课件1：5.1.1 变化率问题

∴ΔΔyx＝－ΔΔxx＋＋242，
∴k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
－ΔxΔ＋x－242＝－44＝－1.
又 x＝2 时 y＝242＝1，
∴切线方程为 y－1＝－1×(x－2)，即 x＋y－3＝0.
【课堂小结】
1．函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的
瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：
【学以致用】
1．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A．0.4
B．2
C．0.3
D．0.2
B [ v ＝s22.1.1－－s22＝4.02－.1 4＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v
＝lim Δt→0
率及瞬时速度的概念．(易混点) 及数学运算的核心素养.
1．平均变化率
【新知初探】
对于函数 y＝f (x)，从 x1 到 x2 的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝__x_2－__x_1_. (2)函数值的改变量：Δy＝__f_(_x_2_)－__f_(_x_1)__．
(3)平均变化率ΔΔyx＝
【例 2】 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关
系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
5.1.1 变化率问题
学习目标
核心素养
1.通过对大量实例的分析，经历由平 1.通过对函数的平均变化率、瞬时
均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 变化率、瞬时速度的概念的学习，
2.会求函数在某一点附近的平均变 培养数学抽象的核心素养.
化率．(重点)
2.通过求平均变化率、瞬时变化率
3.理解函数的平均变化率，瞬时变化 及瞬时速度的学习，培养逻辑推理
＝ lim Δx→0
Δx2＋2Δx Δx
＝lim (Δx＋2) Δx→0
＝2.
故切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.
【规律方法】 求函数 y＝f (x)在点 x0 处的导数的三个步骤
[跟进训练]
2．求函数 y＝x42在 x＝2 处的切线方程． [解] ∵Δy＝Δx＋4 22－242＝Δx＋4 22－1＝－ΔΔxx2＋＋24Δ2 x，
)
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．函数 y＝f (x)，自变量 x 由 x0 改变到 x0＋Δx 时，
函数的改变量 Δy 为( )
A．f (x0＋Δx)
B．f (x0)＋Δx
C．f (x0)·Δx
D．f (x0＋Δx)－f (x0)
D [Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)，故选 D.]
4．设函数 f (x)在 x＝1 处切线斜率为 2，则lim Δx→0
f1＋Δ3Δxx－f1＝________.
2 3
[根据条件知 k＝lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1＝2，
∴ lim Δx→0
f1＋Δ3Δxx－f1＝13Δlixm→0
f1＋ΔΔxx－f1＝23.]
5．已知函数 f (x)＝3x2＋5，求 f (x)： (1)从 0.1 到 0.2 的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． [解] (1)因为 f (x)＝3x2＋5， 所以从 0.1 到 0.2 的平均变化率为 3×0.22＋0.25－－03.×1 0.12－5＝0.9.
(2)当 P 点逐渐靠近 P0 点，即 Δx 逐渐变小，当 Δx→0 时，瞬时
变化率 lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
就是
y＝f
(x)在
x0
处的切__线__的斜率即
k＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
思考：曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？
[提示] 不是．二次曲线与其切线有且只有一个公共点， 与其他曲线可能会有其他交点，只是在 x＝x0 附近有且只 有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．
k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝xl→imx0
fx－fx0 x－x0 .
2．瞬时速度与平均速度的区别和联系
区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均
速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内
的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于 0 时的极限值．
类型三 求函数在某点的切线斜率及方程 【例 3】 (1)已知函数 y＝x－1x，则该函数在点 x＝1 处 的切线斜率为________． (2)求曲线 f (x)＝x2＋1 在点 P(1，2)处的切线的斜率，并 求出切线方程．
(1)2 [∵Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11
＝Δx＋1－1＋1Δx＝Δx＋1＋ΔxΔx，
s1＋ΔΔtt－s1＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(
)
A．9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速率
B．9.8 m/s 是 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的速率
C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速率
D．9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的平均速率
(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则 2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s.
【规律方法】 求运动物体瞬时速度的三个步骤 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为 s＝st， 则求物体在 t＝t0 时刻的瞬时速度的步骤如下： 1写出时间改变量 Δt，位移改变量 ΔsΔs＝st0＋Δt－st0. 2求平均速度： v ＝ΔΔst. 3求瞬时速度 v：当 Δt→0 时，ΔΔst→v常数.
3．若一质点按规律 s＝8＋t2 运动，则在一小段时间[2，2.1]
内的平均速度是( )
A．4
B．4.1
C．0.41
D．－1.1
B [ v ＝ΔΔst＝s22.1.1－－s22＝2.102－.1 22＝4.1，故选 B.]
4．一辆汽车运动的速度为 v(t)＝t2－2，则该汽车在 t＝3 时 的加速度为________． 6 [ΔΔvt ＝3＋Δt2－Δ2t－32－2＝Δt2Δ＋t 6Δt＝6＋Δt， 当 Δt→0 时，ΔΔvt →6，即汽车在 t＝3 时加速度为 6.]
∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为 3.
即物体在 t＝1 s 时的瞬时速度为 3 m/s.
[母题探究] 1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
[解] 求物体的初速度，即求物体在 t＝0 时的瞬时速度． ∵ΔΔst＝s0＋ΔΔtt－s0＝0＋Δt2＋0Δ＋t Δt＋1－1＝1＋Δt， ∴lim (1＋Δt)＝1.
5．火箭发射 t s 后，其高度(单位：m)为 h(t)＝0.9t2.那么 t＝________ s 时火箭的瞬时速度为 3.6 m/s. 2 [ΔΔht ＝0.9t0＋ΔΔtt2－0.9t02＝1.8Δtt0Δ＋t 0.9Δt2＝0.9Δt＋1.8t0. 当 Δt→0 时ΔΔht →1.8 t0.即 t＝t0 时的瞬时速度为 1.8t0， 由 1.8t0＝3.6 得 t0＝2.]
Δt→0
∴物体在 t＝0 时的瞬时变化率为 1，即物体的初速度为 1 m/s.
2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻
的瞬时速度为 9 m/s.
[解] 设物体在 t0 时刻的瞬时速度为 9 m/s. 又ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝(2t0＋1)＋Δt.
lim
Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
fx2－fx1 x2－x1
＝
fx1＋Δx－fx1 Δx
.
思考：Δx，Δy 以及平均变化率一定为正值吗？
[提示] Δx，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但 Δx 不能为零， 平均变化率ΔΔyx可正可负可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在_某__一__时_刻__的速度称为瞬时速度．
(2)函数 f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是函数 f (x)从 x0 到 x0＋Δx 的平
类型二 求瞬时速度 [探究问题] 1．物体的路程 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝5t2，如何计算物体 在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度？ [提示] Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2， v ＝ΔΔst＝10＋5Δt. 2．当 Δt 趋近于 0 时，探究 1 中的平均速度趋近于多少？怎 样理解这一速度？ [提示] 当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于 10，这时的平均速度即 为当 t＝1 时的瞬时速度．
∴ΔΔyxห้องสมุดไป่ตู้Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx，
∴斜率 k＝lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋1＋1Δx＝1＋1＝2.]
(2)[解] 显然点 P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，
可知切线的斜率为 k＝lim Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim Δx→0
1＋Δx2＋1－12＋1 Δx
[跟进训练]
1．函数 y＝x2 从 x0 到 x0＋Δx(Δx＞0)的平均变化率为 k1，从 x0－Δx
到 x0 的平均变化率为 k2，则 k1 与 k2 的大小关系是( )
A．k1＞k2
B．k1＜k2
C．k1＝k2
D．k1 与 k2 的大小关系不确定
A [∵函数 y＝f (x)＝x2 从 x0 到 x0＋Δx 的改变量为 Δy1＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝(x0＋Δx)2－x02＝Δx(2x0＋Δx)， ∴k1＝ΔΔyx1＝2x0＋Δx. ∵函数 y＝f (x)＝x2 从 x0－Δx 到 x0 的改变量为 Δy2＝f (x0)－f (x0－Δx)＝x20－(x0－Δx)2＝Δx(2x0－Δx)， ∴k2＝ΔΔyx2＝2x0－Δx，∵k1－k2＝2Δx，而 Δx＞0，∴k1＞k2.]
【合作探究】
类型一 求平均变化率 【例 1】 (1)如图，函数 y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为( )
A．12
B．－12
C．2
D．－2
(2)函数 y＝－2x2＋1 在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为________．
(1)B (2)－4－2Δx [(1)ΔΔyx＝f55－－f11＝15－－31＝－12.故选 B. (2)Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)， 所以平均变化率为ΔΔyx＝－2ΔxΔ2x＋Δx＝－4－2Δx.]
C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项 C 正确．]
3．已知函数 f (x)＝2x2－1 的图象上一点(1，1)及其附近一点 (1＋Δx，f (1＋Δx))，则ΔΔyx等于________． 4＋2Δx [Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1) ＝4Δx＋2(Δx)2，∴ΔΔyx＝2Δx＋4.]
(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x02＋5) ＝3x02＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2. 函数 f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 6x0Δx＋Δx3Δx2＝6x0＋3Δx.
【初试身手】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx 趋近于零时表示 Δx＝0．( )
(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．( )
(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．( )
(4)函数 y＝f (x)在某 x＝x0 的切线斜率可写成 k＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0．(
均变化率在 Δx→0 时的极限，即lim Δx→0
ΔΔyx＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 . Δx
3．曲线的切线斜率
(1)设 P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线 y＝f (x)上任意不同两点， 则平均变化率fxx－－fx0x0＝fx0＋ΔΔxx－fx0为割线 P0P 的_斜__率__．
【规律方法】 1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量 Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的改变量 Δy＝f (x2)－f (x1)； 第三步，求平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1. 2．求平均变化率的一个关注点 求点 x0 附近的平均变化率，可用fx0＋ΔΔxx－fx0的形式．