2021年高二数学上学期第二次月考试卷(含解析)

2021年高二数学上学期第二次月考试卷（含解析）
一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.）
1．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞1
2．（5分）若集合A={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B={x∈N|x≤5}，则A∩B是（）A．{1，2，3} B．{0，1，2} C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}
3．（5分）若x+y＞0，a＜0，ay＞0，则x﹣y的值为（）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．符号不能确定
4．（5分）若0＜x＜1，0＜y＜1，则在x+y，x2+y2，2xy，2中，最大的一个数是（）
A．2xy B．x+y C．2 D．x2+y2
5．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）
A．7 B．15 C．30 D．31
6．（5分）已知一等比数列的前三项依次为x，2x+2，3x+3，那么﹣13是此数列的第（）项．A．2 B．4 C．6 D．8
7．（5分）若f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1，则f（x）与g（x）的大小关系是（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）=g（x）
C．f（x）＜g（x）D．随x的值的变化而变化
8．（5分）若命题p：2n﹣1是奇数，q：2n+1是偶数（n∈Z），则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假
9．（5分）命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）
A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0C．若ab=0，则a≠0D．若ab≠0，则a≠0
10．（5分）x2﹣3x+2≠0是x≠1的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（5分）下列数列是等差数列的是（）
A．a n=﹣2n B．a n=（﹣1）n•n C．a n=（n+1）2D．a n=2n+1
12．（5分）等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）“实数a，b，c成等差数列”是“2b=a+c”的条件．（按充分、必要关系填写）14．（5分）x，y∈（0，+∞），x+2y=1，则的最小值是．
15．（5分）如果函数的定义域为R，则实数k的取值范围是．
16．（5分）已知数列{a n}，其前n项和S n=n2+n+1，则a8+a9+a10+a11+a12=．
三、解答题（本大题共4小题，共40分）
17．（8分）已知x，y满足约束条件，求目标函数z=2x﹣y的最大值和最小值及对应的最优解．
18．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d＞0，又a2•a3=45，a1+a4=14
（I）求数列{a n}的通项公式；
（II）记数列b n=，数列{b n}的前n项和记为S n，求S n．
19．（8分）设两个命题：p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f （x）=﹣（4﹣2a）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，若命题p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围是多少？
20．（12分）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞1，解关于x的不等式；．
内蒙古呼伦贝尔市满洲里七中xx学年高二上学期第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.）
1．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞1
考点：命题的否定．
分析：根据¬p是对p的否定，故有：∃x∈R，sinx＞1．从而得到答案．
解答：解：∵¬p是对p的否定∴¬p：∃x∈R，sinx＞1
故选C．
点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题．
2．（5分）若集合A={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B={x∈N|x≤5}，则A∩B是（）
A．{1，2，3} B．{0，1，2} C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：分别求出集合A中不等式的解集和集合B中解集的自然数解得到两个集合，求出交集即可．
解答：解：集合A中的不等式（2x+1）（x﹣3）＜0可化为或
解得﹣＜x＜3，所以集合A=（﹣，3）；
集合B中的不等式x≤5的自然数解有：0，1，2，3，4，5，所以集合B={0，1，2，3，4，5}．
所以A∩B={0，1，2}
故选B
点评：此题考查了集合交集的运算，是一道基础题．
3．（5分）若x+y＞0，a＜0，ay＞0，则x﹣y的值为（）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．符号不能确定
考点：不等式．
分析：用不等式的性质判断两个变量x，y的符号，由符号判断x﹣y的值的符号．方法一：综合法证明一般性原理；方法二用特值法证明．可以看到方法二比方法一简单．
解答：解：法一：因为a＜0，ay＞0，所以y＜0，又x+y＞0，
所以x＞﹣y＞0，所以x﹣y＞0．
法二：a＜0，ay＞0，取a=﹣2得：
﹣2y＞0，又x+y＞0，两式相加得x﹣y＞0．
故应选A．
点评：本题考点是不等式的性质，本题考查方法新颖，尤其是第二种方法特值法充分体现了数学解题的灵活性．
4．（5分）若0＜x＜1，0＜y＜1，则在x+y，x2+y2，2xy，2中，最大的一个数是（）
A．2xy B．x+y C．2 D．x2+y2
考点：不等式的基本性质．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式的性质和不等式的基本性质即可得出．
解答：解：∵0＜x＜1，0＜y＜1，
∴，x2+y2≥2xy．
又x＞x2，y＞y2，
∴x+y＞x2+y2．
∴在x+y，x2+y2，2xy，2中，最大的一个数是x+y．
故选：B．
点评：本题考查了基本不等式的性质和不等式的基本性质，属于基础题．
5．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）
A．7 B．15 C．30 D．31
考点：数列递推式．
专题：计算题．
分析：（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解
（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解
（法三）构造可得a n+1=2（a n﹣1+1），从而可得数列{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n+1，进而可求a n，把n=5代入可求
解答：解：（法一）∵a n=2a n﹣1+1，a1=1
a2=2a1+1=3
a3=2a2+1=7
a4=2a3+1=15
a5=2a4+1=31
（法二）∵a n=2a n﹣1+1
∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31
（法三）∴a n+1=2（a n﹣1+1）
∵a1+1=2
∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列
∴a n+1=2•2n﹣1=2n
∴a n=2n﹣1
∴a5=25﹣1=31
故选：D
点评：本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，注意本题解法中的一些常见的数列的通项的求解：迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，尤其注意解法三中的构造等比数列的方法的应用
6．（5分）已知一等比数列的前三项依次为x，2x+2，3x+3，那么﹣13是此数列的第（）项．A．2 B．4 C．6 D．8
考点：等比数列的通项公式．
专题：综合题．
分析：根据等比数列的性质可知第2项的平方等于第1，第3项的积，列出关于x的方程，求出方程的解，经检验得到满足题意x的值，然后根据x的值求出等比数列的首项和公比，
写出等比数列的通项公式，令通项公式等于﹣13列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．
解答：解：由等比数列的前三项依次为x，2x+2，3x+3，
得到（2x+2）2=x（3x+3），即（x+1）（x+4）=0，
解得x=﹣1或x=﹣4，当x=﹣1时，等比数列的前三项依次为﹣1，0，0不合题意舍去，
所以x=﹣4，等比数列的前三项依次为﹣4，﹣6，﹣9，
则等比数列的首项为﹣4，公比q==，
令a n=﹣4=﹣13，解得n=4．
故选B
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道综合题．
7．（5分）若f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1，则f（x）与g（x）的大小关系是（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）=g（x）
C．f（x）＜g（x）D．随x的值的变化而变化
考点：二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：比较大小一般利用作差的方法，进而得到f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2，然后再利用二次函数的性质解决问题即可．
解答：解：由题意可得：f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1
所以f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，
所以f（x）＞g（x）．
故选A．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握比较大小的方法与二次函数的性质，并且结合正确的运算．
8．（5分）若命题p：2n﹣1是奇数，q：2n+1是偶数（n∈Z），则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假
考点：四种命题的真假关系．
专题：计算题．
分析：对复合命题的真假性进行证明，我们可先分析命题p、q的真假，然后利用真值表进行计算．由（n∈Z）易得，2n﹣1是奇数为真，2n+1也是奇数，故2n+1是偶数为假命题．解答：解：由题设知：p真q假，
故p或q为真命题．
故选A
点评：（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p
或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．
9．（5分）命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）
A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0C．若ab=0，则a≠0D．若ab≠0，则a≠0
考点：四种命题间的逆否关系．
专题：常规题型．
分析：根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答．
解答：解：因为原命题是“a=0，则ab=0”，
所以其逆否命题为“若ab≠0，则a≠0”，
故选D．
点评：本题考察命题中的逆否关系，可以从字面理解“逆否”：先逆后否．
10．（5分）x2﹣3x+2≠0是x≠1的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：计算题．
分析：x2﹣3x+2≠0⇔x≠1且x≠2，由此易判断“x2﹣3x+2≠0⇒x≠1”和“x≠1⇒x2﹣3x+2≠0”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．
解答：解：当x2﹣3x+2≠0时，x≠1且x≠2，此时x≠1成立，
故x2﹣3x+2≠0是x≠1的充分条件；
当x≠1时，x2﹣3x+2≠0不一定成立，
故x2﹣3x+2≠0是x≠1的不必要条件；
x2﹣3x+2≠0是x≠1的充分不必要条件；
故选A
点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中分别判断“x2﹣1=0⇒x3﹣x=0”与“x3﹣x=0⇒x2﹣1=0”的真假，是解答本题的关键．
11．（5分）下列数列是等差数列的是（）
A．a n=﹣2n B．a n=（﹣1）n•n C．a n=（n+1）2D．a n=2n+1
考点：等差数列的性质．
专题：规律型；等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的通项公式，可得通项为n的一次函数形式，即可得出结论．
解答：解：由等差数列的通项公式，可得通项为n的一次函数形式，故可知选A．
故选：A．
点评：本题考查等差数列的通项公式，比较基础．
12．（5分）等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297
考点：等差数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．
解答：解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，
由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，
②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，
则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．
故选B．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）“实数a，b，c成等差数列”是“2b=a+c”的充要条件．（按充分、必要关系填写）
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据等差数列的定义以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
解答：解：若实数a，b，c成等差数列，则b﹣a=c﹣b，即2b=a+c，
反之也成立，
即实数a，b，c成等差数列”是“2b=a+c”的充要条件，
故答案为：充要
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等差数列的定义是解决本题的关键．
14．（5分）x，y∈（0，+∞），x+2y=1，则的最小值是3+2．
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：由x+2y=1⇒=（）•（x+2y）=1+++2，结合条件，应用基本不等式即可．
解答：解：∵x，y∈（0，+∞），x+2y=1，
∴=（）•（x+2y）=1+++2≥3+2（当且仅当=，即x=﹣1时取“=”）．
故答案为：3+2．
点评：本题考查基本不等式，着重考查代入法及基本不等式的应用，属于基础题．
15．（5分）如果函数的定义域为R，则实数k的取值范围是[0，）．
考点：二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：由函数的定义域为R，解kx2+4kx+3=0无解，由此能求出k的取值范围．
解答：解：∵函数的定义域为R，
∴kx2+4kx+3=0无解，
∴k=0，或，
解得，
故答案为：[0，）．
点评：本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
16．（5分）已知数列{a n}，其前n项和S n=n2+n+1，则a8+a9+a10+a11+a12=100．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：根据S n=n2+n+1并且a8+a9+a10+a11+a12=S12﹣S7，然后将数代入即可得到答案．
解答：解：∵S n=n2+n+1
∴a8+a9+a10+a11+a12=S12﹣S7=122+12+1﹣72﹣7﹣1=100
故答案为：100．
点评：本题主要考查数列前n项和公式的应用．考查考生的计算能力．
三、解答题（本大题共4小题，共40分）
17．（8分）已知x，y满足约束条件，求目标函数z=2x﹣y的最大值和最小值及对应的最优解．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x，由截距的几何意义可得．
解答：解：由题意作出约束条件所对应的可行域，如图（阴影部分）
变形目标函数可得y=2x﹣z，作出直线y=2x，
平移可得直线过点B时，z取最大值，经过点C时，z取最小值，
联立方程组，解得，即B（5，3）
同理联立可解得，即
代入目标函数可得z max=7，z min=
点评：本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
18．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d＞0，又a2•a3=45，a1+a4=14
（I）求数列{a n}的通项公式；
（II）记数列b n=，数列{b n}的前n项和记为S n，求S n．
考点：数列的求和；等差数列的性质．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（I）等差数列{a n}中，由公差d＞0，a2•a3=45，a1+a4=14，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．
（II）由a n=4n﹣3，知b n==（﹣），由此利用裂项求和法能求出数列{b n}的前n项和．
解答：解：（I）∵等差数列{a n}中，公差d＞0，a2•a3=45，a1+a4=14，
∴，
解得，或（舍），
∴a n=a1+（n﹣1）d=1+4（n﹣1）=4n﹣3．
（II）∵a n=4n﹣3，
∴b n===（﹣），
∴数列{b n}的前n项和：
S n=b1+b2+b3+…+b n
=+++…+
=
=．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．
19．（8分）设两个命题：p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f （x）=﹣（4﹣2a）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，若命题p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围是多少？
考点：复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：根据一元二次不等式的解和判别式△的关系，及指数函数的单调性即可求出命题p，q下的a的取值范围，由p∨q为真，p∧q为假知p，q一真一假，所以分成p真q假，p假q真两种情况，分别求出a的取值范围再求并集即可．
解答：解：p：△=4a2﹣16＜0，解得﹣2＜a＜2；
q：首先4﹣2a＞0，∴a＜2；
函数f（x）=﹣（4﹣2a）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，则4﹣2a＞1，∴a＜；
若命题p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假；
若p真q假，则：，∴；
若p假q真，则：，∴a≤﹣2；
综上得a的取值范围是．
点评：考查一元二次不等式的解和判别式△的关系，指数函数的单调性，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．
20．（12分）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞1，解关于x的不等式；．
考点：函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题；综合题．
分析：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．
（2）不等式即为：即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．下面对k进行分类讨论：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．
解答：解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=．
（2）不等式即为，可化为
即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．
①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．
②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；
③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．
点评：本题主要是应用分类讨论思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：
1．要有明确的分类标准；
2．对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；
3．当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱．根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤﹣1解答此题．39788 9B6C 魬o. 24776 60C8 惈}29965 750D 甍7BBj33621 8355 荕 25053 61DD 懝26393 6719 朙。