【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.6(含答案)

第八章 8.6 第6课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．已知向量a ＝(8，1
2x ，x )，b ＝(x,1,2)，其中x >0.若a ∥b ，则x 的值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0 答案 B
解析 因x ＝8,2,0时都不满足a ∥b .
而x ＝4时，a ＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b ，∴a ∥b .
另解：a ∥b ⇔存在λ>0使a ＝λb ⇔(8，x
2，x )＝(λx ，λ，2λ)
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
λx ＝8x 2＝λx ＝2λ
⇔⎩⎨⎧
λ＝2
x ＝4
.∴选B. 2．已知点O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向
量b ＝OA
→＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA
→ B.OB → C.OC → D.OA →或OB → 答案 C
解析 根据题意得OC
→＝12
(a －b )，∴OC →，a ，b 共面．
3．已知空间四边形ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，则AB
→＋12 (BD →
＋BC
→)等于( ) A.AG
→ B.CG → C.BC
→ D.12
BC → 答案 A
解析 依题意有 AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12·2BG →＝AG →.
4．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则
该四边形为( )
A ．平行四边形
B ．梯形
C ．平面四边形
D ．空间四边形 答案 D
解析 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．
5．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA
→＋OB →＋OC →
＝λOG
→，则λ等于( ) A ．1 B ．3 C.1
3 D ．2 答案 B
解析 若设BC 边的中点为M ，则OA →＋OB →＋OC →＝OA →＋2OM →＝OG →＋GA →＋2OM →
＝OG
→＋2MG →＋2OM →＝3OG →，而OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，所以λ＝3. 6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 与A 1D 的公垂线，则EF 与BD 1所成的角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．30°
D ．0° 答案 D
解析 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A 1(a,0，a )，D (0,0,0)，A (a,0,0)，C (0，a,0)，B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，
∴DA 1
→＝ (a,0，a )， AC →＝(－a ，a,0)，BD 1
→＝(－a ，－a ，a )． ∵EF 是直线AC 与A 1D 的公垂线． ∴EF →⊥DA 1→，EF →⊥AC →.设EF →
＝(x ，y ，z )， ∴EF →·DA 1
→＝(x ，y ，z )·(a,0，a )＝ax ＋az ＝0，
∴EF →·AC →＝(x ，y ，z )·(－a ，a,0)＝－ax ＋ay ＝0. ∵a ≠0，∴x ＝y ＝－z .
∴EF →＝(x ，x ，－x )．∴BD 1
→＝－a x
EF →. ∴BD
1
→∥EF →，即BD 1
∥EF . 二、填空题 7.
在四面体O －ABC 中，OA
→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD
的中点，则OE →
＝________(用a ，b ，c 表示)．
答案 12a ＋14b ＋14c
解析 OE →＝OA →
＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →) ＝OA →＋14
×(OB
→－OA →＋OC →－OA →)
＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .
8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面给出四个命题：
①(A 1
A →＋A 1
D 1
→＋A 1B 1
→)2＝3(A 1B 1
→)2
②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0. ③AD 1
→与A 1
B →的夹角为60°
④此正方体体积为：|AB →·AA 1→·AD →|
则错误命题的序号是________(填出所有错误命题的序号)． 答案 ③④
解析 ③AD 1
与A 1
B 两异面直线夹角为60°，但AD 1
→与A 1
B →的夹角为120°，A 1
B
→
＝D 1C →，注意方向．
④∵AB →·AA 1
→＝0.正确的应是|AB →|·|AA 1
→|·|AD
→|. 9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 是面ABCD 的中心，点P 在棱C 1D 1上移动，则|OP |的最小值为____．
答案 5 解析
以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则O (1,1,0)．
设P (x,1,1)(0≤x ≤2)．
则|OP |＝ (1－x )2＋( 1－2) 2＋ (0－2) 2 ＝( x －1) 2＋5.
所以当x ＝1，即P 为C 1D 1中点时，|OP |取最小值 5.
10．已知空间四边形ABCD ，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD
→＝________.
答案 0
解析 AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →
＝AB →(AD →－AC →)＋BC →·AD →＋CA →·BD → ＝AB →·AD →－AB →·AC →＋BC →·AD →＋CA →·BD → ＝AD →·(AB →＋BC →)－AC →(AB →＋BD →) ＝AD →·AC →－AC →·AD
→＝0. 11．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．
答案 355
解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，
∴|b －a |＝ (1＋t )2＋ (2t －1 )2
三、解答题
12．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a .求证：A ′B ⊥AC ′.
解析 解法1 A ′B →＝AB →－AA ′→，
AC
′→＝AB →＋AA ′→＋AD →， ∴A ′B →·AC ′→＝(AB →－AA ′→)(AB →＋AA ′→＋AD →) ＝AB 2→＋AB →·AA ′→＋AB →·AD →－AA ′→·AB →－AA ′2→－AA ′→·AD → 由已知：|AB →|＝|AA ′→|＝a ，知AB 2→＝AA ′2→ 又AB →·AA ′→＝AB →·AD →＝AA ′→·AD
→＝0 ∴A ′B →·AC
′→＝0，即A ′B ⊥AC ′. 解法2 建立空间直角坐标系，也易证．
13．如图所示，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的
坐标是(32，1
2，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.
(1)求向量OD
→的坐标；
(2)设向量AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值．
解析
(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ， 在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.
∴DE ＝CD ·sin30°＝3
2.
OE ＝OB －BD ·cos60°＝1－12＝1
2.
∴D 点坐标为(0，－12，3
2)，
即向量OD
→的坐标为(0，－12，32
)．
OB
→＝(0，－1,0)，OC →＝(0,1,0)． ∴AD
→＝OD →－OA →＝(－32，－1，32
)， BC
→＝OC →－OB →＝(0,2,0)． 设向量AD
→和BC →的夹角为θ，
则cos θ＝AD →·BC
→|AD →||BC →|
＝－32×0＋ (－1) ×2＋32×0
(－32 )2＋ (－1 )2＋ （3
2 ）2·02＋22＋02
＝－210
＝－1510.∴cos θ＝－105.
14．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C ，求证：AB 1＝A 1C .
解析 ∵A 1
C →＝A 1C 1
→＋C 1
C →，BC 1
→＝BC →＋CC 1
→，A 1
C →·BC 1
→＝(A 1C 1
→＋C 1
C →)·(BC
→＋CC 1
→)
＝A 1C 1→·BC →－|C 1C →|2＝0，
∴|C 1
C →|2＝A 1C 1
→·BC
→. 同理，AB 1→＝AB →＋BB 1→， BC 1
→＝BB 1
→＋B 1C 1
→，
AB 1→·BC 1→＝AB →·BC →＋|CC 1→|2＝0(∵BB 1→＝CC 1
→)， ∴AB →·BC →＋A 1C 1
→·BC
→＝0. 又A 1C 1→＝AC →，∴BC →·
(AB →＋AC →)＝0. 设D 为BC 的中点，连AD ，则AB
→＋AC →＝2AD →.
∴2BC →·AD →＝0，∴BC ⊥AD ，∴AB ＝AC .
又A 1A ＝B 1B ，∴Rt △A 1AC ≌Rt △B 1BA (SAS )， ∴A 1C ＝AB 1.
15．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b ，a ·b 以及a 与b 所成角的余弦值，并确定λ、μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．
解析 ∵2a ＋3b ＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(12,13,16)， 3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28)， a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21， |a |＝32＋52＋ （－4 ）2＝50， |b |＝22＋12＋82＝69，
由(λa ＋μb )·(0,0,1)
＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0知，
只要λ，μ满足λ＝2μ即可使λa ＋μb 与z 轴垂直．
教师备选题
1．如右图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是
对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN
→＝2MG →，现用基向量OA →，OB →，
OC
→表示向量OG →，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x 、y 、z 的值分别是( )
A ．x ＝13，y ＝13，z ＝1
3 B ．x ＝13，y ＝13，z ＝1
6 C ．x ＝13，y ＝16，z ＝1
3 D ．x ＝16，y ＝13，z ＝1
3 答案 D
解析 因为GN
→＝2MG →，所以MG →＝23MN →，
所以OG
→＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23(12OB →＋12OC →－12OA →) ＝12OA →＋13OB →＋13OC →－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →，故选D.
2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成60°角，求B 、D 间的距离．
解析 ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD →＝0.同理BA →·AC
→＝0.
∵AB 和CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°
或120°. ∵BD
→＝BA →＋AC →＋CD →，
∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·CD
→ ＝3＋2×1×1×cos 〈BA
→，CD →〉
＝⎩⎪⎨⎪⎧
4 〈BA →，CD →〉＝60°
，2 〈BA →，CD →〉＝120°
.
∴|BD
→|＝2或2，即B 、D 间的距离为2或 2.。