20-21版：6.2.3~6.2.4 第1课时 组合及组合数的定义（步步高）
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解析 可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法. 根据分类加法计数原理，共有 C26＋C24＝AA2622＋AA2224＝62× ×51＋42× ×31＝15＋6＝ 21(种)不同的选法.
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有__9_0_种不同的选法.
(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？ 解 是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话， 没有顺序区别，组合数为 C210＝AA21220＝45.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行 多少场？ 解 是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为 C210＝AA21220＝45.
A.C59种
B.A37
解析 只需再从其他 7 名队员中选 3 人，即 C37种选法.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有_8_4_种不同选法. 解析 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C39＝AA3339＝93××82××71＝84(种) 选法.
√B.4
C.12
D.24
解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD， △ACD，△BCD.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个
村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公
牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为
A.4×13手
B.134手
C.A1532 手
√D.C 1532手
解析 本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者 可能得到C1532 手不同的牌.
12345
4.下列问题中，组合问题有_①__②___，排列问题有_③___.(填序号) ①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和； ②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； ③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动. 解析 ①②为组合问题， ③为排列问题.
跟踪训练2 从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同 的组合？请写出所有组合. 解 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合 逐个写出来，如图所示：
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共 有10种.
三、简单的组合问题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8. 有 3 张 参 观 券 ， 要 在 5 人 中 确 定 3 人 去 参 观 ， 则 不 同 方 法 的 种 数 是 _1_0__.(用数字作答) 解析 由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有 C35＝AA3533＝ 53× ×42× ×31＝10(种)不同方法.
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解 由于所取出的3个球中不含黑球， 也就是要从7个白球中取出3个球， 取法种数是 C37＝AA3733＝73× ×62× ×51＝35.
3 随堂演练
PART THREE
1.(多选)下面四组元素，是相同组合的是
√A.a，b，c—b，c，a √C.a，c，d—d，a，c
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)组合与组合数的定义. (2)排列与组合的区别与联系. (3)用列举法写组合. 2.方法归纳：枚举法. 3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ 解 冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有 多少种不同的选法？ 解 3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
例3 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师. (1)现要从中选2名去参加会议，有__4_5_种不同的选法；
解析 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元 素中取出2个元素的组合数， 即 C210＝AA21220＝120××19＝45.
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有__2_1_种不同的选法；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9.判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. (1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？ 解 是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为 A210 ＝90.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
解 因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车 票是不同的，所以它是排列问题.
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
解 由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是 排列问题. (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生.
知识点二 排列与组合的关系
相同点 不同点
关系
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
组合数Cmn 与排列数Amn 间存在的关系Amn＝_C_mn_A__mm_
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题.
12345
5. 已 知 a ， b ， c ， d 这 四 个 元 素 ， 则 每 次 取 出 2 个 元 素 的 所 有 组 合 为 _a_b_，__a_c_，__a_d_，__b_c_，__b_d_，__c_d_. 解析 可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
第六章 6.2.3 组 合 6.2.4 组合数
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会用组合知识解决一些简单的组合问题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 组合及组合数的定义
1.组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 作为一组 ，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数 ，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
解 从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本 并不考虑书的顺序，故它是组合问题.
二、组合的个数问题
例2 在A，B，C，D四位候选人中. (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
解 从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有 A24＝12(种) 选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA， DA，CB，DB，DC.
解析 从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选 2 名的 选法有 C24种， 根据分步乘法计数原理，共有不同的选法 C26×C24＝AA2226×AA2224＝62× ×51×42× ×31 ＝90(种).
反思 感悟
利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间 的计算方法，借助排列数求组合数.
√B.a，b，c—a，c，b
D.a，b，c—a，b，d
12345
2.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是
A.10
√B.5
C.4
D.1
解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5 种方法.
12345
3.在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张
√A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数 √B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C.由1,2,3组成两位数的不同方法数 D.由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.把三张游园票分给 10 个人中的 3 人，分法有
跟踪训练3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
解 从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是 C38＝AA3833＝83××72××61＝56.
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
解 从口袋内取出3个球有1个是黑球， 于是还要从7个白球中再取出2个， 取法种数是 C27＝AA2722＝72××61＝21.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为 __6__. 解析 由于集合中的元素具有无序性，因此含 2 个元素的子集个数与元 素顺序无关，是组合问题，共有 C24＝AA2422＝42××31＝6(个).
路的条数为
A.4
B.8
√C.28
D.64
解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题， 故共需要建 C28＝AA2822＝82××71＝28(条)公路.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运
动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有
解 由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应 A22个排列，即 A24＝C24A22. 类比可知，从 n 个不同元素选出 m 个元素的排列数 Amn 与组合数 Cmn 间的等 量关系为 Amn ＝CnmAmm.
反思 感悟
组合个数的求解策略 (1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重 复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字 母B开头的组合，直到全部枚举完毕. (2)公式法：利用排列数 Amn 与组合数 Cmn 之间的关系 Cnm＝AAmmnm求解.
(√ ) 2.“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合.( × )
3.组合数 C35＝AA3335.( √ ) 4.两个组合相同，则其对应的元素一定相同.( √ )
2 题型探究
PART TWO
一、组合概念的理解
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ 解 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
A.A310种
√B.C310种
C.C310A310种
D.30 种
解析 三张票没区别，从 10 人中选 3 人，即 C310.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点
为顶点的所有三角形的个数为
A.3
(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举 结果；
解 从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有 C24＝6(种)选 法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD.
(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数 Anm与组合数 Cmn 间的 等量关系吗？
解 3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.
反思 感悟
排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中 取出m(m≤n)个不同的元素即可. (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个 组合就是相同的组合. (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关 的是排列问题，与顺序无关的是组合问题.
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有__9_0_种不同的选法.
(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？ 解 是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话， 没有顺序区别，组合数为 C210＝AA21220＝45.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行 多少场？ 解 是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为 C210＝AA21220＝45.
A.C59种
B.A37
解析 只需再从其他 7 名队员中选 3 人，即 C37种选法.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有_8_4_种不同选法. 解析 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C39＝AA3339＝93××82××71＝84(种) 选法.
√B.4
C.12
D.24
解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD， △ACD，△BCD.
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4.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个
村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公
牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为
A.4×13手
B.134手
C.A1532 手
√D.C 1532手
解析 本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者 可能得到C1532 手不同的牌.
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4.下列问题中，组合问题有_①__②___，排列问题有_③___.(填序号) ①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和； ②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； ③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动. 解析 ①②为组合问题， ③为排列问题.
跟踪训练2 从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同 的组合？请写出所有组合. 解 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合 逐个写出来，如图所示：
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共 有10种.
三、简单的组合问题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8. 有 3 张 参 观 券 ， 要 在 5 人 中 确 定 3 人 去 参 观 ， 则 不 同 方 法 的 种 数 是 _1_0__.(用数字作答) 解析 由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有 C35＝AA3533＝ 53× ×42× ×31＝10(种)不同方法.
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解 由于所取出的3个球中不含黑球， 也就是要从7个白球中取出3个球， 取法种数是 C37＝AA3733＝73× ×62× ×51＝35.
3 随堂演练
PART THREE
1.(多选)下面四组元素，是相同组合的是
√A.a，b，c—b，c，a √C.a，c，d—d，a，c
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)组合与组合数的定义. (2)排列与组合的区别与联系. (3)用列举法写组合. 2.方法归纳：枚举法. 3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ 解 冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有 多少种不同的选法？ 解 3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
例3 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师. (1)现要从中选2名去参加会议，有__4_5_种不同的选法；
解析 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元 素中取出2个元素的组合数， 即 C210＝AA21220＝120××19＝45.
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有__2_1_种不同的选法；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9.判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. (1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？ 解 是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为 A210 ＝90.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
解 因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车 票是不同的，所以它是排列问题.
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
解 由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是 排列问题. (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生.
知识点二 排列与组合的关系
相同点 不同点
关系
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
组合数Cmn 与排列数Amn 间存在的关系Amn＝_C_mn_A__mm_
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题.
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5. 已 知 a ， b ， c ， d 这 四 个 元 素 ， 则 每 次 取 出 2 个 元 素 的 所 有 组 合 为 _a_b_，__a_c_，__a_d_，__b_c_，__b_d_，__c_d_. 解析 可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
第六章 6.2.3 组 合 6.2.4 组合数
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会用组合知识解决一些简单的组合问题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 组合及组合数的定义
1.组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 作为一组 ，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数 ，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
解 从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本 并不考虑书的顺序，故它是组合问题.
二、组合的个数问题
例2 在A，B，C，D四位候选人中. (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
解 从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有 A24＝12(种) 选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA， DA，CB，DB，DC.
解析 从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选 2 名的 选法有 C24种， 根据分步乘法计数原理，共有不同的选法 C26×C24＝AA2226×AA2224＝62× ×51×42× ×31 ＝90(种).
反思 感悟
利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间 的计算方法，借助排列数求组合数.
√B.a，b，c—a，c，b
D.a，b，c—a，b，d
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2.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是
A.10
√B.5
C.4
D.1
解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5 种方法.
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3.在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张
√A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数 √B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C.由1,2,3组成两位数的不同方法数 D.由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.把三张游园票分给 10 个人中的 3 人，分法有
跟踪训练3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
解 从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是 C38＝AA3833＝83××72××61＝56.
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
解 从口袋内取出3个球有1个是黑球， 于是还要从7个白球中再取出2个， 取法种数是 C27＝AA2722＝72××61＝21.
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7.若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为 __6__. 解析 由于集合中的元素具有无序性，因此含 2 个元素的子集个数与元 素顺序无关，是组合问题，共有 C24＝AA2422＝42××31＝6(个).
路的条数为
A.4
B.8
√C.28
D.64
解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题， 故共需要建 C28＝AA2822＝82××71＝28(条)公路.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运
动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有
解 由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应 A22个排列，即 A24＝C24A22. 类比可知，从 n 个不同元素选出 m 个元素的排列数 Amn 与组合数 Cmn 间的等 量关系为 Amn ＝CnmAmm.
反思 感悟
组合个数的求解策略 (1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重 复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字 母B开头的组合，直到全部枚举完毕. (2)公式法：利用排列数 Amn 与组合数 Cmn 之间的关系 Cnm＝AAmmnm求解.
(√ ) 2.“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合.( × )
3.组合数 C35＝AA3335.( √ ) 4.两个组合相同，则其对应的元素一定相同.( √ )
2 题型探究
PART TWO
一、组合概念的理解
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ 解 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
A.A310种
√B.C310种
C.C310A310种
D.30 种
解析 三张票没区别，从 10 人中选 3 人，即 C310.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点
为顶点的所有三角形的个数为
A.3
(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举 结果；
解 从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有 C24＝6(种)选 法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD.
(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数 Anm与组合数 Cmn 间的 等量关系吗？
解 3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.
反思 感悟
排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中 取出m(m≤n)个不同的元素即可. (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个 组合就是相同的组合. (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关 的是排列问题，与顺序无关的是组合问题.