【易错题】高一数学下期末第一次模拟试题(带答案)(1)

【易错题】高一数学下期末第一次模拟试题(带答案)(1)
一、选择题
1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )
A ．
203
B ．
72
C ．
165
D ．
158
2．在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点
且满足222OA OB OC ==u u u v u u u v u u v ，则·AE AO u u u v u u u v 的值为（ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．
22
D ．
32
3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
4．函数()23sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．7,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
5．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ）
A ．(0,)+∞
B ．[)0,+∞
C ．[)0,4
D ．（0，4）
6．设正项等差数列的前n 项和为，若
，则
的最小值为 A ．1
B ．
C ．
D ．
7．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线
:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于
4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3 B ．3(0,]4
C ．3
D ．3[,1)4
8．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10
D ．1或11
9．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于
点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上
C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线B
D 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上
10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式
()0f x >的解集为（ ）
A ．33,0,22⎛
⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭U
B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．33,22⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11．若函数()(
),1
231,1x
a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
12．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B =o B ．6b =，52c =，45B =o C ．10a =，15b =，120A =o
D ．6b =，6
3c =，60C =o
二、填空题
13．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22n
n n S a =-，则n S =__________．
14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.
15．若,2παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，1sin 43πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________
16．已知0,0,2a b a b >>+=，则14
y a b
=
+的最小值是__________． 17．已知圆的方程为x 2+y 2﹣6x ﹣8y ＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为
18．设a ，b 是非零实数，且满足
sin
cos
107
7tan 21cos sin 77
a b a b π
π
πππ+=-，则b a ＝_______．
19．在ABC ∆中，120B =o ，1BC =，且ABC ∆的面积为
3
2
，则AC =__________． 20．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AA =，1AC BC ==，则异面直线
1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =u u u v u u u v
，M 是线段CE 上一动点. （1）若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+u u u u v u u u v u u u v
，求m n +的值；
（2）若9,43AB CA CE =⋅=u u u v u u u v
，求()
2MA MB MC +⋅u u u v u u u v u u u u v 的最小值.
22．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为
ABC V 外接圆的半径，22243
a c
b +-=
，其中S 为ABC V 的面积． （1）求sin C ；
（2）若23a b -=ABC V 的周长．
23．已知23()sin cos 3cos 2
f x x x x =+- （1）求函数()f x 的对称轴方程；
（2）求函数()f x 在[0，]π上的单调递增区间.
24．a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，已知tan 3sin a B b A =. （1）求cos B ；
（2）若3a =，17b =，求ABC ∆的面积.
25．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =v ，()4,c y =v
，且//a b v v ，a c ⊥v v .
（1）求b v 和c v
；
（2）若2m a b =-v v v ，n a c =+v v v ，求向量m u v 与向量n v 的夹角的大小.
26．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=o ，21EA =百米，60AED ∠=o . （1）求ABE △区域的面积；
（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即133
1,2,,2222
M a b n =+
====;又由
23≤成立，则循环，即2838
2,,,33323
M a b n =+
====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =
+====;又由43≤不成立，则出循环，输出15
8M =． 考点：算法的循环结构
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平面向量基本定理可知()
12
AE AB AC =+u u u v u u u v u u u v
，将所求数量积化为1122
AB AO AC AO ⋅+⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v ；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅u u u v u u u v 和AC AO ⋅u u u v u u u v 化为212AB u u u v 和212
AC u u u v ，代入可求得结果. 【详解】
E Q 为BC 中点 ()
12
AE AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v
()
111222
AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
222
OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v Q AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形
2
11cos 22
AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，同理可得：
212
AC AO AC ⋅=u u u v u u u v u u u v
22111314422
AE AO AB AC ∴⋅=+=+=u u u v u u u v u u u v u u u v
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.
3．C
解析：C 【解析】
试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．
，
，所以几何体的表面积为
．
考点：三视图与表面积．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】
函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=-- ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭， 其单调增区间满足：()23222232
k x k k Z π
π
πππ+≤-≤+∈， 解得：()713
1212
k x k k Z ππππ+
≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选A . 【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．C
解析：C 【解析】
当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式
2
10kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则2
40
k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[
)0,4，故选C. 6．D
解析：D 【解析】 【分析】
先利用等差数列的求和公式得出，再利用等差数列的基
本性质得出
，再将代数式和
相乘，展开
后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】
由等差数列的前项和公式可得
，所以，
，
由等差数列的基本性质可得
，
， 所以，，当且仅当
，即当
时，等号成立，
因此，的最小值为，故选：D.
【点睛】
本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。

7．A
解析：A 【解析】
试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，
2a =，设(0,)M b ，则45b d =
，所以
44
55
b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224
c a b b =-=-，所以03c <≤，3
0c a <
≤
．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
8．A
解析：A 【解析】
试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．
解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为
，
直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0，
因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，
化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A
考点：直线与圆的位置关系．
9．A
解析：A 【解析】
如图，因为EF∩HG=M，
所以M∈EF，M∈HG，
又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法
先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】
解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示，
从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选：A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，
当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23
a >， 且在1x =处，有：()1
2311a a -⨯+≥，解得：34
a ≤
， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 本题选择C 选项. 【点睛】
对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】
对于A 选项，17
sin 722
a B =⨯
=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解； 对于B 选项，2
sin 5252
c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =o Q ，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解；
对于D 选项，60C =o Q ，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D. 【点睛】
本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
13．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中
解析：*
2()n n S n n N =∈g
【解析】
分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，1
1122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2n n
a 是首项为1公差为
12
的等差数列，从而得到()1
12n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得1
1122a a =-，解得12a = ，
当2n ≥ 时，
由22n n n S a =-），得1
1122n n n S a ---=-，
两式相减得(
)(
)
11122
22,n
n n n n n n a S S a a ---=-=--- 整理得
111222n n n n a a ---=，且1
11,2
a = ∴数列{}2n n a
是首项为1公差为12 的等差数列， ()111,22
n n
a n ∴
=+- 可得()1
12,n n a n -=+ 所以()1
2221222.n
n n n
n n S a n n -⎡⎤=-=+-=⋅⎣⎦
点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合
理运用．
14．【解析】【分析】由题意首先求解底面积然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积【详解】由题意可得底面四边形为边长为的正方形其面积顶点到底面四边形的距离为由四棱锥的体积公式可得：【点睛】本题主要考查四棱锥 解析：
1
12
【解析】 【分析】
由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】
由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为
2
的正方形，其面积2
12EFGH S ==⎝⎭
， 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为1
2
d =， 由四棱锥的体积公式可得：111132212
M EFGH V -=⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属
解析：
46
+ 【解析】 【分析】
利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可. 【详解】
因为1sin 43πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故cos 43πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭=
14sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=
+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.
故答案为：46
+【点睛】
本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.
16．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y 的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情 解析：
92
【解析】
分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14
(
)()2a b a b
++，展开后，利用基本不等
式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以
12
a b
+=，所以14145259()()222222
a b b a y a b a b a b +=
+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14
y a b =
+的最小值是92，总上所述，答案为92
. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.
17．20【解析】【分析】根据题意可知过（35）的最长弦为直径最短弦为过（35）且垂直于该直径的弦分别求出两个量然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣
解析：
【解析】 【分析】
根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可． 【详解】
解：圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52， 由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，
根据勾股定理得最短的弦|BD |＝
=
，且AC ⊥BD ， 四边形ABCD 的面积S ＝|12AC |•|BD |1
2
=⨯10×
=
． 故答案为
． 【点评】
考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．
18．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式
【解析】 【分析】
先把已知条件转化为10721717
b tan
a tan tan
b tan a π
ππθπ+
⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
-．利用正切函数的周期性求出
3
k π
θπ=+
，即可求得结论．
【详解】
因为10721717
b
tan
a tan tan
b tan a π
ππθπ+
⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
-，（tanθb a =） ∴10721
k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3
π
+
）=
∴b
a
=
． 【点睛】
本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．
19．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC 长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解
【解析】 【分析】
根据三角形面积公式得到11 2.222
S AB AB =⨯⨯⨯=⇒=再由余弦定理得到AC 长. 【详解】
在ABC ∆中，120B =o ，1BC =，且ABC ∆
到：11 2.222
S AB AB =
⨯⨯⨯=⇒= 再由余弦定理得到22202cos1207AC AB BC AB BC =+-⨯⨯⨯=
故得到AC =
.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦
函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
20．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象
解析：
30
【解析】
【分析】
先找出线面角，运用余弦定理进行求解
【详解】
连接1
AB交
1
A B于点D，取
11
B C中点E，连接DE，则
1
DE AC
P，连接
1
A E
1
A DE
∴∠为异面直线
1
A B与
1
AC所成角
在111
Rt AC B
n中，
11
1
AC=，
111
11
22
C E C B
==
1
5
A E
∴=
同理可得
1
6
A D=
5
DE=
222
1
655
30
cos
10
65
2
A DE
+-
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∠==
⨯⨯
,
∴异面直线
1
A B与
1
AC30
30
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．
三、解答题
21．（1）43；（2）754
- 【解析】 【分析】 【详解】
（1）因为M 是线段CE 的中点，
所以()
11112222AM AC AE AD AB AE =+=
++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
112151223262
AB AB AD AB AD =+⋅+=+u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 故514
623m n +=
+=. （2）1,3
CA AB AD CE CB BE AD AB =--=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22114()33
3CA CE AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=--⋅--=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2213
AB AD =+u u u u r u u u
r 22221194333AB AD AD +=⨯+=u u u
r u u u r u u u r ||4, 4AD AD BC =⇒==u u u r
故
5CE =u u u v ； 设ME t =u u u v ，则()505MC t t =-≤≤u u u u v
， ()()
222MA MB MC ME EA ME EM MC +⋅=+++⋅u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v ()()33535ME MC t t t t =⋅=--=-u u u v u u u u v
为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即52t =时，()
75
24
MA MB MC +⋅=-u u u v u u u v u u u u v .
所以()
2MA MB MC +⋅u u u v u u u v u u u u v 的最小值为754
-.
22．（1
）4
；（2
【解析】 【分析】
（1）由正弦可得R 2sin a
A
=
，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再
由()sin sin C A B =+即可得解； （2
）由正弦定理得sin sin a A b B ==
，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解. 【详解】
（1）由正弦定理得cos 2sin a
a A A
=
，sin21A ∴=，又022A π<<， 22
A π
∴=
，则4
A π
=
.
由2221csin 32a c b a B +-=
⋅
，由余弦定理可得2cos sin 3
ac B ac B =，
tan B ∴=0B π<<，=
3
B π
∴，
(
)sin sin sin 434C A B ππ⎛⎫
∴=+=+=
⎪⎝⎭
. （2
）由正弦定理得
sin sin a A b B ==
，
又a b -=
a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩
又sin C =
422
c ∴==
22
a b c ∴++=
+. 【点睛】
解三角形的基本策略：
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 23．（1）对称轴方程为()212
k x k Z ππ=+∈（2）单调递增区间为[0，]12π
和7[,]12ππ
【解析】 【分析】
（1）由二倍角公式和辅助角公式对函数进行整理，可得()sin(2)3
f x x π
=+
，令
2()3
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈即可求出对称轴.
（2）由（1）知，令222()2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
++
+
∈剟，即可求出函数的单调递增区间，
令0k =和1可求得函数在[0，]π上的单调递增区间. 【详解】
解：（1）已知2()sin cos f x x x x =+1sin 2cos 2)2x x =+ sin(2)3x π
=+，令2()32x k k Z πππ+=+∈，解得：()212
k x k Z ππ
=
+∈， 所以函数()f x 的对称轴方程为()212
k x k Z ππ
=+∈. （2）由（1）得：令：222()2
32
k x k k Z π
π
π
ππ-++
+
∈剟，
整理得：5()1212
k x k k Z ππ
ππ-
++∈剟，当0k =和1时， 函数在[0，]π上的单调递增区间为[0，]12
π
和7[
,]12
π
π. 【点睛】
本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了三角函数的对称轴求解，考查了三角函数单调区间的求解.本题的关键是对函数解析式的化简.本题的易错点是在求单调区间时，解不等式求错.
24．（1）1
cos 3
B =；（2）. 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B 的值；
（2）利用余弦定理求出c 的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sin B 的值，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积. 【详解】
（1）因为tan 3sin a B b A =，所以sin tan 3sin sin A B B A =， 又sin 0A >，所以
sin 3sin cos B
B B =，因为sin 0B >，所以1cos 3
B =； （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，则2
1
179233
c c =+-⨯⨯⨯， 整理得2280c c --=，0c >Q ，解得4c =.
因为1cos 3B =
，所以sin 3
B ==，
所以ABC ∆的面积1
sin 2
S ac B == 【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
25．（1）()9,12b =v ，()4,3c =-v
；（2）34
π. 【解析】 【分析】
（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b r r ，a c ⊥r r
，列方程
求出x 、y 的值，可得出向量b r 和c r
的坐标；
（2）求出m u r 、n r 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m u r 与向量n r
夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值. 【详解】
（1）()3,4a =r Q ，()9,b x =r ，()4,c y =r ，且//a b r r ，a c ⊥r r ，349
3440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩
，
解得12
3x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =r ，()4,3c =-r ；
（2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--u r r r Q ，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=r r r ，
则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-u r r ，
5m ∴==u
r
，n ==r
设m u r 与n r 的夹角为θ
，cos ,m n m n m n ⋅∴===⋅u r r u r r ，0θπ≤≤Q ，则
34
π
θ=
. 因此，向量m u r 与向量n r
的夹角为34
π. 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 26
．（1
2百米. 【解析】 【分析】
（1）由余弦定理求出4AB =百米，由此能求出ABE V 区域的面积；（2）记
AEB α∠=，在ABE V 中，利用正弦定理求出sin α和cos α的值，当CH DE ⊥时，水管长最短，由此能求出当水管CH 最短时的长.
【详解】
（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==
o
在ABE V 中，由余弦定理得222
2cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即
2211AB AB =++，所以4AB =百米
所以11sin 4122ABE S AB BE ABE V =
⋅⋅∠=⨯⨯=.
（2）记AEB α∠=，在ABE V 中，sin sin AB AE ABE
α=∠，即4sin α=
，
所以sin 7
αα=
==
， 当CH DE ⊥时，水管CH 最短， 在Rt ECH V 中，
2π2π2π
sin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫
=∠=-=- ⎪⎝⎭=7
百米.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，利用同角三角函数关系式求三角函数值，并求三角形面积，属于基础题.（1）根据余弦定理，可直接求得AB 的长度，由三角形面积公式即可求得ABE S V 的面积；（2）根据最短距离为垂直距离，可求得CH 的长.。