）·2x=×6×3. 整理得：2x2-12x+9=0，解得：x=或x=. ∵AP≤6cm，BQ≤3cm，所以x=.
（2）设经过y秒，PQ=4cm，则AP=ycm，BQ=2ycm，BP=（6-y）cm，∴（2y）2+
（6-y）2=（4）2，解得：y=2或y=，经检验：y=2不合题意，舍去，故y=.
变式：解：（1）如图所示，过点Q作QN⊥BC于点N，∵QN=50，QM=60，NM=BM-AQ=（100-3x-2x）=100-5x，∴502+（100-5x）2=602，整理得：x2-40x+356=0；
（2）如图所示：x应该有两个解．。