人教A版高中数学必修三试卷第三章测试.doc

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
第三章测试
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的) 1．下列试验能够构成事件的是()
A．掷一次硬币
B．射击一次
C．标准大气压下，水烧至100℃
D．摸彩票中头奖
解析事件包含确定事件与随机事件，在一定条件下随机试验及其结果称为基本事件，分析四个选项知D正确．
答案 D
2．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是()
A．1 B．2
C ．3
D ．4
解析 ①正确；②不正确，当A 与B 是互斥事件时，才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，对于任意两个事件A ，B 满足P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )；③也不正确．P (A )＋P (B )＋P (C )不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P (A )＋P (B )＝12＋1
2＝1.
答案 A
3．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是( )
A.1999
B.11000
C.9991000
D.12
解析 投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为1
2，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面向上的概率为1
2，抛掷第999次正面向上的概率还是1
2.
答案 D
4．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为( )
A.13
B.110
C.25
D.310
解析 设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P ＝310.
答案 D
5．设某厂产品的次品率为3%，估计该厂8000件产品中次品的件数为( )
A ．3
B ．160
C ．240
D ．7480
解析 次品数为8000×3%＝240. 答案 C
6．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析 由几何概型概率公式知，图中中奖的概率依次是P (A )＝3
8，P (B )＝28，P (C )＝26＝13，P (D )＝1
3，因此，要想增加中奖机会，应选择A 盘．
答案 A
7．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D ．1
解析 由于x 1，x 2，x 3是任意的，它们的排列次序有：x 1x 2x 3，x 2x 1x 3，x 2x 3x 1，x 3x 2x 1，x 1x 3x 2，x 3x 1x 2，共6种情况．其中x 2在x 1与x 3之间有两种情况，故所求概率为26＝13.
答案 B
8．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到苦脸就不得奖．参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干资金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是( )
A.14
B.16
C.15
D.320
解析 由题意知，第三次翻牌时，还有18个商标牌，其中有奖牌还有3个，故所求概率为P ＝318＝1
6.
答案 B
9．某人从甲地去乙地共走了500m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为4
5，则河宽为
( )
A ．100m
B ．80m C. 50m
D ．40m
解析 设河宽x m ，则1－x 500＝4
5，∴x ＝100. 答案 A
10．如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为( )
A.23
5 B.2350 C. 10
D ．不能估计
解析 利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为138300×(5×2)＝235.
答案 A
11．在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )
A.56
B.45
C.23
D.12
解析 在10～99中有99－10＋1＝90个整数，其中能被2整除的有45个，能被3整除的有30个，能被6整除的有15个，因此，
所求的概率为P＝45＋30－15
90＝
2
3.
答案 C
12．(2010·沈阳高一检测)在5件产品中，有3件一等品和2件二
等品，从中任取2件，以7
10为概率的事件是()
A．恰有1件一等品
B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品
D．都不是一等品
解析将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，
(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝6
10，恰有2
件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为
P2＝3
10，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1
－3
10＝7
10.
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．一种投掷骰子的游戏规则是：交一元钱可掷一次骰子，若骰子朝上的点数是1，则中奖2元；若点数是2或3，则中奖1元，若点数是4,5或6，则无奖，某人投掷一次，那么中奖的概率是______．解析由题意知，投掷一次骰子若点数为1,2,3则获奖，若出现
点数4,5,6无奖，所以中奖的概率为1
2.
答案 12
14．设集合A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1,2}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上一个点P (a ，b )，设“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (0≤n ≤4，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的可能值为________．
解析 基本事件为点(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，总数为9.
当n ＝0时，落在直线x ＋y ＝0上的点有1个(0,0)； 当n ＝1时，落在直线x ＋y ＝1上的点有2个，(0,1)和(1,0)； 当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点有(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3个；
当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点有(1,2)，(2,1)共2个； 当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点只有(2,2)1个． 因此，当C n 的概率最大时，n ＝2. 答案 2
15．已知区域E ＝{(x ，y )|0≤x ≤3，0≤y ≤2}，F ＝{(x ，y )|0≤x ≤3，
0≤y ≤2，x ≥y }，若向区域E 内随机投掷一点，则该点落入区域F 内的概率为________．
解析 依题意可知，本问题属于几何概型，区域E 和区域F 的对应图形如图所示．
其中区域E 的面积为3×2＝6，区域F 的面积为1
2×(1＋3)×2＝4，所以向区域E 内随机投掷一点，该点落入区域F 内的概率为P ＝46＝23.
答案 2
3
16．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为4
5，那么所选3人中都是男生的概率为____．
解析 设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人中都是男生}，则A ，B 为对立事件，∴P (B )＝1－P (A )＝1
5.
答案 15
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)某学校篮球队，羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．
解 由图知，三支球队共有队员10＋4＋3＋3＝20人，其中只参加一支球队的队员有5＋4＋3＝12人，参加两支球队的队员有1＋2＋3＝6人．
(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ， 则P (A )＝1220＝3
5.
(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ， 则P (B )＝1220＋620＝1820＝910.(或P (B )＝1－220＝9
10)
18．(12分)高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.
(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；
(2)求射击一次，至少命中8环的概率； (3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．
解 设事件“射击一次，命中i 环”为事件A i (0≤i ≤10，且i ∈N )，且A i 两两互斥．由题意知P (A 10)＝0.13，P (A 9)＝0.28，P (A 8)＝0.31.
(1)记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A ，那么P (A )＝P (A 10)＋P (A 9)＝0.13＋0.28＝0.41.
(2)记“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么P (B )＝P (A 10)＋P (A 9)＋P (A 8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.
(3)记“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C ，则C 与A 是对立事件，∴P (C )＝1－P (A )＝1－0.41＝0.59.
19．(12分)水池的容积是20m 3，向水池注水的水龙头A 和水龙头B 的流速都是1m 3/h ，它们在一昼夜内随机开放(0～24小时)，求水池不溢出水的概率．(精确到0.01)
解 设水龙头A 开x 小时，水龙头B 开y 小时，若水池不溢出水，则x ＋y ≤20，
记“水池不溢出水”为事件M ，则M 所占区域面积为1
2×20×20＝200，整个区域的面积为24×24＝576，由几何概型的概率公式，得P (M )＝200
576≈0.35，
即水池不溢出水的概率为0.35.
20．(12分)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，
从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，
得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各
是多少？
解 从袋中任取一球，记事件A ＝{得到红球}，事件B ＝{得到黑球}，事件C ＝{得到黄球}，事件D ＝{得到绿球}，则有
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，
P (B ∪C ∪D )＝1－P (A )＝23，
解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.
所以得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率
为14
21．(12分)同时掷四枚均匀硬币，求：
(1)恰有2枚“正面向上”的概率；
(2)至少有2枚“正面向上”的概率．
解设一枚硬币“正面向上”用1表示，“反面向上”用0表示，这个问题中所说4枚硬币投掷的结果就可以用(x1，x2，x3，x4)表示(其中x i仅取0,1)．例如(0,1,0,1)就表示4枚硬币所掷的结果是反，正，反，正，这样一来，问题就可以转化为：
(1)记“x1＋x2＋x3＋x4＝2”为事件A，求P(A)；
(2)记“x1＋x2＋x3＋x4≥2”为事件B，求P(B)．
首先，每个x i都可取0或1,4枚硬币所掷出的结果包括(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,1)，(1,1,1,1)，(1,1,0,0)，(1,1,0,1)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(1,0,1,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(1,1,1,0)共16种．
其次，对于A，∵x1＋x2＋x3＋x4＝2，∴只要其中两个取1、两个取0即可，包括(1,1,0,0)，(1,0,0,1)，(0,0,1,1)，(1,0,1,0)，(0,1,0,1)，
(0,1,1,0)共6种．∴P(A)＝6
16＝
3
8.
对于B，∵x1＋x2＋x3＋x4≥2，∴包含以下三种情形：x1＋x2＋x3＋x4＝2，有6种，x1＋x2＋x3＋x4＝3，包括(1,1,1,0)，(1,1,0,1)，(1,0,1,1)，(0,1,1,1)共4种，x1＋x2＋x3＋x4＝4，包括(1,1,1,1)，1种，
∴P(B)＝6＋4＋1
16＝
11
16.
22．(12分)将长度为a的木条折成三段，求三段能构成三角形的概率．
解设事件A表示“三段能构成三角形”，x，y分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为a－x－y，
则x ，y 构成的区域Ω＝{(x ，y )|0<x <a,0<y <a,0<x ＋y <a }． 要使三段能构成三角形，则
x ＋y >a －x －y ⇒x ＋y >a 2；
x ＋a －x －y >y ⇒y <a 2；
y ＋a －x －y >x ⇒x <a 2.
故三段能构成三角形的区域A ＝{(x ，y )|x ＋y >a 2，x <a 2，y <a 2}．
如图所示，由图知
所求的概率为P ＝S A S Ω＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2212
a 2＝14
.。