小波变换

s
R
f ( t ) (
xt s
)dt
小波变换
3）两定义的等价关系 若令a=s,b=x,内积型定义中的母小波为 ' ( t ) ，卷积型定义 中的母小波为 ' ' ( t ) ，并满足共轭镜像关系
' ' ( t ) '*( t )
则有
W s f ( x ) f (t ) * ' ' (t )
1
s
1
f ( t ) ' ' (
xt
) dt
R

a

f ( t ) '*(
1 2
s tb
) dt
R
a
sgn( a )Wf ( a , b )
a
小波变换
由上式可以看出两种定义只相差一比例因子，其实质是完 全等价的。 重构公式：
f (t ) 2 C
f
[ W
0
f (t ) L ( R )
2
， (t ) 为母小波， a , b ( t ) 为分析小波，则f(t)与 a , b ( t )
的内积称为f(t)的小波变换，记为
Wf ( a , b )

f ( t ), a , b ( t )
1 a

R
f ( t ) * (
tb a
)dt
小波变换
^
(0)
连续时间小波的频谱为：


( t ) dt 0

^
a ,b
(w)
ae
jbw
( aw )
^
小波变换
时频分辨率 1）时频域中心点
假设 (t ) 的时域中心点为 t 0 频域中心点为 w o ，则 a , b ( t ) 的时域中 w 心点为 at 0 b ，频域中心点为 a 。
0
2）时频窗半径
ˆ 假设 (t ) 时窗半径为 ，频窗半径为 ，则 a , b ( t ) 的时窗半径为
a ,b a ，频窗半径为 ˆ a , b
1 a ˆ
。
小波变换
3）时频窗口面积
由上式可知道小波 ( t ) 时频窗口面积不随a,b的变化而变 化并且频域中心与频窗半径的比值也恒定不变。即
a ,b
w a ,b
a ,b

w0
上式也称为“恒Q特性”，即品质因数恒定。随着尺度 参数 a 的减小，频域中心向高频移动，频窗窗口变大， 在高频区有较高的时间 (t ) 而时窗窗口变小。也就说 分辨率，而只有较低的频域分辨率。——小波的变焦距 特性。
a ,b
小波变换
连续小波变换定义：1）内积型；2）卷积型 1）内积型定义 设
小波变换
定义：令
(t ) L ( R )
2
且 ( t ) 0 ，刚按如下方式生成的函数族
^
{ a ,b ( t )} 称之为连续时间小波，或称分析小波：
a ,b ( t )
式中，
1 a
(
t b a
)
(t )
称为母小波函数或基本小波。
小波变换
在上述定义中，a称为尺度参数或伸缩参数，b称为平移参数。而 连续时间小波 { a , b ( t )} 是 (t ) 经过不同尺度伸缩、平移变换的结 果 条件：
2）卷积型定义 设 f (t ) L 为
2
(R)
， (t )为母小波，记 (t ) 以尺度s的扩张函数
1 s t
s (t )
( )
s
则f(t)与 s (t ) 的卷积也可以定义为f(t)的连续小波变换， 并记为
W s f ( x ) f (t ) * s (t ) 1
( a , b ) a , b ( t ) db ]
da a
2
其中
C

R
ˆ (w) w
2
dw
小波变换
连续小波变换的性质： 1）线性 若
k1
f 1 (t )
和
f 2 ( t ) 的连续小波变换分别为 W
f1
(a, b)
和 W f 2 (a, b)
，k 2 为常数，则 k 1 f 1 ( t ) k 2 f 2 ( t ) 的连续小波变换为
W f ( a , b ) k 1W
f1
( a , b ) k 2W
f 2
(a, b)
小波变换
2）时不变性 若 f (t )的连续小波变换为W f ( a , b ) ，则 波变换为
y (t ) f (t t 0 )
的连续小
W y (a, b) W f (a, b to )
3）伸缩共变性 若 f (t ) 的连续小波变换为 W f ( a , b ) ，则 连续小波变换为
W y (a, b) mW f ( a , b
y (t ) f (t / m )
的
); m 0
m m
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