人工智能之与或图搜索问题

规定MAX先手
52
静态估计函数e(P)定义为： ① 若格局 P 对任何一方都不能获胜，则 e(P) =（所有空格上都放上 MAX的棋子后，MAX 的三个棋子所组成的行、列及对角线的总数） -
（所有空格上都放上 MIN 的棋子后， MIN 的三个
棋子所组成的行、列及对角线的总数）
53
② 若 P 是MAX获胜，则 e(P)=+∞
第二章 与或图搜索问题
初始节点s
a c b
目标 目标
1
2.1 基本概念


与或图是一个超图，节点间通过连接符连 接。 K-连接符：
…...
K个
2
耗散值的计算
k(n, N) = Cn+k(n1, N)+…+k(ni, N) 其中：N为终节点集 Cn为连接符的耗散值
n
n1
…...
n2 i个
ni
3
• 解图：
2
O X X
1
O X O X
0
O O X
O
O
O
1
O O
0
O O X X
2
O
0
O
1
O
1
O O X
O X
1
X
X
X
X O X
X
O X
X O
X
X
O
2
2
3
1
O O
2
X
X
2
O O
X X
1
1
O X
X
0
X
O X
0
58
X
O X
O
1
X
O X
O
第三步
O X X O X
1
X
-
X O X
O X
O
X X
O X O
5 、若 CLOSED 表 为空 ，则转 8 ；否则取出
CLOSED表中的第一个节点，记为 np；
45
6、若 np 属于MAX层，且对于它的属于MIN层
的子节点 nci 的 e ( nci )有值，则： e ( np ) =max { nci }
46
（续）
若 np 属于MIN层，且对于它的属于MAX层的子 节点 nci 的 e ( nci )有值，则：
节点 ，而任何一方获胜的最终格局为目标状态， 对应于树的终叶节点（可解节点或本原问题）。 但是，从 MAX 的角度出发，所有使 MAX 获胜的 状态格局都是本原问题，是 可解节点 ，而使 MIN 获胜的状态格局是不可解节点。
25
博弈树特点
(1)博弈的初始状态是初始节点；
(2)博弈树的“与”节点和“或”节点是逐层交替出 现的； (3)整个博弈过程始终站在某一方的立场上，所以能 使自己一方获胜的终局都是本原问题，相应的节
22
MAX
从MAX方的角度来看：
所有属于MAX方的节点都是或节点
好招
理由：
因为扩展MAX方节点时，MAX方可选择扩展最
有利于自己的节点，只要可扩展的子节点中有
一个对已有利， 则该节点就对已有利。
23
总之： 从MAX方来说，与节点、或节点交替出现；反之， 从MIN方的角度来看，情况正好相反。
24
在博弈树中，先行一方的初始状态对应着树的 根
（4,3）
（3,3,1）
（5,1,1） （4,2,1）
（4,1,1,1） （3,2,1,1） （3,1,1,1,1）
（2,2,2,1）
（2,2,1,1,1）
我方必胜
（2,1,1,1,1,1）
30
对于比较复杂的博弈问题，只能模拟人的思维 “向前看几步”，然后作出决策，选择最有利自 己的一步。即只能给出几层走法，然后按照一定 的估算办法，决定走一好招。
初始节点
目标 目标
4
能解节点

终节点是能解节点
若非终节点有“或”子节点时，当且仅当 其子节点至少有一能解时，该非终节点才 能解。 若非终节点有“与”子节点时，当且仅当 其子节点均能解时，该非终节点才能解。

5
不能解节点

没有后裔的非终节点是不能解节点。
若非终节点有“或”子节点，当且仅当所 有子节点均不能解时，该非终节点才不能 解。 若非终节点有“与”子节点时，当至少有 一个子节点不能解时，该非终节点才不能 解。
双人博弈 ：即两位选手对垒，轮流依次走步，
其中任何一方都完全知道对方过去已经走过的
棋步和今后可能的走步，其结果是一方赢 (而另
一方则输)，或双方和局
15
博弈的例子： 一字棋 跳棋
中国象棋
围棋 五子棋
16
2.3 博弈树搜索

博弈问题

双人对弈，对垒的双方轮流走步； 信息完备，对垒双方所得到的信息是一样的， 不存在一方能看到，而另外一方看不到的情况； 零和，即对一方有利的棋，对另一方肯定是不 利的，不存在对双方均有利或均无利的棋，对 弈的结果是一方赢，而另一方输，或者双方和 棋。
20
为什么与节点、或节点隔层交替出现？
假设博弈双方为：MAX和MIN 在博弈过程中，规则是双方轮流走步。在博弈 树中，相当于博弈双方轮流扩展其所属节点。
21
从MAX方的角度来看：
所有MIN方节点都是与节点
MIN
好招
理由：
因为MIN方必定选择最不利于MAX方的方式来
扩展节点，只要 MIN 方节点的子节点（下出棋 局）中有一个对 MAX 方不利，则该节点就对 MAX方不利，故为“与节点”。
一个静态估价函数值。值越大对MAX越有利，反 之越不利；
36
② 对于给定的格局，MAX给出可能的走法，然后
MIN对应地给出相应的走法，这样重复若干次，得 到 一 组 端 节 点 （ 必 须 由 MIN 走 后 得 到 的 ， 等 待
MAX下的棋局）。这一过程相当于节点扩展；
注：博弈树深度或层数一定是偶数。
42
极大极小搜索过程为：
1、将初始节点 S 放入 OPEN 表中，开始时搜索
树 T 由初始节点 S 构成；
2、若 OPEN 表为空（节点扩展结束），则转5； 3 、 将 OPEN 表 中 第 一 个 节 点 n 移 出 放 入
CLOSED 表的前端；
43
4、若 n 可直接判定为赢、输、或平局，则令对应的

17
博弈的特点：
双方的智能活动，任何一方都不能单独控制
博弈过程，而是由双方轮流实施其控制对策 的过程。
18
人工智能中研究的博弈问题：
如何根据当前的棋局，选择对自己最有利的
一步棋 ？
中国象棋
19
博弈问题（求解过程）的表示：
用博弈树来表示，它是一种特殊的与或树。节点
代表博弈的格局（即棋局），相当于状态空间中 的状态，反映了博弈的信息， 并且与节点、或 节点隔层交替出现。
1
MAX的走步
×
MIN
-1
-2
×
×
1
× O
× O
× O
× O
× O
O × O ×
1
0
O
1
0
O × ×
-1
O × O
1
2
MAX
×
× O
-1
0
-1
0
-2
57
X O
X
第二步
1
O X X O X O O X O O X O X X
1
X O O X
X O X O
X O X
2
O O X X X
1
O X X
3
O X X
(3, 2, 1, 1, MAX)
数字序列：表示不同堆中钱币的个数 说明：表示下一步由谁来分，即取MAX或MIN
28
现在取 N＝7 的简单情况，并由MIN先分
(7,MIN)
所有可能的分法
(4,3,MAX)
(3,3,1,MIN)
(6,1,MAX)
(5,2,MAX)
(5,1,1,MIN)
(4,2,1,MIN)
M A X 占 优 ， M I N 不 利 势 均 力 敌 M A X 不 利 ， M I N 占 优
40
符号：
OPEN：存放待扩展的节点，此时为队列，即以
宽度优先的策略扩展节点。 CLOSED ：存放已扩展的节点，此时为堆栈，
即后扩展的节点先计算。
41

极大极小过程的基本思想：
(1)当轮到MIN走步的节点时，MAX应考虑最 坏的情况（即f(p)取极小值）； (2)当轮到MAX走步的节点时，MAX应考虑最 好的情况（即f(p)取极大值）； (3)评价往回倒推时，相应于两位棋手的对 抗策略，交替使用（ 1 ）和（ 2 ）两种方 法传递倒推值。
31
中国象棋



一盘棋平均走 50 步，总状态数约为 10 的 161 次方。 假设1毫微秒走一步，约需10的145次方年。 结论：不可能穷举。
32
在人工智能中可以采用搜索方法 来求解博弈问题，下面就来讨论 博弈中两中最基本的搜索方法。
33
极大极小过程
对于复杂的博弈问题，要规定搜索深度与时间， 以便于博弈搜索能顺利进行。
n3
n5
n5(1)
n6
n8
目标
n7
红色：4
黄色：3
目标
11
n0 n1 n2
初始节点
n1 n4 n2(4) 5
n0
初始节点
n4(1)
n3
n5 n3(4)
n5(1)
n6
n8
目标
n7
红色：4
黄色：6
目标
12
n0 n1 n2
初始节点
n1 n4 5
n0
初始节点
n4(1) n2(4)
n3
n5 n3(4) n6(2)
假设由MAX来选择走一步棋，问题是： MAX如何来选择一步好棋？
34
极大极小过程


极大极小过程是考虑双方对弈若干步之后， 从可能的走法中选一步相对好的走法来走， 即在有限的搜索深度范围内进行求解。 需要定义一个静态估价函数 e, 以便对棋局 的态势做出评估。
35
极大极小过程的基本思路：
① 对于每一格局（棋局）给出（定义或者倒推）
点也是可解节点，所有使对方获胜的节点都是不
可解节点。
26
例 Grundy博弈：分配物品的问题
如果有一堆数目为 N 的钱币，由两位选手轮流进 行分配，要求每个选手每次把其中某一堆分成数 目不等的两小堆，直至有一选手不能将钱币分成
不等的数字序列加上一个说明来表示一个状态：
(3,2,2,MIN)
(4,1,1,1,MAX) (3,1,1,1,1,MIN)
(3,2,1,1,MAX)
(2,2,2,1,MAX) (2,2,1,1,1,MIN)
(2,1,1,1,1,1,MAX)
注：如果MAX走红箭头的分法，必定获胜。
29
分钱币问题
对方先走
（6,1）
（7）
（5,2）
（3,2,2）
③ 若 P 是MIN获胜，则
e(P)=－∞
54
例：计算下列棋局的静态估价函数值
O ×
棋局
× O × × × × × × ×
行=2 列=2
O O O O × O O O O
行=2 列=2
对角=2
对角=0
e(P)=6-4=2
55
利用棋盘的对称性，有些棋局是等价的 O × ×
O
O × × O
56
MAX
e ( np )=min{ nci }
47
7、转5； 8、根据 e (S) 的值，标记走步或者结束（-∞，
∞或 0）。
48
算法分成两个阶段：
第一阶段为1、2、3、4步，用宽度优先算法生成 规定深度 k 的全部博弈树，然后对其所有端节点 计算 e(P)； 第二阶段为5、6、7、8步，是自下而上逐级求节

6
普通图搜索的情况
s
n
f(n) = g(n) + h(n) 对 n 的评价实际是对从 s 到 n 这条路 径的评价
7
与或图: 对局部图的评价
初始节点 c
a b 目标 目标
8
两个过程

图生成过程，即扩展节点

从最优的局部途中选择一个节点扩展

计算耗散值的过程

对当前的局部图从新计算耗散值
9
AO*算法举例
37
③ 对于每一个端节点，计算出它们的静态估价函 数，然后自下而上地逐层计算倒推值，直到MAX 开始的格局。在MIN下的格局中取估值的最小值，
在MAX下格局中取估值的最大值；
④ 取估值最大的格局作为MAX要走的一招棋。
38
例：向前看一步的两层博弈树
39
定义静态函数e(P)的一般原则：
0 eP ( ) 0 0
n0 n1 n2 n4
初始节点
n3
n5
n6
n8
其中： h(n0)=3 h(n1)=2 h(n2)=4 h(n3)=4 h(n4)=1 h(n5)=1 h(n6)=2 h(n7)=0 h(n8)=0 设：K连接符 的耗散值为K
10
目标
n7
目标
n0 n1 n2
初始节点
n1(2) n4
n0
初始节点
n4(1)
e(n)=∞，-∞或 0，并转2；否则扩展 n，产生 n 的
后继节点集 { ni }，将{ ni }放入搜索树 T 中。此时， 若搜索深度 d{ ni } 小于预先设定的深度 k ，则将 { ni }放入OPEN表的末端，转2；否则，ni 达到深 度k，计算e ( ni )，并转2；
44
步2
Open为空，即已经扩展完节点
n5(1)
2
n6
n8
n8(0)
目标
n7
目标
n7(0)
红色：5
黄色：6
13
n0 n1 n2
初始节点
n1 n4 5
n0
初始节点
1 n4(1)
n2(4)
n3
n5 n3(4) n6(2)
n5(1)
2
n6
n8
n8(0)
目标
n7
目标
n7(0)
红色：5 黄色：6
14
2.3 博弈树搜索
博弈
是一类具有竞争性的智能活动
点的倒推估价值，直至求出初始节点的 e(S) 为止，
再由 e(S) 选得相对较好的走法，过程结束。
49
等对手走出相应的棋，再以当前的格局 作为初始节点，重复此过程，选择对自 己有利的走法。
50
极大极小过程
51
例： 一字棋的极大极小搜索过程
约定：
每一方只向前看一步 （扩展出二层） 记MAX的棋子为“×”，MIN的棋子为“O”