北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)2010.01

海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （理科） 2010.1
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1． 函数1
(0)y x x x
=+>的值域为
A ．[)2,+∞
B ．(2,)+∞
C ．(0,)+∞
D ．(]
[),22,-∞-+∞
2．如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为
A
． B ．6 C
．
D ．3
3．已知双曲线2
2
13
y x -=，那么它的焦点到渐近线的距离为
A ．1
B
C ．3
D ．4
4．已知,m n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是
A ．//,//m βαβ
B ．,m βαβ⊥⊥
C ．,,m n n m αα⊥⊥⊄
D ．m 上有不同的两个点到α的距离相等
5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为
A ．16
B ．15
C ．13
D ．25
6．如图，向量-a b 等于
A ．1224--e e
B ．1242--e e
C ．123-e e
D ．123-+e e
7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 A ．72种 B ．54种 C ．36种 D ．18种
8．点P 在曲线C ：2
214
x y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：4x =
于B 点，满足PA PB =或PA AB =，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是 A ．曲线.C .上的所有点都是“H 点” B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”
D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点”
第II 卷（共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9．若直线l 的参数方程为1 23x t t y t =+⎧⎨=-⎩
，
（为参数）
，，则直线l 的斜率为_______________. 10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为1
， 则输入的实数x 值为________________.
11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何
体的表面积为__________________.
12．设关于x 的不等式2
*
2
()x x nx n -<∈N 的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为
n S ，则100S
的值为_______________________.
13．在区间[0,2]上任取两个数,a b ，那么函数22()f x x ax b =++无零点的概率为_________. 14．考虑以下数列{}n a ，*
n N ∈：
① 2
1n a n n =++；② 21n a n =+；③ ln
1
n n a n =+. 其中满足性质“对任意正整数n ，
212
n n
n a a a +++≤都成立”的数列有 （写出满足条件的所有序号）；若数列{}n a 满足上述性质，且11a =，2058a =，则10a 的最小值为 .
正视图侧视图
俯视图
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c C π
=，5b =，ABC ∆
的面积为（Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求sin()6A π
+的值.
16．（本小题满分13分）
某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：
（Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分； （Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得
分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.
17． （本小题满分13分）
已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱BC ，AD 的中点.
（Ⅰ）求证：DE ∥平面PFB ；
（Ⅱ）已知二面角P -BF -C
P -ABCD 的体积.
第一空得分情况
第二空得分情况
A
B
E
C
P D F
18.（本小题满分13分）
已知函数2()1x a
f x x +=+（其中a R ∈）.
（Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为1
2
y x b =+，求实数,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.
19．（本小题满分14分）
已知抛物线:W 2y ax =经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同直线12,l l . （Ⅰ）求抛物线W 的方程及准线方程； （Ⅱ）当直线1l 与抛物线W 相切时，求直线2l 与抛物线W 所围成封闭区域的面积； （Ⅲ）设直线12,l l 分别交抛物线W 于B ，C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆
与抛物线的准线相切，求直线BC 的方程.
20．（本小题满分14分）
给定项数为m *(,3)m N m ∈≥的数列{}n a ，其中{0,1}i a ∈(1,2,
,)i m =.
若存在一个正整数(21)k k m ≤≤-，若数列{}n a 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的k 项恰好按次序对应相等，则称数列{}n a 是“k 阶可重复数列”，
例如数列{}n a
0,1,1,0,1,1,0.
因为1234,,,a a a a 与4567,,,a a a a 按次序对应相等，所以数列{}n a 是“4阶可重复数列”. （Ⅰ）分别判断下列数列
①{}:0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0.n b ②{}:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.n c 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m 的数列{}n a 一定是 “3阶可重复数列”，则m 的最小值是多少？说明理由； （III ）假设数列{}n a 不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使
新数列是“5阶可重复数列”，且41a =，求数列{}n a 的最后一项m a 的值.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （理）
参考答案及评分标准 2010．1
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．3- 10．
34 11．2412π+ 12．10100 13．3
4
14．②③;28 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，3
C π
=
，5b =，
因为 1
s i n 2ABC S ab C ∆= ，
即 115s i n
23
a π
=⋅ ， ………………..1分 解得 8a = .
………………..3分
由余弦定理可得:2642580cos
493
c π
=+-=,
………………..5分
所以 7c =. ………………..7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有4925641
cos 707
A +-==,
………………..9分 由于A 是三角形的内角，
易知 sin A =
………………..10分
所以 s i n ()s i n
c o s
c o s s i n
6
6
6
A A A π
π
π
+
=+ ………………..11分
1172=+⨯1314
= . ………………..13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为x ，则由表中数据可得: 0198380206982302
3.011000
x ⨯+⨯+⨯+⨯=
= ，
……………….4分 据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.
……………….5分
（Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，……………….7分 记“第一空答对”为事件A ，“第二空答对”为事件B ，则“第一空答错”为事件A ， “第二空答错”为事件B .若要第一空得分不低于第二空得分，则A 发生或A 与B 同时发生，
……………….9分 故有： ()()0.80.20.70.94P A P A B +⋅=+⨯= .
……………….12分 答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94.
……………….13分
17． （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为E ，F 分别为正方形ABCD 的两边BC ，AD 的中点，
所以BE FD ∥,
所以，BEDF 为平行四边形,
……………….2分 得//ED FB ， ……………….3分 又因为FB ⊂平面PFB ，且ED ⊄平面PFB ,
……………….4分 所以DE ∥平面PFB .
……………….5分
（Ⅱ）如图，以D 为原点，射线DA ,DC ,DP 分
别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设PD =a , 可得如下点的坐标： P (0,0,a ),F (1,0,0),B (2,2,0)
则有：
(1,0,),(1,2,0),PF a FB =-=
……………….6分
因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的
一个法向量为(0,0,1)=m ， ……………….7分 设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则可得 0
=0PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩n n
即 0+2=0
x a z
x y -=⎧⎨⎩
令x =1,得11,2z y a ==-，所以11
(1,,)2a
=-n .
……………….9分
由已知，二面角P-BF-C
:
1
cos<,>
||||
⋅
===
m n
m n
m n
……………….10分
解得a =2. ……………….11分
因为PD是四棱锥P-ABCD的高，
所以，其体积为
18
24
33
P ABCD
V
-
=⨯⨯=. ……………….13分
18.（本小题满分13分）
解：由
2
()
1
x a
f x
x
+
=
+
，可得
2
2
2
()
(1)
x x a
f x
x
+-
'=
+
. ……………….2分
（Ⅰ）因为函数()
f x在点(1,(1))
f处的切线为
1
2
y x b
=+，得:
1
(1)
2
1
(1)
2
f
f b
⎧'
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
……………….4分解得
1
1
2
a
b
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
……………….5分
（Ⅱ）令()0
f x
'>，得220
x x a
+->…①……………….6分当440
a
∆=+≤，即1
a≤-时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数()
f x的单调递
增区间为(,1)
-∞-和(1,)
-+∞. ……………….8分
当440
a
∆=+>，即1
a>-
时，不等式①的解为1
x>-
1
x<-
……………….10分又因为1
x≠-，所以此时函数()
f x
的单调递增区间为(,1
-∞-
和(1)
-+∞，
单调递减区间为(11)
--
和(1,1
--.
.……………….12分所以，当1
a≤-时，函数()
f x的单调递增区间为(,1)
-∞-和(1,)
-+∞；
当1
a>-时，函数()
f x
的单调递增区间为(,1
-∞-
和(1)
-+∞，
单调递减区间为(11)
--
和(1,1
--. .……………….13分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由于A (2,1)在抛物线2y ax =上， 所以 14a =，即14
a =. ……………….2分
故所求抛物线的方程为2
14
y x =
，其准线方程为1y =-. ……………….3分
（Ⅱ）当直线1l 与抛物线相切时，由2
1x y ='=，可知直线1l 的斜率为1，其倾斜角为45︒，所以直
线2l 的倾斜角为135︒，故直线2l 的斜率为1-，所以2l 的方程为3y x =-+ …….4分 将其代入抛物线的方程2
14
y x =
，得 2412
0x x +-=, 解得 122,6x x ==-, …….5分 所以直线2l 与抛物线所围成封闭区域的面积为:
2
2
2226
6611
(3)d d (3)d 44x x x x x x x ----+-=-+-⎰
⎰
⎰
……………….6分
2
236
11(3)212x x x -=-+-643=
……………….8分
（Ⅲ）不妨设直线AB 的方程为1(2) (0)y k x k -=->，
……………….9分 由2
1(2)14y k x y x -=-⎧⎪
⎨=⎪⎩ 得24840x kx k -+-=, ……………….10分
易知该方程有一个根为2，所以另一个根为42k -， 所以点B 的坐标为2
(42,441)k k k --+, 同理可得C 点坐标为2(42,441)k k k --++,
……………….11分
所以||BC
=,
……………….12分
线段BC 的中点为2(2,41)k -+，因为以BC 为直径的圆与准线1y =-相切， 所以
241(1)
2
k +--=,由于0k >， 解得
k =. …………….13分 此时，点B
的坐标为2,3-，点C
的坐标为(2,3-+， 直线BC
1=-，
所以，BC 的方程为(3[2)]y x --=--，即10x y +-=. …….14分 20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）记数列①为{}n b ，因为23456,,,,b b b b b 与678910,,,,b b b b b 按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;
记数列②为{}n c ，因为12345,,,,c c c c c 、23456,,,,c c c c c 、34567,,,,c c c c c 、45678,,,,c c c c c 、 56789,,,,c c c c c 、678910,,,,c c c c c 没有完全相同的，所以
{}
n c 不是“5阶可重复数列”.
……………….3分
（Ⅱ）因为数列{}n a 的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有328=种不同的情形.若m ＝11，则数列{}n a 中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{}n a 一
定是“3阶可重复数列”；若m ＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则310m ≤<
时，
均存在不是“3阶可重复数列”的数列{}n a .所以，要使数列{}n a 一定
是“3阶可重复数列”，则m 的最小值是11. ……………….8分
（III ）由于数列{}n a 在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{}n a 的末项m a 后再添加一项01或，则存在i j ≠，
使得1234,,,,i i i i i a a a a a ++++与321,,,,0m m m m a a a a ---按次序对应相等，或1234,,,,j j j j j a a a a a ++++与321,,,,1m m m m a a a a ---按次序对应相等，
如果1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---不能按次序对应相等，那么必有2,4i j m ≤≤-，i j ≠，使得123,,,i i i i a a a a +++、123,,,j j j j a a a a +++与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等.
此时考虑11,i j a a --和4m a -，其中必有两个相同，这就导致数列{}n a 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{}n a 是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{}n a 不是“5阶可重复数列”矛盾！所以1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等，从而4 1.m a a ==
……………….14分
说明：其它正确解法按相应步骤给分.。