2024年北京通州区九年级初三一模数学试题及答案

通州区2024年初中学业水平模拟考试
数学试卷
2024年4月
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．．
．1．如图是某几何体的三视图，该几何体是
A ．三棱柱
B ．三棱锥
C ．长方体
D ．圆柱
2．2024年政府工作报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．北京正在建设国际科技创新中心，人工智能产业是北京的主导产业之一．目前，人工智能相关企业数量约2200家，全国40％人工智能企业聚集于此．2023年，北京在人工智能领域融资总额约223亿元，约占全国四分之一．数据22300000000用科学记数法表示应为A ．11
0.22310
⨯B ．10
2.2310
⨯C ．9
22.310
⨯D ．8
22310
⨯3．如图，∥AB CD ，E 为线段AD 上一点，连结CE ．若20∠=︒C ，50∠=︒AEC ，则∠A 的度数为
A ．10︒
B ．20︒
C ．30︒
D ．40︒
4．已知关于x 的方程2
40-+=x x n 有两个不相等的实数根，则n 的取值范围是A ．4
<n B ．4
≤n C ．4
>n D ．4
=n 5．如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是
A ．1l
B ．2l
C ．3l
D ．4
l 6．一个不透明的口袋中有2个红球和1个白球，这三个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是
A ．
3
4B ．
13C ．
14
D ．
12
7．已知数轴上有A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，若点A 、B 分别表示数a 、b ，且满足2+=a b ，则下列
各式的值一定为负数的是A ．a
B ．-a
C ．1
-a D ．1
-b 8．如图，在菱形ABCD 中，60∠=︒ABC ，点P 和点Q 分别在边CD 和AD 上运动（不与A 、C 、D 重合），满足=DP AQ ，连结AP 、CQ 交于点E ，在运动过程中，则下列四个结论正确的是①=AP CQ ；②∠AEC 的度数不变；③180∠+∠=︒APD CQD ；④2=⋅CP AP EP ．
A ．①②
B ．③④
C ．①②④
D ．①②③④
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．若
x 的取值范围是________．
10．分解因式：2
4-=x y y ________．11．方程
21
32=
+x x
的解为________．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线=y x 与双曲线=
k
y x
交于点(,3)P m ，则k 的值是________．13．如图，点E 是 ABCD 的边AD 上一点，且:1:2=AE DE ，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．若
6=AF ，则CD 的长为________．
14．为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天九年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在九年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：已知该校九年级共有400名学生，请估计九年级学生上学途中用时不超过．．．15min 的有________人．
15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率π的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如， O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正
六边形面积估计 O的面积，
1333
61
222
=⨯⨯⨯=
正六边形
S，所以 O的面积近似为33
2，由此可得
π
的估计值为33
2，若用圆内接正十二边形估计 O的面积，可得
π的估计值为________．
16．某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作．工作代码工作名称持续时间（天）前期工作A张贴海报、收集作品7无
B购买展览用品3无
C打扫展厅1无
D展厅装饰3C
E展位设计与布置3ABD
F展品布置2E
G宣传语与环境布置2ABD
H展前检查1FG
（1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰”最短需要________天；
（2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要________天．
三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分；第21题6分；第22题5分；第23-24题每题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：
2
1
4sin458(3)
2π
-
⎛⎫
︒+-
⎪
⎝⎭
．
18．解不等式组：2(1)212
-<+⎧⎪
⎨+<⎪⎩x x x x ．
19．已知2
210--=x x ，求代数式4(1)(21)(21)-++-x x x x 的值．
20．2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约7.5万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为2：3，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览
区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量．
21．如图，ABC △中，90∠=︒ACB ，点D 为AB 边中点，过D 点作AB 的垂线交BC 于点E ，在直线DE 上截取DF ，使=DF ED ，连结AE 、AF 、BF ．（1）求证：四边形AEBF 是菱形；（2）若4
sin 5
∠=
EAF ，5=BE ，求AD
的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)=+≠y kx b k 的图象经过点(0,1)-A 和(4,3)B ，与过点(0,3)-且平行于x 轴的直线交于点C ．
（1）求该函数的表达式及点C 的坐标；
（2）当2>-x 时，对于x 的每一个值，函数(0)=≠y mx m 的值大于函数(0)=+≠y kx b k 的值，直接写出m 的取值范围．
23．为了选出适应市场需求的小番茄秧苗，在条件基本相同的情况下，工作人员把两个品种的小番茄秧苗分别种植在甲、乙两个大棚．对两个品种的小番茄的产量进行了抽样调查，数据整理如下：a ．从甲、乙两个大棚各收集了20株秧苗，将每株秧苗上的小番茄的个数做如下记录：甲：2632407444638154624154433451636473645433乙：27
34
46
52
48
67
82
48
56
63
73
35
56
56
58
60
36
46
40
71
b ．对以上样本数据按如下分组整理：
（1）=m ________，=n ________．
（2）=p ________．
（3）可以推断出________大棚的小番茄秧苗品种更适应市场需求，理由为______________________．（从两个不同的角度说明推断的合理性）
24．如图，AB 为 O 的直径，过点A 作 O 的切线AM ，C 是半圆AB 上一点（不与点A 、B 重合），连结AC ，过点C 作⊥CD AB 于点E ，连接BD 并延长交AM 于点F ．（1）求证：∠=∠CAB AFB ；
（2）若 O 的半径为5，8=AC ，求DF 的长．
25．某部门研究本公司生产某种产品的利润变化．．y （万元）与生产总量x （吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x （吨）时，所获得的利润记为p （万元），公司生产x 吨产品所获得的利润与生产(1)-x 吨产品获得的利润之差记为y （万元）．
例如：当0=x 时， 1.00=-p ，当1=x 时， 2.50=p ．所以，当1=x 时， 2.50( 1.00) 3.50=--=y ；当 1.5=x 时， 6.31=p ，当 2.5=x 时，16.19=p ．所以，当 2.5=x 时，16.19 6.319.88=-=y ．记录的部分数据如下：
根据以上数据，解决下列问题：（1）=m ________，=n ________．
（2）结合表中的数据，当16≤≤x 时可以用函数刻画利润的变化量y （万元）和生产总量x （吨）之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中画出此函数的图象．（3）结合数据，利用所画的函数图象可以推断：
①当生产总量约为________吨（精确到0.1），利润变化值y 最大．②当生产总量约为________吨（精确到0.1），利润开始降低．
26．在平面直角坐标系xOy 中，1(,)M m y ，2(2,)+N m y 是抛物线2
(0)=++>y ax bx c a 上两点，且满足0>m ．设抛物线的对称轴为=x t ．
（1）当12=y y 时，写出m ，t 的之间的等量关系．
（2）当34<<t 时，均满足21>>c y y ，求m 的取值范围．
27．如图，将线段AB 绕点A 逆时针旋转α度0180)(α︒<<︒得到线段AC ，连结BC ，点N 是BC 的中点，点D ，E 分别在线段AC ，BC 的延长线上，且=CE DE ．（1）∠=EDC ________（用含α的代数式表示）；
（2）连结BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF ，NF ．①依题意补全图形；
②若⊥AF EF ，用等式表示线段NF 与CE 的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)M m n ，A 为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P 运动：将点A 向右平移m 个单位长度，再向上平移n 个单位长度，得到点'A ，再将点'A 绕点O 逆时针旋转90︒，得到点1A ；
Q 运动：将点A 绕点O 逆时针旋转90︒，得到点''A ，再将点''A 向右平移m 个单位长度，再向上平移n 个
单位长度，得到点2A ．
（1）如图，已知点(1,1)A ，(,0)M m ，点A 分别经过P 运动与Q 运动后，得到点1A ，2A ．①若1=m ，请你在下图中画出点1A ，2A 的位置；
②若122=A A ，求m 的值．
（2）已知=AB t ，点A ，B 分别经过P 运动与Q 运动后，得到点1A ，2A 与点1B ，2B ，连接11A B ，22A B ．若线段11A B 与22A B 存在公共点，请直接写出此时线段MO 长度的取值范围（用含有t 的式子表示）．
通州区2024年初中学业水平模拟考试数学参考答案及评分标准
2024年4月
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
题号12345678答案
A
B
C
A
C
B
C
D
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．3x
10．()()22+-y x x 11．1
=x 12．9
13．12
14．280
15．3
16．（1）4
（2）13
三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分；第21
题6分；第22题5
分；第23-24题每题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．解：原式4412
=⨯
-+5
=18．解：()2121
2
⎧-<+⎪
⎨+<⎪⎩①②x x x x 解不等式①，得4<x ．解不等式②，得1>x ．
∴不等式组得解集为14<<x ．
19．解：原式2
2
4441
=-+-x x x 2841=--x x 2210--= x x 221∴-=x x ∴原式24(2)1
=--x x 3
=20．解：设非遗文献馆的坐席数为2x 个，则少年儿童馆坐席数为3x 个，山体阅览区的坐席数为()12200+x 个
根据题意得：23122001900+++=x x x 解得，100
=x 答：非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个．21．（1）证明： 点D 为AB 边中点
∴=AD BD = DF ED
∴四边形AEBF 是平行四边形
⊥ EF AB
∴四边形AEBF 是菱形．
（2）解： 四边形AEBF 是菱形
∴∥AF CB ，5==AE BE ∴∠=∠EAF AEC
在Rt AEC △中，4
sin 5
∠
=
AEC ，5=AE 4∴=AC ，3
=EC 在Rt ABC △中，8
=BC 45∴=AB 25∴=AD ．
22．解：（1） 函数()0=+≠y kx b k 的图象经过点()0,1-A 和()
4,3B 143=-⎧∴⎨+=⎩b k b ，1
1=⎧∴⎨
=-⎩k b ∴该函数的表达式为1
=-y x 由题意知点C 的纵坐标为3-，当13=-=-y x 时，解得2
=-x ()2,3∴--C ．
（2）3
12
m ．23．解：（1）4=m ，5=n ．
（2）54
=p （3）乙大棚的小番茄秧苗品种更适应市场需求，因为乙大棚每株秧苗上的小番茄个数的平均数高于甲大棚，且方差小，产量的稳定性更好．
24．（1）证明： AM 是 O 的切线
90∴∠=
BAM
⊥ CD AB 于点E
90∴∠=
CEA ∴∥CD AF
∴∠=∠CDB AFB ∠=∠ CDB CAB ∴∠=∠CAB AFB ．
（2）解：连结AD
⊥ CD AB 于点E ，AB 是 O 的直径∴=CE DE
∴AB 是CD 的垂直平分线
8∴==AC AD O 的半径为510∴=AB 6
∴=BD AB 是 O 的直径
90∴∠= BDA ∴∠=∠BAD AFB
tan tan ∴∠=∠BAD AFB ∴=AD BD DF AD
2∴=⋅AD DF BD
323
∴=DF ．25．（1）8.5=m ，7.88=n ．
（2）函数图象如下：
（3）①3.2（答案不唯一，介于3.1~3.3）②5.8（答案不唯一，介于5.6~5.9）
26．解：（1） 点()1,M m y ，()22,+N m y 是抛物线2
(0)=++>y ax bx c a 上两点，
当12=y y 时，点M 和点N 关于抛物线的对称轴=x t 对称
2∴+-=-m t t m
212
++∴==+m m t m ．
（2）将点()1,M m y 到对称轴的距离记为M d ，点()22,+N m y 到对称轴的距离记为N d ，抛物线与y 轴交点记为点()0,C c ，到对称轴的距离记为C d ．
0> a ，21
>y y ∴点N 到对称轴的距离大于点M 到对称轴的距离，即>N M d d 2∴+->-m t m t 22(2)()0
∴+--->m t m t ()()220
∴+-+-+--+>m t m t m t m t 1
∴>-m t 当34<<t 时，均满足21
>y y 3
∴m 0> a ，2
>c y ∴点C 到对称轴的距离大于点N 到对称轴的距离，即>N C d d 2∴>+-t m t
22(2)0
∴-+->t m t 22
∴<-m t 当34<<t 时，均满足2
>c y 4
∴m 综上，34m ．
27．（1）1
902α
- （2）依题意补全图形；
延长AF 至点M ，使=FM AF ，连接BM ，DM ，EM ，AE ． 点F 为线段BD 中点
∴四边形ABMD 为平行四边形
∴∥AB DM ，=AB DM
180∴∠+∠=
BAC ADM 180α
∴∠=- ADM ⊥ AF EF
∴=AE ME
又= AB AC ，=EC ED
∴=AC DM
()
SSS ∴≌ACE MDE △△1180902
α∴∠=∠=-∠=+ MDE ACE ACB 11909022
ααα⎛⎫∴∠=∠-∠=+--= ⎪⎝⎭
ADM MDE CDE
180αα
∴-= 90∴=
a 45∴∠=∠=
ECD EDC ∴=CD
N 为BC 中点，F 为BD 中点2∴=CD NF
∴=CE
．
注：方法不唯一，酌情给分
28．（1）①如图所示：
②解：设点(),0M m ，
点A 经过P 变换后的对应点为()11,1-+A m ，点A 经过Q 变换后的对应点为()21,1-+A m ，122
= A A
2
=∴=m
（2）02MO t ．。