函数的奇偶性+胡小军

课题：函数的奇偶性
南汇一中 胡小军
一、教材分析：
(1) 函数的奇偶性是在学生系统学习了函数概念、函数的解析式、函数的定义域 、值域的基础上进行研究的,它是函数的重要性质之一,也是今后研究各种基本初等函数的重要工具。

(2) 对于函数的奇偶性应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题,所以从函数的的奇偶性研究过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类数学问题的方法,所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到其他数学问题的研究
（二）教学目标：
1．知识与能力
掌握函数的奇偶性的概念，学会判断函数的奇偶性；
学会运用函数图象理解和研究函数性质；
关于渗透研究性学习尝试：通过比较类比，让学生体会发现问题、研究问题和解决问题的过程中的乐趣
2．过程与方法
在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般以及数形结合的思想方法.
让学生通过类比偶函数的概念以及性质来讨论归纳总结奇函数的概念以及性质。

3．情感态度价值观
在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣。

（三）教学重点及难点：
重点：理解奇函数偶函数的概念及掌握其判定。

难点：判断函数的奇偶性的方法。

（四）教学流程设计
（五）教学过程
一、复习引入
1．复习：我们在初中已经学习了函数一些函数，有一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，那么我们今天就来研究一下哪些函数图像有较特殊的特征。

⒉ 引入：（学生看图总结，引导学生从对称性角度来分析）
从函数2
y x 的图像（图1）看到：
图像关于y 轴对称，通过计算，我们也可以看到，
()()1111f f -==，，得()()11f f -=；由()()2424f f -=-=，
得()()22f f -=.让学生思考：对任意a ，()()f a f a -=
是否成立？
函数的这个性质，就是今天我们要学习讨论的.
（一）函数的奇偶性定义
1． 偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。

（1）是定义域中的任意一个x ，而不是一个特殊的x ；
(2) 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

偶函数图像的特征：
师：偶函数图像有什么样的特征？（讨论中）
生1：不是一个具体函数，抽象函数的图像特征不能总结。

生2：也不一定，如果在能特殊一点即使是抽象函数图像也是有特征的。

生3：图像关于y 轴对称，因为横坐标x 和－x 关于y 轴对称，而纵坐标相等，所以
图像关于y 轴对称。

特征：偶函数的图像关于y 轴对称，反过来， 若一个函数的图像关于y 轴对称，则
这个函数是偶函数.
例：求证：()2432x x x f -= 是偶函数
解（略）
师：谁能用定义判断偶函数的具体解题步骤：
生1：判断f(－x)=f(x)就可以得到该函数为偶函数。

生2：好像有点不对，如一个函数()52=f ，而-2不在定义域中，则不能有())2(2f f =-。

生3：首先判断定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)=f(x)
练习：判断函数()2=x f 是不是偶函数 从函数
x
y 1=的图像（图2）看到： 图像关于原点对称，通过计算，我们也可以看到， ()()1111f f -=-=，，得()()11f f -=-；由
()()2
12,212=-=-f f 得()()22f f -=-.让学生思考：对任意a ，
()()f a f a -=-
是否成立？
生甲：不一定成立，因为2和-2都是特殊值，特殊不能代表一般。

生乙：不一定成立，如果成立的话一定要经过严格的证明，我们现在研究的只是几个特殊情
况。

所以不能轻易下结论。

生丙：成立，不用证明的，画出这个函数的图像，我们从图像就可以看出对任意的a 都有
()()f a f a -=-
2．（生丁）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。

奇函数图像的特征
奇函数的图像关于原点对称，反过来，若一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数；
例：求证f(x) =3x 的奇函数 解：（略）
练习 ：判断下列函数的奇偶性
（1）()3-=
x x f （2）f(x) = 2)1(-x , R x ∈
例2．教材66P 的练习3、4
解：（略）
思考题：
二、归纳小结，强化思想
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．要注意证明一个函数是奇函数或是偶函数的步骤。

三、作业布置
教材66p 练习5、6题。