2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何章末总结(含答案解析)

章末总结
双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
P42A组T7
一、选择题
1．(必修2 P110B组T5改编)已知A(1，2)，B(3，4)，点P在x轴的负半轴上，O为坐标原点，若△P AB的面积为10，则|OP|＝()
A．9B．10
C．11 D．12
解析：选C．设P(m，0)(m<0)，P到直线AB的距离为d，
因为|AB |＝（3－1）2＋（4－2）2＝22， 由S △P AB ＝10得
1
2
×22×d ＝10．所以d ＝52． 又直线AB 的方程为x －y ＋1＝0， 所以|m ＋1|2
＝52．
解得m ＝－11或m ＝9(舍去)， 所以|OP |＝|m |＝11．选C ． 2．
(必修2 P 133A 组T 8改编)Rt △ABC 中，|BC |＝4，以BC 边的中点O 为圆心，半径为1 的圆分别交BC 于P ，Q ，则|AP |2＋|AQ |2＝( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
解析：选D ．法一：特殊法．当A 在BC 的中垂线上时， 由|BC |＝4，得|OA |＝2．
所以|AP |2＋|AQ |2＝2|AP |2＝2(12＋22)＝10．选D ．
法二：以O 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则B (－2，0)，C (2，0)，P (－1，0)，Q (1，0) 设A (x 0，y 0)，由AB ⊥AC 得 y 0x 0＋2·y 0
x 0－2
＝－1． 即x 20＋y 2
0＝4．
所以|AP |2＋|AQ |2＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20 ＝2(x 20＋y 20)＋2
＝2×4＋2＝10．
即|AP |2＋|AQ |2＝10．故选D ． 3．(选修1-1 P 35例3改编)
如图，AB 是椭圆C 长轴上的两个顶点，M 是C 上一点，∠MBA ＝45°，tan ∠MAB ＝1
3，则椭圆的离心率为
( )
A ．2
2 B ．32 C ．
33
D ．
63
解析：选D ．以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C 的方程为x 2
a 2
＋y 2
b
2＝1(a >b >0)． 则直线MA ，MB 的方程分别为y ＝1
3
(x ＋a )，y ＝－x ＋a ．
联立解得M 的坐标为⎝⎛⎫a 2，a 2，所以⎝⎛⎭
⎫a 22
a 2＋⎝⎛⎭
⎫a 22
b 2＝1，化简得a 2＝3b 2＝3(a 2－
c 2)，所以c 2a 2＝23，所以c a ＝63．故选
D ．
4．(选修1-1 P 61例4改编)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |＝( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12
解析：选B ．设A ，B 在准线上的射影分别为D ，E ，且设AB ＝BC ＝m ，直线l 的倾斜角为α． 则BE ＝m |cos α|，
所以AD ＝AF ＝AB －BF ＝AB －BE ＝m (1－|cos α|)， 所以|cos α|＝AD AC
＝
m （1－|cos α|）2m ．解得|cos α|＝1
3
．
由抛物线焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝8
1－1
9＝9．故选B ．
或：由|cos α|＝1
3
得tan α＝±22．
所以直线l 的方程为y ＝±22(x －2)，代入y 2＝8x 得 8(x 2－4x ＋4)＝8x ，即x 2－5x ＋4＝0．
所以x A ＋x B ＝5，则|AB |＝x A ＋x B ＋4＝9．故选B ． 二、填空题
5．(选修1-1 P 54B 组T 1改编)与椭圆x 249＋y 224
＝1有公共焦点，一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0的双曲线方程为
__________________．
解析：由于椭圆x 249＋y 2
24＝1的焦点为(±5，0)，
所以可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)， 所以a 2＋b 2＝25．① 由渐近线方程4x ＋3y ＝0得 b a ＝4
3
，② 联立①②解得a ＝3，b ＝4，故双曲线方程为x 29－y 2
16＝1．
答案：x 29－y 2
16
＝1
6．(选修1-1 P 68A 组T 5改编)已知α∈(0，π)，若曲线C ：x 2＋y 2 cos α＝1的离心率为2
2
，则α＝________． 解析：由题意知，曲线C 为椭圆， 所以cos α∈(0，1)，且C 的焦点在y 轴上． 所以a 2＝1cos α，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1
cos α－1．
由e ＝22得c 2a 2＝12，即1
cos α－11cos α＝1
2
．
所以cos α＝12，所以α＝π
3．
答案：π
3
三、解答题
7．(选修1-1 P 36练习T 3改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2
2，过
F 1的直线交椭圆于E ，F 两点，且△EFF 2的周长为8．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)A ，B 是椭圆的左，右顶点，若直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点Q 是椭圆上异于A ，B 的一个动点，直线AQ 交l 于点M ，过点M 垂直于QB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．
解：(1)由椭圆的定义知|EF 1|＋|EF 2|＝2a ，|FF 1|＋|FF 2|＝2a ，又已知△EFF 2的周长为8，所以4a ＝8，故a ＝2． 又e ＝c a ＝2
2
，故c ＝2，
所以b 2
＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1．
(2)由题意A (－2，0)，B (2，0)，直线l ：x ＝2，显然直线AQ 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线AQ 的方程为y ＝k (x ＋2)．
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2
2＝1，y ＝k （x ＋2），
可得点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1．
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），
x ＝2，可得点M (2，4k )．
又B (2，0)，则k BQ ＝4k
2k 2＋12－4k
2
2k 2＋1－2＝－1
2k ，所以k m ＝2k ， 故直线m 的方程为y －4k ＝2k (x －2)，即y ＝2kx ， 所以直线m 过定点(0，0)．
8．(选修1-1 P 64A 组T 2(1)、P 41练习T 3(1)改编)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，过点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e ＝
3
2
． (1)分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；
(2)经过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，切线l 1与l 2相交于点M ．证明：AB ⊥MF ． 解：(1)由已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，可得抛物线C 的方程为x 2＝4y ．
设椭圆E 的方程为x 2
a 2
＋y
2b 2
＝1(a >b >0)，半焦距为c ．由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝32，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程
为x 24
＋y 2
＝1． (2)证明：显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不符合题意． 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，
x 2＝4y ，消去y 并整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1x 2＝－4．
因为抛物线C 的方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1
2
x ，
所以过抛物线C 上A ，B 两点的切线方程分别是y －y 1＝12x 1(x －x 1)，y －y 2＝1
2x 2(x －x 2)，
即y ＝12x 1x －14x 21，y ＝12x 2x －1
4x 22
，
解得两条切线l 1，l 2的交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 22，x 1x 24，
即M ⎝⎛
⎭
⎫x 1＋x 2
2，－1， 所以FM →·AB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－2·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 21)－2⎝⎛⎭⎫14x 22－14x 21＝0． 所以AB ⊥MF ．。