湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期入学检测数学试卷含答案

长沙市2024年下学期高二入学检测
数学（答案在最后）
2024.09
命题：高一数学备课组审定：高一数学备课组
时量：120分钟满分150
一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）
1.已知集合{}
22M x x =-<<，集合{1,0,1,2}N =-，则M N = （
）
A.{1,0,1}-
B.{0,1,2}C
.
{}
12x x -<≤ D.
{}
12x x -≤≤【答案】A 【解析】
【分析】利用交集的定义直接求解即可.
【详解】因为{}
22M x x =-<<，{1,0,1,2}N =-，所以{1,0,1}M N ⋂=-，故A 正确.故选：A
2.若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（）
A.1-
B.12
-
C.
13
D.i
【答案】B 【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】()()()()2
1i 3i 3i 3i i 331i a a a a a +-=-+-=++-，
所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12
a =-.故选：B.
3.已知函数()244
x x f x x
++=
，定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，则下列说法正确的是（）
A.函数的最大值是8
B.函数的最小值是8
C.函数的最大值是232
D.函数的最小值是
232
【答案】B 【解析】
【分析】利用基本不等式可求得()f x 的最小值判断BD ；由对勾函数的单调性可知()f x 无最大值判断AC.
【详解】函数()2444
4x x f x x x x
++==++，又1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，
所以44x x +
≥=，所以()448f x x x =++≥，
当且仅当4
x x
=
，即2x =时取等号，故()f x 的最小值为8，故B 正确，D 错误；由4
y x x =+，知x →+∞时，40x
→，所以()f x →+∞，
故()f x 无最大值，故AC 错误.故选：B.
4.在ABC V 中，点D 是AB 的中点，3CD CE = .设AB a =，AC b =
，则AE = （
）
A.1263AE a b =+
B.2136
AE a b
=+ C.1233AE a b =+
D.2133
AE a b
=+ 【答案】A 【解析】
【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意，点D 是AB 的中点，3CD CE =
，可得12
AD AB = ，13CE CD = ，
则()
11113332AE AC CE AC CD AC AD AC AC AB AC ⎛⎫
=+=+=+
-=+- ⎪⎝⎭
12126363
AB AC a =+=+
，故选：A
5.在平面直角坐标系中，角α与角β的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边构成一条直线，且
1
sin 3
α=
，则()cos αβ+=（）
A.
79
B.
13
C.13
-
D.79
-
【答案】D 【解析】
【分析】由终边角的特性得到2ππ,Z k k βα=++∈，再结合两角和的余弦展开式和余弦二倍角公式求解即可；
【详解】因为角α与角β始边与x 轴的正半轴重合，终边构成一条直线，所以2ππ,Z
k k βα=++∈所以()()()()
2
cos cos 2ππcos π2cos 212sin k αβααααα+=+++=+=-=--，
又1sin 3
α=
，所以()17cos 2199
αβ+=⨯-=-，故选：D.
6.已知,A B 是球O 的球面上的两点，AOB 90∠= ，点C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为9
2
，则球O 的表面积为（）
A.16π
B.36π
C.64π
D.144π
【答案】B 【解析】
【分析】由2
12
△AOB S R =
和O ABC C AOB V V --=得三棱锥O ABC -体积达到最大值时OC ⊥平面AOB ，进而由锥体体积最大值结合体积公式即可求出R ，从而由球的表面积公式得解.【详解】设球的半径为R ，则由题212
△AOB S R =
，因为O ABC C AOB V V --=，所以三棱锥O ABC -体积达到最大值时，OC ⊥平面AOB ，所以()233max 1119
273262
O ABC V R R R R -=
⨯⨯==⇒=，故3R =，所以球O 的表面积为24π36πR =.故选：B.
7.已知函数()()π2sin 30,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝
⎭，函数()f x 图象与1y =相邻两个交点的距离为π，
若任意()ππ,,3123x f x ⎛⎫
∀∈-
> ⎪⎝⎭
恒成立，则ϕ的取值范围是（）
A.ππ,63⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ B.ππ,123⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C.ππ,63⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
D.ππ,122⎡
⎤
-⎢⎥⎣⎦
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意可得周期为π，根据周期公式可得2ω=.将不等式恒成立的范围化为()sin 20x ϕ+>的解集的子集，即可构造不等式求得结果.
【详解】()min 1f x = ，由题意可得相邻最低点距离1个周期，即πT =，2ω∴=，由()3f x >得：()sin 20x ϕ+>，2π2π2π,k x k k ϕ∴<+<+∈Z ，即π,π,222x k k k ϕϕπ⎛⎫
∈-
+-++∈ ⎪⎝⎭
Z ，
所以,π,ππππ,123222k k k ϕϕ⎛⎫⎛⎫
-
⊆-+-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Z ，
ππ,1230⎛⎫
- ⎪⎝∈⎭
，0k ∴=，
即,2π22x ϕϕ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，π
122
ππ223
ϕϕ⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪-+≥
⎪⎩，解得：ππ63ϕ≤≤.故选：C.
8.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有()()()63f x f x f +=+成立，且()42f -=-，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，都有1212
()()
0f x f x x x ->-．则给出下列命题：
①
()20082=-f ；②函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-；
③函数()y f x =在[]9,6--上为严格减函数；④方程()0f x =在[]
9,9-上有4个根；其中正确的命题个数为（）A.1 B.2
C.3
D.4
【答案】D
【解析】
【分析】对于①，令3x =-代入已知等式可求出()30f -=，再结合其为偶函数可得3=0，从而可求出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由()f x 为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，
由当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，可得=在[]0,3上为严格增函数，再结合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由3=0，()f x 的周期为6，及函数的单调性分析判断.【详解】①：对于任意R x ∈，都有()()()63f x f x f +=+成立，令3x =-，则()()()3633f f f -+=-+，解得()30f -=，又因为()f x 是R 上的偶函数，所以3=0，所以()()6f x f x +=，所以函数()f x 的周期为6，所以()()()200844f f f ==-，
又由()42f -=-，故()20082f =-；故①正确；②：由（1）知()f x 的周期为6，
又因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()6f x f x +=-，
而()f x 的周期为6，所以()()66f x f x +=-+，()()6f x f x -=--，所以：()()66f x f x --=-+，
所以直线6x =-是函数=的图象的一条对称轴．故②正确；
③：当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-．所以函数=在[]0,3上为严格增函数，
因为()f x 是R 上的偶函数，所以函数=在[]3,0-上为严格减函数，而()f x 的周期为6，所以函数=在[]
9,6--上为严格减函数．故③正确；④：3=0，()f x 的周期为6，所以()()()()93390f f f f -=-===，
又()f x 在[]3,3-先严格递减后严格递增，所以()f x 在[]3,3-上除端点外不存在其他零点，
所以()f x 在[9,3)--和(3,9]上各有一个零点，所以函数=在[]
9,9-上有四个零点．故④正确；故选：D ．
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法求出3=0，从而可得()()6f x f x +=，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析问题的能力，属于较难题.
二､多选题（本题共3个小题，每小题6分.共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分.选错得0分，部分选对得3分）
9.某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（
）
A.这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人
B.估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时
C.估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时
D.估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时【答案】BCD 【解析】
【分析】对于A ：直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断；对于B ：根据众数的定义进行判断；
对于C ：直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断；
对于D ：直接利用频率分布直方图的数据，按照平均数的定义进行计算，即可判断.
【详解】对于A ：从频率分布直方图，可以得到0.1021000=200⨯⨯，即这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有200人，故A 错误；
对于B ：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此
可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B 正确；
对于C ：由频率分布直方图可以得到，设抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为k 小时，则有：()0.0520.120.2580.6k ⨯+⨯+⨯-=，解得：k =9.2，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时，故C 正确；
对于D ：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为
0.05250.10270.25290.102118.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故D 正确；故选：BCD
10.在ABC V 中，设角,,A B C 所对的边分别为s s ，则下列命题一定成立的是（）
A.若222a b c +>，则ABC V 是锐角三角形
B.若2a =，
b =
，π
4
B =
，则ABC V 有唯一解
C.若ABC V 是锐角三角形，3b =，π3
B =，设AB
C V 的面积为S ，则S ∈D.若ABC V 是锐角三角形，则sin sin cos cos A B A B +>+【答案】BC
D 【解析】
【分析】由余弦定理可判断A ；由正弦定理可判断B ；
利用边化角结合面积公式可得πsin 2264S A ⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭，求π26A -的范围，结合正弦函数的性质可得S 的范围，即可判断C ；
由锐角三角形可得ππ
022
A B >>->及ππ022B A >>->，利用sin y x =在π(0,)2上的单调性结合诱导
公式可判断D .
【详解】222a b c +> ，
2220a b c ∴+->，
222
cos 02a b c C ab
+-∴=>，
∴C 为锐角，但不能确定角,A B 是否为锐角，
故ABC V 不一定是锐角三角形，故A 错误；
由正弦定理得
2
2sin 2sin 1a B
A b
⨯
=
==，(0,π)A ∈ ，ππ,24
A C ∴=
=，∴ABC V 有唯一解，故B
正确；3πsin sin 3
b B ==
，a A ∴=
，2π
sin(
)3
c C A ==-
，112ππsin sin()sin
2233
S ac B A A ∴==⨯⋅-
⋅2π2π
(sin cos cos sin )
33
A A A =
-1
(
cos sin )22
A A A =
+2
9sin cos sin 22A A A =+93333sin 2cos 2444A A =-+33π33
sin(2)264
A =
-+
，又π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62
A <<，
π
2π3A ∴<<，ππ5π2666A ∴<-<，1π
sin(2126A ∴<-≤
，πsin(24262
A ∴
<-≤
，
24
S ∴
<≤
，即(,24S ∈，故C 正确；ABC V 是锐角三角形，π2
A B ∴+>
，又π,(0,)2
A B ∈，
ππ
022
A B ∴
>>->，ππ022B A >>->，
又sin y x =在π
(0,2上单调递增，
πsin sin()cos 2A B B ∴>-=，π
sin sin()cos 2B A A >-=，
sin sin cos cos A B A B ∴+>+，故D 正确；
故选：BCD .
11.如图，在棱长为5的正方体ABCD A B C D -''''中，M 是侧面ADD A ''上的一个动点，点P 为线段CC '上，且2PC '=，则以下命题正确的是（
）
A.沿正方体的表面从点A 到点P 的最短距离是
B.保持PM 与BD '垂直时，点M 的轨迹长度为
C.若保持PM =
M 的轨迹长度为4
π
3
D.平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得截面为等腰梯形【答案】BD 【解析】
【分析】根据平面展开即可判断A ；过P 做平面//PEF 平面ACB '，即可判断B ；根据点M 的轨迹是圆弧，即可判断C ；作出正方体ABCD A B C D -''''被平面AD P '所截的截面即可判断D ．【详解】对于A ，将正方体的下底面和侧面展开可得如图图形，
连接AP ，则25648910AP =+=<，故A 错误；
对于B ，如图：
DD ' 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DD AC '⊥，又AC BD ⊥，
DD BD D '= ，DD '，BD ⊂平面DD B '，
AC ∴⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B ',AC BD '∴⊥，
同理可得BD AB ''⊥，AC AB A ⋂'=，AC ，AB '⊂平面ACB '．
BD '∴⊥平面ACB '．
所以过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，由//AB C D ''，可得//PG AB '，PG ⊄平面ACB '，AB '⊂平面ACB '，//PG ∴平面ACB '，同理可得//GF
平面ACB '，
,,PG GF G PG GF ⋂=⊂平面PGF ，
则平面//PGF 平面ACB '．
设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，由点P 在棱CC '上，且2PC '=，可得2DG DF AE ===，
连接A D '，则1AE AA AF AD '
==，所以//EF A D '，又//A D B C ''，所以//EF B C '，所以33
23255
EF A D ==⨯='，故B 正确；
对于C ，如图：
若26PM =
M 在以P 为球心，26过点P 作PQ ⊥平面ADD A ''，则2D Q '=，此时22||26251QM PM PQ =-=-=．
所以点M 在以Q 为圆心，1为半径的圆弧上，此时圆心角为π．点M 的运动轨迹长度π×1=π，故C 错误；对于D ，如图：
延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，所以平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '．~PCH D DH ' ，
3
5PH PC HC D H DD DH ''===，~ICH ADH ，
3
5
CI HC IH DA DH AH
===，所以
3
5
PH IH PI D H
AH
AD =
=
=
''
，//PI AD '∴，且||||PI AD '≠，所以截面AIPD '为梯形，
25429AI PD =+'==，截面AIPD '为等腰梯形，故D 正确．
故选：BD ．
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12.设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).【答案】充分不必要【解析】【分析】
面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定理得
l βαβ⊥⇒⊥.若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l 在
平面β内.由αβ⊥，直线l α⊂得不到l β⊥，故可得出结论..
【详解】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.因为直线l α⊂且l β⊥所以由判断定理得αβ⊥.
所以直线l α⊂，且l βαβ
⊥⇒⊥若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内.所以“l β⊥”是“αβ⊥”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.
【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，涉及到线面、面面关系，属于基础题.13.已知函数()()
2
ln f x x ax a =--对任意两个不相等的实数121,,2x x ∞⎛⎫
∈--
⎪⎝
⎭
，都有()()1212
0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________.
【答案】11,2⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
【解析】
【分析】由题意可知()f x 在1,2⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
上单调递减，令()2
g x x ax a =--，则由复合函数单调性可知二次函数()g x 在1,2⎛⎫
-∞-
⎪⎝
⎭
上单调递减，由此列不等式组即可求解.
【详解】由题意可知，()f x 在1,2⎛⎫
-∞-
⎪⎝
⎭
上单调递减，令()2
g x x ax a =--，则()g x 在1,2⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭上单调递减，且()0g x >在1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
上恒成立，
所以()2
121
2110
22a a a ⎧--≥-⎪
⨯⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪--⨯--≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩，解得112a -≤≤，故答案为：11,2
⎡⎤-⎢⎥
⎣
⎦
14.已知,x y R +
∈，x y t +=，记11x y m x y =
+++，221111
n x y =+++，有下面四个结论：①若1t =，则m 的最大值为4
3；②若1t =，则n 的最小值为8
5
；
③若2t =，则m 的最大值为1；
④若2t =，则n 的最大值为21
2
+．则错误．．结论的序号是______．【答案】①②【解析】
【分析】把m 变形成112(
)11
m x y =-+++，利用常数t 值并借助“1”的妙用求解，再按t 的不同取值计算即可判断；用常数t 表示出xy 的取值范围，然后将n 变形成用xy 表示，再借助函数、均值不等式求解计算并判断作答.
【详解】依题意，(1)(1)2x y t +++=+，则1111(1)(1)2()1111
m x y x y =-
+-=-+++++11111142[()2(2)(1221)(1)212
]11y x t x y t x y t x y ++=-
+=-++≤-++++++++++，当且仅当2t
x y ==时
取“=”，
对于①，1t =时，12x y ==
有max 2
3
m =，①不正确；
对于③，2t =时，1x y ==有max 1m =，③正确；
令22()24x y t p xy +=≤=，
当且仅当2t x y ==时取“=”，即2
04
t p <≤，2222()22x y x y xy t p +=+-=-，则222222
22222222222(1)(1)121
x y x y t p
n x y x y x y p p t +++++-===+++++-++对于②，1t =时，104
p <≤，2
232()
322333322[()]2[()]22222
p p n p p p p --==-+-----+2
32()
22335351()()()1322424()
2
p p p p p -==---+-+⋅--，而533
422p ≤-<，由对勾函数知351
()324()2
p p -+⋅-对353[,)242p -∈是递增的，2
351
()1324()2
p p -+⋅--对353[,)242p -∈是递减的，则1
4p =
时，max 85
n =，无最小值，即②不正确；对于④，2t =时，01p <≤，22622(3)
25[3(3)]2[3(3)]5
p p n p p p p --=
=
-+-----+22(3)2
8(3)4(3)8(3)4(3)
p p p p p -=
=
---+-+--，而233p ≤-<
，
8(3)(3)p p -+
≥-，当且仅当8
(3)(3)
p p -=-
，3p -=
，即3=-p 时取“=”，
则有3=-p
时，max 1
2
n ==
，即④正确，所以错误结论的序号是①②.故答案为：①②
四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）
15.平面内给定两个向量()()3,2,1,2a b ==-
.
（1）求cos ,a b
；
（2）求2a b -
.
【答案】（1
）
65
（2
【解析】
【分析】（1）先求出a b ⋅ 、a 和 b ，接着由向量夹角余弦公式cos ,a b a b a b
⋅= 即可得解.（2）由坐标形式的向量模长公式即可计算得解.【小问1详解】
由题()31221a b ⋅=⨯-+⨯=
，
a b ===
所以cos ,65a b a b a b
⋅===
.【小问2详解】
由题得()27,2a b -=
，
所以(
)27,2a b -=== .
16.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b
，c ，已知sin cos sin cos C A B A C =
-，
a c +=3
b =．
（1）求角B 的大小；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）
π
3
（2）
334
【解析】
【分析】（
1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到sin B B =，即可得解；
（2）利用余弦定理得到229a c ac =
+-，再将a c +=ac ，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】
因为sin cos sin cos C A B A C =-，
所以cos sin sin cos A C A C B +=，
即()sin A C B +=，即sin B B =，
显然cos 0B ≠，所以tan B =，又()0,πB ∈，所以π3
B =
；【小问2详解】
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即229a c ac =+-，
又a c +=22182a c ac =++，解得3ac =，
所以11sin 32224
ABC S ac B =
=⨯⨯=
△.17.如图所示，在长方形ABCD 中，2,1AB AD ==，E 为CD 的中点，以AE 为折痕，把DAE 折起到
D A
E ' 的位置，且平面D AE '⊥平面ABCE .
（1）求证：AD BE '⊥；
（2）求四棱锥D ABCE '-的体积；
（3）在棱ED '上是否存在一点P ，使得D B '//平面PAC ，若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析.
（2）
4
.（3）存在，1
3
EP ED '=.【解析】
【分析】（1）在长方形ABCD 中可知，BE AE ⊥，根据面面垂直的性质定理可以证明AD BE '⊥.（2）取AE 的中点F ，连接D F '，则D F AE '⊥，由面面垂直的性质定理可以证明D F '⊥平面ABCE ，进而求出D ABCE V '-.
（3）连接AC 交BE 于点Q ，假设在D E '上存在点P ，使得D B '//平面PAC ，根据平行线的性质结合平面几何知识即可得到EP 与ED '之间的关系.【小问1详解】
根据题意可知，在长方形ABCD 中，DAE 和CBE △为等腰直角三角形，∴45DEA CEB ∠=∠= ，∴90AEB ∠= ，即BE AE ⊥.∵平面D AE '⊥平面ABCE ，
且平面D AE ' 平面ABCE AE =，BE ⊂平面ABCE ，∴BE ⊥平面D AE '，
∵AD '⊂平面D AE '，∴AD BE '⊥.【小问2详解】
如图所示，取AE 的中点F ，连接D F '，则D F AE '⊥，且2
D F '=
.
∵平面D AE '⊥平面ABCE ，且平面D AE ' 平面ABCE AE =，D F '⊂平面D AE '，∴D F '⊥平面ABCE ，∴()11122
12133224
D ABC
E ABCE V S D
F -'=
⋅=⨯⨯+⨯⨯=
'.【小问3详解】
连接AC 交BE 于点Q ，假设在D E '上存在点P ，使得D B '//平面PAC ，连接PQ .
∵D B '⊂平面D BE '，平面DBE
' 平面PAC PQ =，∴D B '//PQ ，∴在EBD ' 中，
EP EQ
PD QB
='.∵CEQ ABQ ∽△△，∴
1
2
EQ EC QB AB ==，
∴
1
2
EP EQ
PD QB
==
'，即
1
3
EP ED'
=，
∴在棱ED'上存在一点P，且
1
3
EP ED'
=，
使得DB'//平面PAC.
【点睛】关键点点睛：本题第三小问关键是确定动点P的位置，使得D B'//PQ，利用三角形相似得出EP 与ED'之间的关系.
18.象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋､国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲､乙､丙､丁4名同学所在小组的赛程如表：
第一轮甲-乙丙-丁
第二轮甲-丙乙-丁
第三轮甲-丁乙-丙
规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的
胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为1
2，假设甲､乙､丙3名同学水平相当，彼此间胜､负､平
的概率均为1
3，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜､负､平的概率都分别为
124
,,
777.每场比赛结
果相互独立.
（1）求丁同学的总分为5分的概率；
（2）已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙､丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.
【答案】（1）48 343
（2）7 27
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解；
（2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解.【小问1详解】
丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第()1,2,3k k =轮比赛丁同学胜、平的事件分别为k A ，k B ，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M ，
则()()()()2
1231231234148377343
P M P A B B P B A B P B B A ⎛⎫=++=⨯⨯=
⎪⎝⎭，即丁同学的总分为5分的概率为48
343
.【小问2详解】
由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名.
①若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率1111339
P =
⨯=.②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，
此时的概率211112333327
P ⎛⎫=⨯⨯+= ⎪⎝⎭.
③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率1111
33327
⨯⨯
=；
第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率4111111333227
P ⎛⎫=
⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭.综上，甲同学能获得奖励的概率123412117927272727
P P P P P =+++=+++=.19.对于集合{}12,,,n θθθΩ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义：()()()
22210200cos cos cos n n
θθθθθθμ-+-+⋅⋅⋅+-=为集合Ω相对0θ的“余弦方差”.（1）若集合,34ππ⎧⎫
Ω=⎨
⎬⎩⎭
，00θ=，求集合Ω相对0θ的“余弦方差”；（2）若集合2,,33πππ⎧⎫Ω=⎨
⎬⎩⎭
，证明集合Ω相对于任何常数0θ的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
（3）若集合,,4παβ⎧⎫
Ω=⎨
⎬⎩⎭
，[0,)απ∈，[,2)βππ∈，相对于任何常数0θ的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值.
【答案】（1）
38
（2）证明见解析，这个常数为
12
；（3）11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】（1）根据集合Ω相对0θ的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据集合Ω相对于常数0θ的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解；（3）根据集合Ω相对于常数0θ的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解.【小问1详解】
解：当集合,34ππ⎧⎫Ω=⎨⎬⎩⎭，00θ=时，集合Ω相对0θ的“余弦方差”22cos (0)cos (0)
33428
ππ
μ-+-==；【小问2详解】证明：当集合2,,33πππ⎧⎫
Ω=⎨
⎬⎩⎭
时，集合Ω相对于常数0θ的“余弦方差”2220002cos (
)cos ()cos ()333ππθθπθμ-+-+-
=
2220000011(cos )(cos sin )cos 2
2223
θθθθθ++-++=222000
13
cos sin cos 12232
θθθ++==
，∴此时“余弦方差”是一个常数，且常数为
1
2
；【小问3详解】
解：当集合,,4παβ⎧⎫Ω=⎨⎬⎩⎭
，[)0,απ∈，[),2βππ∈时，集合Ω相对于任何常数0θ的“余弦方差”222000cos ()cos ()cos ()43
πθαθβθμ-+-+-=2222220000111[(cos cos )cos (1sin 2sin 2)sin cos (sin sin )sin ]322αβθαβθθαβθ=⋅++++++++，要使上式对任何常数0θ是一个常数，则1sin 2sin 20αβ++=且222211cos cos sin sin 22
αβαβ++=++，所以cos 2cos 20sin 2sin 21
αβαβ+=⎧⎨+=-⎩，故()221cos 21sin 2αα=+--，整理得到1sin 22α=-
，而[
)20,2απ∈，故726πα=或1126πα=，所以7π12α=或1112πα=，当7π12α=
时，有cos 221
sin 22ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，而[)22,4βππ∈，故2326πβ=即2312πβ=，当1112πα=
时，有cos 221
sin 22ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，而[)22,4βππ∈，故1926πβ=即1912πβ=，故11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．。