高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数与函数的单调性、极值、最值课件文新人教A版
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北师大版高考数学一轮复习统考第3章导数及其应用第3讲导数与函数的极值最值课件
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解析 8答案
3．(2019·岳阳模拟)函数 f(x)＝ln x－x 在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e
B．－1
C．－e
D．0
解析 因为 f′(x)＝1x－1＝1－x x，当 x∈(0,1)时，f′(x)>0；当 x∈(1， e]时，f′(x)<0，所以当 x＝1 时，f(x)取得最大值 ln 1－1＝－1.故选 B．
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5
1．对于可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是函数 f(x)在 x＝x0 处有极值的必要 不充分条件．
2．若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一 定是函数的最值点．
3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极 值．
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12解析
2
PART TWO
核心考向突破
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13
精准设计考向，多角度探究突破
考向一 导数与函数的极值
角度 1 知图判断函数极值情况
例 1 (2019·浙江杭州二中 6 月热身考)如图，可知导函数 y＝f(x)在点
P(x0，f(x0))处的切线为 l：y＝g(x)，设 h(x)＝f(x)－g(x)，则下列说法正确的 是( )
的极小值；
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3
(2)函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数
值□04 ___都__大___，且 f′(b)＝0，而且在 x＝b 附近的左侧□05 ____f_′(_x_)＞__0_____， 右侧□06 ___f′_(x_)_＜__0____，则点 b 叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大
高考数学一轮复习-《导数及应用》第3课时-导数的应用(二)—极值与最值课件
x>2
f′(x)>0
x<2
，解得c＝6
授人以渔
题型一 利用导数研究函数极值
例1
已
知函数
f(x)＝
ax3－
3x2＋
3 1－a(a∈
R且
a≠
0)，
求函数f(x)的极大值与极小值．
2 【解析】 由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax(x－a)．
2 令f′(x)＝0得x＝0或x＝a.
• 当a>0时，随x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下:
(2)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3 个不同的零点，则实数a
的取值范围是(
)
A． (－ 2,2)
B． [－ 2,2]
C． (－ ∞，－ 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．(1，＋∞)
【解析】 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.三
次 函数 f(x)＝ 0有 3个根
⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0 ∴x＝－1为极大值点， x＝1为极小值点．
2
43
f(x)极小值＝f(a)＝－a2－a＋1.
• 探究1 掌握可导函数极值的步骤: • (1)确定函数的定义域． • (2)求方程f′(x)＝0的根． • (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干
个小开区间，并形成表格． • (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)
• 解析 y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
• 4.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函 数在[－2,2]上的最小值是( )
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第三节 导数与函数的极值、最值课件 理
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以当a>e时, f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当a≤e时, f '(x)≥0在(0,1) 上恒成立,则f(x)在(0,1)上单调递增,不符合题意. 综上,a的取值范围为(e,+∞).
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方法技巧 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程
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(2)若f(x)在区间
0
,
13上 单调递增,求b的取值范围.
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解析 (1)当b=4时,f(x)=(x+2)2· 1,定 2义x 域为
,
,
1 2
f '(x)=2(x+2) 1+(x2+x2)2· · 1 ·(-21)= .
2 1 2x
令f '(x)=0,解得x1=-2,x2=0.
.
2
规律总结 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值f(a), f(b); (3)将函数f(x)的极值与f(a), f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值.
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2-1 已知函数f(x)=ln x+ 1 -1,g(x)=x 1 .
(ex)2
= ax,2(2ab)xbc
ex
令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex>0,所以y=f '(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f '(x)与 g(x)符号相同. 因为a>0,所以由题意知:当-3<x<0时,g(x)>0,即f '(x)>0; 当x<-3或x>0时,g(x)<0, 即f '(x)<0, 所以f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
高考数学复习第三章导数及其应用3.2.2导数与函数的极值最值文ppt市赛课公开课一等奖省名师优质课获
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②若 0<a<e，当 x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数 f(x)在区间(0， a)上单调递减，当 x∈(a，e]时，f′(x)>0，函数 f(x)在区间(a，e] 上单调递增，
所以当 x＝a 时，函数 f(x)取得最小值 ln a.
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③若 a≥e，则当 x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数 f(x)在区间(0， e]上单调递减，
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考点 1 用导数解决函数极值问题
4/43
函数的极值 (1)函数的极小值： 函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他 点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧__f′__(_x_)<_0_， 右侧_f_′__(_x_)>_0_，则点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函 数 y＝f(x)的极小值．
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当 x∈12，3时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0， 即 a≥x＋1x恒成立，a≥130. 因此要使函数 f(x)在12，3上有极值点， 实数 a 的取值范围是2，130.
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(2)已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 时有极值 0，则 a
－b＝__－__7____.
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已知 y＝f(x)是奇函数，当 x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－axa>12，
当 x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为 1，则 a＝( D )
1
1
A.4
B.3
1 C.2
D．1
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解析：由题意知，当 x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1. 令 f′(x)＝1x－a＝0，得 x＝1a， 当 0<x<1a时，f′(x)>0； 当 x>1a时，f′(x)<0. ∴f(x)max＝f1a＝－ln a－1＝－1， 解得 a＝1.
②若 0<a<e，当 x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数 f(x)在区间(0， a)上单调递减，当 x∈(a，e]时，f′(x)>0，函数 f(x)在区间(a，e] 上单调递增，
所以当 x＝a 时，函数 f(x)取得最小值 ln a.
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③若 a≥e，则当 x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数 f(x)在区间(0， e]上单调递减，
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考点 1 用导数解决函数极值问题
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函数的极值 (1)函数的极小值： 函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他 点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧__f′__(_x_)<_0_， 右侧_f_′__(_x_)>_0_，则点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函 数 y＝f(x)的极小值．
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当 x∈12，3时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0， 即 a≥x＋1x恒成立，a≥130. 因此要使函数 f(x)在12，3上有极值点， 实数 a 的取值范围是2，130.
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(2)已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 时有极值 0，则 a
－b＝__－__7____.
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已知 y＝f(x)是奇函数，当 x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－axa>12，
当 x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为 1，则 a＝( D )
1
1
A.4
B.3
1 C.2
D．1
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解析：由题意知，当 x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1. 令 f′(x)＝1x－a＝0，得 x＝1a， 当 0<x<1a时，f′(x)>0； 当 x>1a时，f′(x)<0. ∴f(x)max＝f1a＝－ln a－1＝－1， 解得 a＝1.
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值课件 文
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一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．( × ) (2)导数为零的点不一定是极值点．( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ ) (4)函数的极大值一定是函数的最大值．( × ) (5)开区间上的单调连续函数无最值．( √ )
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[提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点． (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
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2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则__f_(_a_) __为函数的最小值，__f_(b_)___为函数的最大值； 若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则__f_(a_)___为函数的最大值，___f(_b_)__为函数的最小值． [提醒] 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必 有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．
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2．函数 g(x)＝－x2 的极值点是_______，函数 f(x)＝(x－1)3 的极值点_______ (填“存在” 或“不存在”)． 解析：结合函数图象可知 g(x)＝－x2 的极值点是 x＝0.因为 f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以 f′(x) ＝0 无变号零点，故函数 f(x)＝(x－1)3 不存在极值点． 答案：0 不存在
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(2)由(1)得 f(x)在1e，1上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以 f(x)在1e，e上的极大值为 f(1)＝1－11－ln 1＝0. 又 f1e＝1－e－ln 1e＝2－e，f(e)＝1－1e－ln e＝－1e，且 f1e<f(e)． 所以 f(x)在1e，e上的最大值为 0，最小值为 2－e.
高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数与函数的单调性、极值、最值课件文北师大版
3 2
������2
+
2������
ex+
1 2
������3
+
������2
ex
=
1 2
������3
-5-
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3.实际问题中导数的意义 中学物理中,速度是路程 关于时间的导数,线密度是质量关于 长度 的导数,功率是功关于时间 的导数.
-6-
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4.函数的最值与导数 (1)最大值点:函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数 在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数的最小值点也有 类似的意义. (2)函数的最大值:最大值或者在极大值点 取得,或者在区间的 端点取得. (3)最值:函数的最大值 和最小值 统称为最值. (4)求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
-9-
)
f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f'(x)=0,得x=-2或x=2. 易得f(x)在(-2,2)上是减少的,在(-∞,-2),(2,+∞)上是增加的, 故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D. D
解析
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关闭
答案
-10-
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12345
-3-
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1234
2.函数的极值与导数
(1)函数的极大值点和极大值:在包含x0的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值,称点x0为函数 y=f(x)的极大值点 ,其函数值f(x0)为函数的极大值 .
高考数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性、极值、最值课件理
∴g′(x)≤0，即 x2－ax＋2≤0 在(－2，－1)内恒成立， ∴gg′′－－12≤≤00，， 即41＋＋2aa＋＋22≤≤00，， 解得 a≤－3，即实数 a 的取值范围为(－∞，－3]．
第十三页，共36页。
[探究 1] 在本例(3)中，若 g(x)的单调减区间为(－2，－1)， 如何求解？
第十一页，共36页。
[听前试做] (1)f′(x)＝x2－ax＋b， 由题意得ff′0＝01＝，0， 即cb＝＝10，. (2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)． ①当 a＝0 时，f′(x)＝x2≥0 恒成立，即函数 f(x) 在(－∞，＋∞)内为单调增函数． ②当 a>0 时，由 f′(x)>0 得，x>a 或 x<0；由 f′(x)<0 得 0<x<a. 即函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)， 单调递减区间为(0，a)．
第二十九页，共36页。
[解题模板] 利用导数求函数最值的步骤
第三十页，共36页。
已知函数 f(x)＝(x－k)ex. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值．
第三十一页，共36页。
第二十六页，共36页。
[典题 4] (2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ln x＋a(1 －x)．
(1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 时，求 a 的取值 范围．
第二十七页，共36页。
[听前试做] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a. 若 a≤0，则 f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若 a>0，则当 x∈0，1a时，f′(x)>0； 当 x∈1a，＋∞时，f′(x)<0. 所以 f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．
第十三页，共36页。
[探究 1] 在本例(3)中，若 g(x)的单调减区间为(－2，－1)， 如何求解？
第十一页，共36页。
[听前试做] (1)f′(x)＝x2－ax＋b， 由题意得ff′0＝01＝，0， 即cb＝＝10，. (2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)． ①当 a＝0 时，f′(x)＝x2≥0 恒成立，即函数 f(x) 在(－∞，＋∞)内为单调增函数． ②当 a>0 时，由 f′(x)>0 得，x>a 或 x<0；由 f′(x)<0 得 0<x<a. 即函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)， 单调递减区间为(0，a)．
第二十九页，共36页。
[解题模板] 利用导数求函数最值的步骤
第三十页，共36页。
已知函数 f(x)＝(x－k)ex. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值．
第三十一页，共36页。
第二十六页，共36页。
[典题 4] (2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ln x＋a(1 －x)．
(1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 时，求 a 的取值 范围．
第二十七页，共36页。
[听前试做] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a. 若 a≤0，则 f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若 a>0，则当 x∈0，1a时，f′(x)>0； 当 x∈1a，＋∞时，f′(x)<0. 所以 f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 31 导数与函数的极值、最值课件 文
(2)(3) 先化简解析式 → 再求导
12/11/2021
第二十一页，共四十六页。
[解] (1)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.
(2)由题可得：y＝sin2x－cos2x＝－12sinx，
∴y′＝－12sinx′＝－12(sinx)′＝－12cosx.
[温馨提示] (1)三个注意点：
①瞬时变化率与导数是同一个概念的两个名称；
②并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，
如：函数 y＝|x|在 x＝0 处就没有导数，但在定义域上的其他点处
都有导数；
③导函数定义中的区间一般指开区间，因为开区间端点处不
一定有改变量(右端点无增量，左端点无减量)．
12/11/2021
第十八页，共四十六页。
5．已知函数 f(x)＝1xcosx，则 f(π)＋f′π2＝(
)
A．－π32
B．－π12
C．－3π
D．－1π
[解析] ∵f′(x)＝－x12cosx＋1x(－sinx)，∴f(π)＋f′π2＝－1π
＋2π·(－1)＝－3π.
[答案] C
12/11/2021
第十九页，共四十六页。
12/11/2021
第七页，共四十六页。
[温馨提示] (1)三个应用：求切线方程，求切点坐标，求参
数的值(或范围)． 如：①若曲线 y＝x4 的一条切线与直线 x＋4y－8＝0 垂直，则
切点坐标为____(_1_,1_)_．__ ②直线 y＝kx＋1 与曲线 y＝x3＋ax＋b 相切于点 A(1,3)，则
第六页，共四十六页。
(2)一个易错点：f′(x0)是一个常数． ①求 f′(x0)时，应先求导再代入求值．如：已知 f(x)＝x＋lnx， 则 f′(1)＝___2__ ②在有关计算时，f′(x0)作为常数．如：已知函数 f(x)的导函 数为 f′(x)，且满足 f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则 f′(2)＝___－__1_2____. 2．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f(x) 在点 P(x0，y0)处的切线的____斜__率____，过点 P 的切线方程为 ___y_－__y_0＝__f_′__(_x0_)_(x_－__x_0_)．___
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[解] (1)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.
(2)由题可得：y＝sin2x－cos2x＝－12sinx，
∴y′＝－12sinx′＝－12(sinx)′＝－12cosx.
[温馨提示] (1)三个注意点：
①瞬时变化率与导数是同一个概念的两个名称；
②并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，
如：函数 y＝|x|在 x＝0 处就没有导数，但在定义域上的其他点处
都有导数；
③导函数定义中的区间一般指开区间，因为开区间端点处不
一定有改变量(右端点无增量，左端点无减量)．
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5．已知函数 f(x)＝1xcosx，则 f(π)＋f′π2＝(
)
A．－π32
B．－π12
C．－3π
D．－1π
[解析] ∵f′(x)＝－x12cosx＋1x(－sinx)，∴f(π)＋f′π2＝－1π
＋2π·(－1)＝－3π.
[答案] C
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[温馨提示] (1)三个应用：求切线方程，求切点坐标，求参
数的值(或范围)． 如：①若曲线 y＝x4 的一条切线与直线 x＋4y－8＝0 垂直，则
切点坐标为____(_1_,1_)_．__ ②直线 y＝kx＋1 与曲线 y＝x3＋ax＋b 相切于点 A(1,3)，则
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(2)一个易错点：f′(x0)是一个常数． ①求 f′(x0)时，应先求导再代入求值．如：已知 f(x)＝x＋lnx， 则 f′(1)＝___2__ ②在有关计算时，f′(x0)作为常数．如：已知函数 f(x)的导函 数为 f′(x)，且满足 f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则 f′(2)＝___－__1_2____. 2．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f(x) 在点 P(x0，y0)处的切线的____斜__率____，过点 P 的切线方程为 ___y_－__y_0＝__f_′__(_x0_)_(x_－__x_0_)．___
高考数学一轮复习第三章导数及其应用函数的极值与最值课件
11 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
[解] (1)当 a＝1 时，f(x)＝x2e1－x－(x－1)， 则 f′(x)＝(2x－x2)e1－x－1＝2x－exx2－－1 ex－1， 令 h(x)＝(2x－x2)－ex－1，则 h′(x)＝2－2x－ex－1，
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第三章 导数及其应用
1 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第2讲 导数的应用
2 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
考点二 函数的极值与最值
3 撬点·基础点 重难点
8 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3．函数 f(x)＝ax3＋bx 在 x＝1 处有极值－2，则 a，b 的值分别为( )
A．1，－3
B．1,3
C．－1,3
D．－1，－3
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.②
(2)由题可知 g(x)＝(x2－a)e1－x， 则 g′(x)＝(2x－x2＋a)e1－x＝(－x2＋2x＋a)e1－x. 根据题意，方程－x2＋2x＋a＝0 有两个不同的实根 x1，x2(x1<x2)， 所以 Δ＝4＋4a>0，即 a>－1，且 x1＋x2＝2，
12 撬点·基础点 重难点
显然 h′(x)在34，2内是减函数，又 h′43＝12－41 <0，故 x∈34，2时，总有 h′(x)<0，所以 h(x)在34，2 e
高考数学一轮复习第3章一元函数的导数及其应用2利用导数研究函数的单调性课件新人教版
π
π
-π,, 0,
____________.
2
2
由题意可知 f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.
令 f'(x)=xcos x>0,解得其在区间(-π,π)内的解集为
即 f(x)的单调递增区间为
π
-π,- 2
,
π
0, 2
.
π
-π,2
∪
π
0,
2
,
解题心得利用导数讨论函数单调性或求单调区间的方法
等,都需要考虑函数的单调性,所以也是高考必考知识.应用时,要注意函数
的定义域优先,准确求导变形,转化为导函数在某区间上的符号问题.常用
到分类讨论和数形结合的思想,对数学运算核心素养有一定的要求.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.
解 (1)若a=1,则f(x)=3x-2x2+ln x的定义域为(0,+∞),
1
-42 +3+1
故 f'(x)= -4x+3=
=
-(4+1)(-1)
(x>0).
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,即函数f(x)=3x-2x2+ln x单调递增;
1
2
7
7
即 g(x)在区间[1,4]上单调递增,g(x)max=g(4)= − =- ,即 a≥- .