(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(答案解析)(4)

一、选择题
1．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，
{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）
A ．1a b +>
B ．1a b +<
C ．221a b +<
D ．221a b +> 2．已知i 是虚数单位，则
21i i =-（ ） A ．1i -+
B ．1i +
C ．1i -
D ．1i -- 3．若复数1a i z i +=
+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12
- D ．1- 4．设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
5．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)
2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）
A ．14-
B ．14
C ．12-
D ．12
6．已知()
2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3
7．下面是关于复数21i
z =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.
A ．2p ,3p
B ．13,p p
C ．24,p p
D ．34,p p 8．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=
∈+的实部为-2，则z =（ ）
A ．5
B C D ．13 9．设复数3422i i z +-=
, 则复数z 的共轭复数是（ ） A ．5-2i B ．52i + C ．5-2i + D ．5--2
i 10．已知i 是虚数单位，复数z 满足|12|z i i -=+，则z 的共轭复数z 在复平面上对应点
所在的象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 11．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ）
A ．1 B
C D 12．若复数z 是方程2250x x -+=的一个根，则z =（ ） A ．2i ±
B ．2i -±
C ．12i -±
D ．12i ± 二、填空题
13．已知复数z 满足|1|1z i -+=，则|2 3 |z i +-的最小值为___________．
14．已知i 是虚数单位，则12i -________.
15．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 16．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________．
17．若复数12i z =+，则3i z +=__________．
18．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．
19．设复数3i 1i m z m +=
+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为_______． 20．复数i 1i
z =+，则z =______. 三、解答题
21．已知复数()
221132z x x x i =-+-+，()232,z x x i x R =+-∈ （1）若1z 为纯虚数，求实数x 的值；
（2）在复平面内，若1z 对应的点在第四象限，2z 对应的点在第一象限，求实数x 的取值范围.
22．已知复数()()
21312i i z i
-++=-，z ai ω=-(其中i 是虚数单位).
(1)当ω为实数时，求实数a 的值； (2)当03a ≤≤时，求ω的取值范围.
23．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=- (i 为虚数单位)，复数2z 的虚部为2，且12·
z z 是实数.
(1)求1z 及1z ；
(2)求2z 及12z z +.
24．已知复数z 满足()125z i i +=（i 为虚数单位）．
（1）求复数z ，以及复数z 的实部与虚部；
（2）求复数5z z
+的模． 25．复数()2132z i a a i =--++（a R ∈），
（Ⅰ）若z z =，求z ；
（Ⅱ）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围．
26．已知复数1z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数.
（1）求2
12z z ⨯的模；
（2）求复数2z .
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．
【详解】
设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0
化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，
集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，
若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，
1d =，即a 2+b 2＜1
故选C ．
【点睛】
本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．
2．A
解析：A
【解析】 因22(1)112
i i i i i +==-+-，故应选答案A ． 3．D
解析：D
【分析】
直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案.
【详解】
()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010
a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4．D
解析：D
【分析】
由3z 为实数，求出,a b 关系，实系数方程有虚数根，∆<0，且两根互为共轭，由韦达定理，求出,p q 与,a b 关系，结合,a b 关系，即可得出,p q 的关系式，得出结论.
【详解】
()3220,0,(2)()z a bi a b z a b abi a bi =+>≠=-++，
其虚部为22222
()2(3)a b b a b b a b -+=-，
又3z 为实数，所以2222(3)0,0,30b a b b b a -=≠=≠，
复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根， ()0,0z a bi a b =->≠也是实系数方程20x px q ++=的根， 所以222240,2,40p q z z a p zz a b a q ∆=-<+==-=+==>，
所以2
,0p q p =<，此时30q ∆=-<， 即点(),p q 的轨迹在抛物线2y x 上.
故选：D.
【点睛】 本题考查实系数一元二次方程根的关系、复数的基本概念，韦达定理的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.
5．B
解析：B
【分析】
根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.
【详解】
据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2
cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，
所以，)
cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，
当sin 216x π⎛⎫+
=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14
. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.
6．D
解析：D
【分析】
根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案．
【详解】
由题意，复数()()()()()
215534155155 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．
【详解】
∵z ()()()
212111i i i i +===--+1+i ， ∴
1p ：|z |=
2p ：z 2＝2i ，
3p ：z 的共轭复数为1-i ，
4p ：z 的虚部为1，
∴真命题为p 2，p 3．
故选A ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．
8．C
解析：C
【解析】
分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i
-=∈+的实部为-2，()()()()
()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅- 1
2,5,2a a -∴=-= 则()1123,2
a a i z i z --+==--∴= 故选C.
点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.
9．B
解析：B
【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i i i z i +--=
==-， 则其共轭复数为：52z i =
+. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．D
解析：D
【解析】
分析：先根据复数的模求出z ，再求z 的共轭复数，最后确定对应点所在象限.
详解：因为12z i i -=+，所以z i =,
所以z i =,
因此对应点为1-）
，在第四象限， 选D.
点睛：.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi
11．D
解析：D
【解析】
分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得
结果.
详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，
所以2
1xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-，
则212x yi i +=-==，故选D.
点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目. 12．D
解析：D
【分析】
设出复数，代入方程进行求解即可.
【详解】
令(,)z a bi a b R =+∈，
有2()2()50a bi a bi +-++=，
整理为()
2225(22)0a b a ab b i --++-=， 有22250220a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩
， 解得：12
a b =⎧⎨=±⎩， 则12z i =±.
故选：D.
【点睛】
本题综合考查复数的运算，涉及复数为实数的转化关系，属复数基础题.
二、填空题
13．4【分析】根据复数模的几何意义将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设由得所以即点是圆心为半径为1的圆上的动点表示的是点与点的距离所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即故答案为：4【点睛】本题考查 解析：4
【分析】
根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案
【详解】
设(,)z x yi x y R =+∈，
由|1|1z i -+=得1(1)1x y i -++=
所以()()22
111x y -++=
即点(),x y 是圆心为()1,1-，半径为1的圆上的动点
|2 3 |z i +-=，表示的是点(),x y 与点()2,3-的距离 所以其最小值为点()2,3-到圆心()1,1-的距离减去半径
14=
故答案为：4
【点睛】
本题考查的是复数模的几何意义，圆当中的最值问题一般向圆心进行转化.
14．【解析】分析：首先根据题中所给的条件可以断定其为求复数的模利用公式求得结果详解：根据复数模的公式可知故答案是点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题根据公式运算即可属于简单题目
【解析】 分析：首先根据题中所给的条件，可以断定其为求复数12i -的模，利用公式求得结果.
详解：根据复数模的公式，可知12i -==
点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题，根据公式运算即可，属于简单题目. 15．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实 解析：5
【解析】
试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5
【考点】复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复
数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b a bi -
16．【分析】设第个顶点为利用向量相等列方程求解即可【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是所以正方形三个顶点对应的坐标为设第个顶点为则∴即第个顶点为所以第4个顶点对应的复数为【点睛】本题主要考查复数 解析：13i -+
【分析】
设第4个顶点为(),a b ，利用向量相等列方程求解即可.
【详解】
因为正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，
所以正方形三个顶点对应的坐标为()0,0，()1,2，()2,1-，
设第4个顶点为(),a b ，
则()()()1,220,102,1a b --=---=-，
∴1a =-，3b =，即第4个顶点为()1,3-．
所以第4个顶点对应的复数为13i -+
【点睛】
本题主要考查复数的几何意义，向量相等，属于基础题..
17．【解析】
18．1【详解】由题设得三点的坐标分别为将三向量的坐标代入得因此即所以故答案为1点睛：本题考查复数与向量的对应以及向量相等的条件复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上向量相等则两向量的横纵坐标相等； 解析：1
【详解】
由题设得三点的坐标分别为()()()1
2,11,34A B C ---，，，，将三向量的坐标代入OC OA OB λμ=+得341211λμ-=-+-（，）（，）（，），因此3 24λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩
，即1 2λμ=-⎧⎨=⎩，所以λμ1+=，故答案为1.
点睛：本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等；由题设求出三点A B C ，，的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数,λμ的方程，求出,λμ的值.
19．【解析】试题分析：由得：为实数而所以又所以的值为考点：复数概念
【解析】 试题分析：由z z =得：3i 1i m z m +=+为实数，而2224311m m z i m m -=+++，所以2
230,1m m -=+又
0m >，所以m 考点：复数概念
20．【解析】试题分析：考点：
解析：2
【解析】
试题分析： ()()()i 1i i 1i ,1i 1i 1i 22
z z -+=
===++-. 考点： 三、解答题
21．(1) 1x =-;(2) 实数x 的取值范围为:312x <<
. 【解析】
分析：（1）由题意得到关于x 的方程组，求解方程组可得1x =-.
（2）1z 对应的点在第四象限，则12x <<，2z 对应的点在第一象限，则302x <<，据此可得x 的取值范围为：312
x <<. 详解：（1）∵1z 为纯虚数，∴2210320x x x ⎧-=⎨-+≠⎩
，解得1x =-； （2）∵1z 对应的点在第四象限，∴2210320x x x ⎧->⎨-+<⎩
，解得：12x <<， ∵2z 对应的点在第一象限，∴0320
x x >⎧⎨->⎩，解得：302x <<， 综上，实数x 的取值范围为：312x <<
. 点睛：这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.
22．(1)1；(2)1ω≤
≤. 【解析】
试题分析：
(1)整理计算()11a i ω=+-，满足题意时，10a -=，即1a =.
(2)由题意结合复数的模的定义和二次函数的性质可得ω的取值范围是1ω≤
. 试题 (1)()()()()
32233312222i i i i i z i i i i i ++-+++====+---+， 所以()111z ai i ai a i ω=-=+-=+-，
当ω为实数时，10a -=，即1a =.
(2)因为()11a i ω=+-，所以ω=
又因为03a ≤≤，所以当1a =时，min 1ω=，当3a =时，max ω
所以1ω≤≤.
23．（1）112i,2i z z =-=+；（2）242i z =+，126z z i +=+=
【解析】
试题分析：（1）把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简和共轭复数的概念得答案；(2)根据题意可设22z a i ＝＋，根据虚部为0可得a 的值，故而可求得结果. 试题
（1） (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒
z 1＝2－i ， 12z i =+ （2）设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ， 则z 1·
z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.
∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i ， 126z z i +=+=
24．（1）2z i =+，实部为2，虚部为1；（2）．
【解析】 试题分析：由复数的运算法则知512i z i
=+，再由除法法则可得结论；（2）可先计算出542z i z
+
=-，然后由模的定义得结论． 试题 （1）55(12)(12)212(12)(12)i i i z i i i i i i -=
==-=+++-，实部为2，虚部为1；
（2）552422z i i z i +=-+=-+，∴5||z z
+==． 考点：复数的运算，复数的概念．
25．（Ⅰ）0z =或6z =;（Ⅱ）11a -<<．
【详解】
试题分析：将复数化简得()22321z a a a
i =-++-（1）中z z =，所以虚部为0，（2）
中复数对应点为 ()2232,1a a a -+-，在第一象限得到不等式，求得a 范围
试题
()
22321z a a a i =-++-，
（1）由z z =知，210a -=，故1a =±．当1a =时，0z =；当1a =-时，6z =． （2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即22320{10
a a a -+>->，即21{11a a a 或><-<<， 所以11a -<<．
26．（1）8；（2）2)z i =±.
【分析】
（1）由复数的模的性质，知|221212z z z z ⨯=⋅ ，由此利用题设条件能够求出2
12z z ⨯的模；
（2）由212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数，212z z ⨯的模是8，知2128z z i ⨯=，设复数
()2,z a bi a b R =+∈，利用复数相等的性质能求出复数z 2．
【详解】
（1）222121212
8z z z z z z ⨯===； （2）212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数
2128z z i ∴⨯=,
)2
2824i i z ==+，
设复数()2,z a bi a b R =+∈，
2222a b abi -+=+，
2222a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩
1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，
∴2)z i =±.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.。