山东师范大学附属中学高三数学上学期第一次模拟考试试题理

山东师范大学附属中学高三数学上学期第一次模拟考试试题
理
数学（理科）试卷
命题人:
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共21题，共150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合}082|{2
≤--=x x x M ，集合}0lg |{≥=x x N ，则=N M
（A ）}42|{≤≤-x x （B ）}1|{≥x x （C ）}41|{≤≤x x （D ）}2|{-≥x x （2）下列函数中，在其定义域内既是偶函数，又在)0,(-∞上单调递增的函数是
（A ）2
)(x x f = （B ）|
|2)(x x f = （C ）||1
log )(2x x f = （D ）x x f sin )(=
（3）设R ∈ϕ，则“2
π
ϕ=
”是“)2cos()(ϕ+=x x f 为奇函数”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（4）由曲线x y =，直线x y =所围成的封闭图形的面积是
（A ）
61 （B ）21 （C ）32
（D ）1
（5）已知02<<-απ，51cos sin =+αα，则αα22sin cos 1
-的值为
（A ）57 （B ）257 （C ）725 （D ）25
24
（6）若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧-≥≤+≤,1,1,
y y x x y 且y x z +=2的最大值和最小值分别为m 和n ，则
=-n m
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （7）已知命题“R ∈∃x ，使02
1
)1(22
≤+
-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是 （A ）)1,(--∞ （B ）)3,1(- （C ）),3(+∞- （D ）)1,3(-
（8）将函数)62sin(π
-
=x y 的图象向左平移
4
π
个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为
（A ）3π=x （B ）6π=x （C ）12π=x （D ）12
π
-=x
（9）函数|
|22x e x y -=在]2,2[-的图象大致为
（A ） （B ） （C ） （D ）
（10）设函数)(x f '是函数)R )((∈x x f 的导函数，1)0(=f ，且3)()(3-'=x f x f ，则
)()(4x f x f '>的解集为
（A ）),34ln (+∞ （B ）),3
2ln (+∞ （C ）),23(+∞ （D ）),3(+∞e
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共5小题，每小题5分。

（11）已知31)12cos(
=-θπ
，则=+)12
5sin(θπ
. （12）已知0>a ，0>b ，2=+b a ，则b
a y 4
1+=的最小值为 .
（13）函数⎩⎨⎧>+-≤-=-,
1),1(log ,
1,22)(21x x x x f x 且3)(-=a f ，则=-)6(a f .
（14）已知函数b x f x
--=|22|)(有两个零点，则实数b 的取值范围是 .
（15）对于函数⎪⎩⎪
⎨⎧+∞∈-∈=),,2(),2(2
1],2,0[,sin )(x x f x x x f π，有下列5个结论：
①任取1x ，],0[2+∞∈x ，都有2|)()(|21≤-x f x f ； ②函数)(x f y =在]5,4[上单调递增；
③))(2(2)(*
N k k x kf x f ∈+=，对一切),0[+∞∈x 恒成立； ④函数)1ln()(--=x x f y 有3个零点；
⑤若关于x 的方程)0()(<=m m x f 有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则321=+x x . 则其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（16）（本小题满分12分） 已知函数R ,4
3
cos 3)3
sin(cos )(2∈+
-+⋅=x x x x x f π
. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期; （Ⅱ）求)(x f 在]4
,4[π
π-
上的最大值和最小值. （17）（本小题满分12分）
已知函数x b ax x f ln )(2
+=在1=x 处有极值2
1. （Ⅰ）求b a ,的值; （Ⅱ）求)(x f 的单调区间. （18）（本小题满分12分）
已知函数)2
||,0,0()sin()(π
ϕωϕω<>>+=A x A x f 满足下列条件：
①周期π=T ；②图象向左平移6
π
个单位长度后关于y 轴对称；③1)0(=f . （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）设)4,0(,π
βα∈，1310)3(-=-παf ，5
6
)6(=+πβf ，求)22cos(βα-的值.
（19）（本小题满分12分） 已知函数10)(2
3
+-=ax x x f .
（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程;
（Ⅱ）在区间]2,1[内至少存在一个实数x ，使得0)(<x f 成立，求实数a 的取值范围.
（20）（本小题满分13分）
设函数x x a x f ln )(-=)0(>a ．
（Ⅰ）若)(x f 在[),1+∞上单调递增，求实数a 的取值范围; （Ⅱ）求)(x f 在[],14上的最小值．
（21）（本小题满分14分） 已知函数2
1()ln (1)2
f x x ax a x =-
+-)0(<a ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上的不同两点．如果
在曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①12
02
x x x +=
；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”．试问：函数()f x 是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
山东师大附中2014级高三第一次模拟考试
数学（理科）参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A C B B C D B
二、填空题
（11）；（12）；（13）；（14）；（15）①④⑤.
三、解答题
16.【解析】（Ⅰ）由题意知
…………4分
的最小正周期。

…………6分
（Ⅱ），时，
，…………8分
时，即时，；…………10分
当时，即时，。

…………12分
17.【解析】（Ⅰ）
由题意；…………6分
（Ⅱ）函数定义域为…………8分
令，单增区间为；…10分令，单减区间为。

…12分18.【解析】（Ⅰ）的周期，…………1分
将的图象向左平移个单位长度后得…2分
由题意的图象关于轴对称，
即…………3分
又…………4分
…………5分
…………6分
（Ⅱ）由，
…………8分
…………10分
…12分19.【解析】（Ⅰ）当时，，
，又，切线方程为…………4分
（Ⅱ）
①当，即时，，在为增函数
故，与矛盾；…………6分②当时，
当时，只需，
这与矛盾；…………8分
③当时，，在单调递减，
，符合…………10分综上所述，的取值范围为…………12分
解法二由已知，…………6分
设…………8分
在上是减函数，…10分
故的取值范围为…………12分
20.【解析】（Ⅰ）由已知在上恒成立，则，…2分又，. …………4分
（Ⅱ），…………6分
当时，，单调递增，则；…………8分
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则；…………10分
当时，，单调递减，则；…12分
综上：…………13分
21.【解析】（Ⅰ）易知函数的定义域是，
．…………1分
①当时，即时, 令,解得或;
令,解得．……………2分
所以，函数在和上单调递增,在上单调递减
②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；………3分
③当时，即时, 令,解得或;
令,解得．……………4分
所以，函数在和上单调递增,在上单调递减
综上所述，
⑴当时,函数在和上单调递增,在上单调递减；
⑵当时,函数在上单调递增；
⑶当时,函数在和上单调递增,在上单调递减．……………5分
（Ⅱ）假设函数存在“中值相依切线”．
设,是曲线上的不同两点，且，
则
……………7分
曲线在点处的切线斜率
，……………8分
依题意得：．
化简可得：，即=．……10分
设（），上式化为：, 即．12分令,．
因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立．
所以在内不存在,使得成立．
综上所述，假设不成立．所以，函数不存在“中值相依切线”．……………14分。