2018-2019学年高一下学期第二次大考(期中考试)数学(理)试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知),2,1(),3,(),1,2(=-=-=c k b a 若)2(b a
-⊥c ，则|b |=（ ）
A ．53
B ．23
C ．52
D ．10
20.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1
sin(),3,43
A B a c +===， 则sin A =（ ） A ．
23
B ．
14
C ．
34
D ．
16
3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，486=S ，则{}n a 的公差为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
4.设D 为ABC ∆所在平面内一点，且14
33
AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈， 则λ=（ ） A ．2
B ．3
C ．2-
D ．3-
5.如图，在矩形ABCD
中，4AB BC ==，点E 为BC 的中点，
点F 在CD 上，若3AB AF =，则AE BF 的值是（ ）
A ．5-
B ．5
C ．4+
D ．56．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a
b c
，若2,a c A ===且b c <， 则b =（ ） A ．3
B ．
C ．2
D
7. 已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*
1(,)()n n P a a n N
+∈在直线10x y
-+=上，
1
S ++
=（ ）
8.O 为ABC ∆内一点，且20,OA OB OC AD t AC ++==，若,,B O D 三点共线，则t 的值 为（ ）
A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若c o s (2)c o s c a B a b A -=-，则ABC
∆的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角
形
10.在锐角ABC ∆中，已知1,2BC B A ==，则AC 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2)
11．甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时
乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A ． 21.5分钟 B ．
715分钟 C ．7
150
分钟 D ．2.15分钟
12．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项
均为正数的等比数列{a n }是一个“2019积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为（ ） A ．1010
B ．1009
C ．1009或1010
D ．1008或1009
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π
6，则a 在b 方向上的投影为
14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知1
1,2,cos 4
a c c ===，则ABC ∆的面积为
15.已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角的
大小是
16．已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若1
n n
A S
B S
≤-≤对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为
三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（本小题10分）
已知等差数列{}n a 满足23=a ，前3(1)求{}n a 的通项公式；
(2)设等比数列{}n b 满足15411,a b a b ==，求{}n b 的前n 项和n T
18、（本小题12分）
在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,,a b c 已知sin 2sin .a B A = ⑴求B ；
⑵若1
cos 3
A =，求sin C 的值.
19、（本小题12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且满足2,cos (2)cos .a a B c b A ==-
⑴求角A 的大小； ⑵求ABC ∆周长的最大值.
20、（本小题12分）
数列{}n a 中，113,2 2.n n a a a +==+
⑴求证：{}2n a +的等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； ⑵设2
n n n
b a =+，求和12n n S b b b =+++，并证明：14
,.55
n n N S *∀∈≤<
21、（本小题12分）
已知函数()f x a b =⋅
，其中(2cos 2)a x x =，(cos ,1)b x =，x R ∈． （1）求函数()y f x =的周期和单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()2f A =
，a =
且sin 2sin B C =，求△ABC 的面积．
22、（本题满分12分）
已知数列{}n a 中，111
,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩
为奇数，
为偶数.
(1)求32a a 和的值；
(2)求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列；
(3)若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n .
参考答案
一、选择题
二、填空题
13、32 14 15、 3
2 16、59
72 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、解：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得
a 1＋2d ＝2,3a 1＋
3×22d ＝92
， 化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝1
2，
故{a n }的通项公式a n ＝1＋
n －1
2
，即a n ＝
n ＋1
2
.
(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝
15＋1
2
＝8. 设{b n }的公比为q ，则q 3
＝b 4b 1
＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和
T n ＝
b 1
－q n
1－q
＝
－2n
1－2
＝2n
－1.
⑵2sin 3a R A =
==
23
L b c a B C ∴=++=
++
2(sin sin()24sin()2336B B B ππ⎡⎤
=
+-+=++⎢⎥⎣⎦
203
B π
<<
5666B πππ
∴<+<
sin()16
B π
∴+=时 max 6L =
21、解：（1）2
()2cos 2f x a b x x =⋅=2cos 212sin(2)16
x x x π
=++=+
+，
解得3
6
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+，k Z ∈，
函数()y f x =的单调递增区间是,36k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈．
（2）∵()2f A =， ∴2sin(2)126
A π
+
+=，即1sin(2)6
2
A π
+=
， 又∵0A π<<， ∴3
A π
=，
∵a =
，由余弦定理得22222cos ()37a b c bc A b c bc =+-=+-=，①
∵sin 2sin B C =，∴2b c =，② 由①②得273
c =
，
∴ABC S ∆=
． 22、解：（1）314
,3432-==
a a ； （2）设23
2
n n b a =-，
因为
21221221
33(21)3223322
n n n n
n n a n a b b a a +++++--
=
=--
=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -
=-, 所以数列23{}2n a -是以232a -即1
6
-为首项，以13为公比的等比数列.
（3）由（Ⅰ）得1
23111126323n n n n b a -⎛⎫
⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，即2113
232
n
n a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，
由2211(21)3n n a a n -=
+-，得12121115
33(21)()6232
n n n a a n n --=--=-⋅-+， 所以12121111[()()]692()692333n n n
n n a a n n --+=-⋅+-+=-⋅-+，
21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++
++
2111
2[()()]6(12)9333n n n =-+++-++++
11[1()]
(1)3
32691213
n n n n -+=-⋅-⋅+- 2211
()136()3(1)233
n n n n n =--+=--+ 显然当n N *∈时，2{}n S 单调递减， 又当1n =时，273S =
＞0，当2n =时，48
9S =-＜0，所以当2n ≥时，2n S ＜0； 22122315
()36232
n n n n S S a n n -=-=⋅--+，
同理，当且仅当1n =时，21n S -＞0， 综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．。