江苏省宿迁市沭阳县2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)

2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是( )
A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件
B. 任意画一个三角形，其内角和是是随机事件
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是不可能事件
D. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件
3. 某校调查学生的视力情况，在全校的名学生中随机抽取了名学生，下列说法正确的是( )
A. 此次调查属于全面调查
B. 样本容量是
C. 名学生是总体
D. 被抽取的每一名学生称为个体
4. 下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
5. 九章算术是中国古代数学名著，其中记载：每头牛比每只羊贵两，两买牛，两买羊，买得牛羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为两，则可列方程为( )
A. B. C. D.
6. 把分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值( )
A. 不变
B. 扩大为原来的倍
C. 扩大为原来的倍
D. 缩小为原来的
7. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升
，加热到，停止加热，水温开始下降．此时
水温
与通电时间
成反比例关系．当水温将至时，饮水机再自动加热，若水温在
时
接通电，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 水温从加热到，需要
B. 水温下降过程中，与的函数关系式是
C. 上午点接通电，可以保证当天：能喝到不超过的水
D. 水温不低于
的时间为
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线
交轴于点，交轴
于点，以为边在第一象限作正方形
，其中顶点恰好落在双曲
线
上，现将正方形沿轴向右平移个单位，可以使得顶点落
在双曲线上，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 分式与的最简公分母是______ ．
10. 若点在双曲线上，则代数式的值为______ ．
11. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入个黑球每个球除颜色外其余都与红球相同，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋中红球约有______个．
12. 若等式成立，则字母应满足条件______
13. 已知，则的值等于______．
14. 若分式的值等于，那么等于______ ．
15. 若点，，都在反比例函数的图象上，若则，，的大小关系是______ 请用“”号连接
16. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围为______ ．
17. 已知，则．
18. 如图，点在直线上，轴于点，点在线段上，
以为边作正方形，点恰好在反比例函数为常数，
第一象限的图象上，连接若，则的值为
______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）
19. 化简并求值：，其中
20. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，．
求函数的表达式；
观察图象，直接写出不等式的解集；
若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题
分
化简与求值：
；
．
22. 本小题
分
解方程：
；
．
23. 本小题
分
如图，在▱中，对角线
所在直线上有两点、，满足
，连接
、
、
、
．
求证：四边形是平行四边形；
若，则当______时，四边形是菱形．
24. 本小题分
为了弘扬航天精神，郑州市某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理满分为分，将抽取的成绩在
分之间的记为组，分之间的记为组，分之间的记为组，分之间的记为组，
每个组都含最大值不含最小值，例如组包括分不包括分，得到如下不完整的频数分布直方图与
扇形统计图：
请求出学校抽取的七年级同学的人数；
请求出组的人数并把扇形统计图补充完整；
学校将此次竞答活动的组成绩记为优秀，已知该校七年级共有名学生，请估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数．
25. 本小题分
如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，是高．
若，，则四边形的面积为．
求证：．
26. 本小题分
市面上有、两种类型的口罩，小明用元买型口罩，小丽用元买型口罩．已知每个型口罩比
型口罩贵元，小明和小丽能买到相同数量的口罩吗？
27. 本小题分
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，如
善于思考的小明进行了以下探索：设其中、、、均为整数，则有
，，这样小明就找到了一种把类似
的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当、、、均为正整数，若，用含、的式子分别表示、，得
______ ，______ ；
若，且、、均为正整数，求的值．
化简．
28. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，双曲线经过
的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点．
点的坐标为______，点的坐标为______；
动点在第一象限内，且满足
若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，熟练掌握轴相关定义是解题的关键．
2.【答案】
解析：解：、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，原说法错误，不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，原说法错误，不符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，正确，符合题意．
故选：．
根据事件的分类，逐一进行判断即可．
本题考查的是随机事件及三角形内角和定理，熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件是一定条件下一定发生或一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
3.【答案】
解析：解：、此次调查属于抽样调查，故此选项不合题意；
B、样本容量是，故此选项符合题意；
C、名学生的视力情况是总体，故此选项不合题意；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故此选项不合题意．
故选：．
根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义逐项判断即可解答．
本题主要考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量等知识点，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】
解析：解：．，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5.【答案】
解析：解：设每头牛的价格为两，则设每头羊的价格为两，
由题意得，，
故选：．
设每头牛的价格为两，则设每头羊的价格为两，然后根据两买牛，两买羊，买得牛羊的数量
相等列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
6.【答案】
解析：解：分式中的，的值同时扩大为原来的倍得：
，
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
7.【答案】
解析：解：开机加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为：，
故A选项不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
水温下降过程中，与的函数关系式是，
故B选项不合题意；
令，则，
，
即饮水机每经过分钟，要重新从开始加热一次，
从点点分钟，所用时间为分钟，
而水温加热到分钟，仅需要分钟，
故当时间是点时，饮水机第三次加热，从加热了分钟，
令，则，
故C选项不符合题意；
水温从加热到所需要时间为：，
令，则，
，
水温不低于的时间为，
故选：．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合
题意，利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令，则，求出每分钟，饮水机重新加热，故时间为点时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了分钟，令，代入到反比例函数中，求出，即可得到不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，
再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于
时的时间．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
8.【答案】
解析：解：如图，作轴于，
在中，令，解得：，即的坐标是．令，解得：，即的坐标是．
则，．
，
，
又直角中，，
．
又，，
≌．
，．
．
把代入，
．
反比例函数解析式为．
为，
正方形向右平移个单位，
平移后为．
由平移后在双曲线上，
．
．
故选：．
依据题意，作轴于，可证≌，从而求得的坐标，代入反比例函数解析式求出，由
正方形向右平移落在双曲线上，利用的纵坐标不变代入反比例函数解析式进而求出此时横坐标，平移前后的横坐标的差可以得出的值．
本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得平移后的坐标是关键．
9.【答案】
解析：解：分式与的分母分别是、，故最简公分母是．
故答案为．
确定最简公分母的方法是：
取各分母系数的最小公倍数；
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．如果各分母都是多项式，就可以将各个
分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母或含字母的整式为底数的幂的因式都要取
最高次幂．
10.【答案】
解析：解：将点代入双曲线解析式得：，
，
代数式的值为，
故答案为：．
将点代入双曲线解析式求得的值即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确在反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数是解题的关键．
11.【答案】
解析：解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，口袋中有个黑球，
假设有个红球，
，
解得：，
经检验是分式方程的解，
口袋中有红球约有个．
故答案为：．
根据口袋中有个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
12.【答案】
解析：解：由题意得：，，，
解得：．
故填．
根据二次根式有意义的条件可得，，，由此可得出满足的条
件．
本题考查二次根式有意义的条件，注意一定要保证被开方数为非负数．
13.【答案】
解析：解：，
，
；
故答案为：．
将已知等式的左边通分得，，取倒数可得结论．
本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的通分是关键．
14.【答案】
解析：解：根据题意，得且，
整理，得且．
所以或且，
所以．
故答案为：．
根据分式的值为的条件即可得出答案．
本题考查了分式的值为的条件，掌握分式的值为的条件是分子等于且分母不等于是解题的关键．
15.【答案】
解析：解：，
反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小，
又，
，，，且，
，
故答案为：．
由，可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小，进而得到，，
的大小关系．
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
16.【答案】且
解析：解：原方程左右两边同时乘以，得：，
解得：，
原方程的解为正数且，
，
解得：且，
故答案为：且．
先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出的取值范围．
本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
17.【答案】
解析：解：有意义，
，即，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件得到，则，由此求出，据此即可得到答案．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到是解题的关键．
18.【答案】
解析：解：设正方形的边长为，，则，，
，，
，，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
．
故答案为：．
设正方形的边长为，，则，，于是可表示出，，
利用等腰直角三角形的性质得，，则由可得，然后根据
反比例函数图象上点的坐标特征得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．
19.【答案】解：当时，
原式
解析：根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：把，分别代入得，
，解得，
，；
把代入得，
反比例函数解析式为；
不等式的解集为或；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图，则，
，
此时的值最小，周长最小，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
点的坐标为．
解析：先把，分别代入中求出、的值得到，，然后把点坐标
代入中得到的值，从而得到反比例函数解析式；
写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图，则，根据两点之间线段最短判断此时
的值最小，周长最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而得到点的坐标．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
21.【答案】解：原式
；
原式
．
解析：原式先计算除法，再计算减法运算即可求出值；
利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算加减即可求出值．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
原方程的解为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解．
解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23.【答案】证明：连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
四边形是平行四边形；
．
解析：证明：连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
四边形是平行四边形；
解：当时，四边形是菱形．
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，，
，
由可知，四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
连接，交于点，由平行四边形的性质得出，，证出，由平行四边形的
判定可得出结论；
证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则四边形是菱形，由菱形的性质
证出，，得出，由菱形的判定可得出结论．
24.【答案】解：人，
答：学校抽取的七年级同学的人数为人；
组人数为人，
组人数所占百分比为，组人数所占百分比为，
补全扇形图如下：
人，
答：估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数为人．
解析：由组人数及其所占百分比可得答案；
四组人数之和等于总人数可求得组人数，从而补全图形；
总人数乘以样本中组人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
25.【答案】
证明：、、分别是各边中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
是的高
、是直角三角形，
点、点是斜边、中点，
，，
，，
，
即，
．
解析：
解：，，
，
点、、分别是、、的中点，
、的面积都等于面积的，
四边形的面积，
故答案为：；
见答案．
26.【答案】解：小明和小丽不能买到相同数量的口罩，理由如下：
设型口罩每个元，则型口罩每个元，
根据题意得：．
解得：
经检验，是分式方程的解，
但按此价格，他们都买了个口罩，不符合实际意义；
答：小明和小丽不能买到相同数量的口罩．
解析：设型口罩每个元，则型口罩每个元，根据题意列出分式方程．解之并检验．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．27.【答案】
解析：解：仿照小明的方法，将展开，得：
，
将与的系数进行对比，可得：
、．
故答案为：，．
观察可知，
，
由中的规律可知，
，
则，
由于、均为正整数，则有：
或
将、代入，得：
，
将、代入，得：
，
综上可知，的值为或．
．
根据小明的方法，将按完全平方公式展开，和的系数进行对比，即可求出和的值；
欲求出，，的值，需要先求出，的值，根据题意可知，进而得到，结合，
均为正整数即可求出，的值；再根据即可求出的值．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，并对相应的运算法则的掌握．
28.【答案】
解析：解：四边形是矩形，
，
，
点是的中点，
，
，
，
当时，，
，
故答案为：，；
由题意知，
，
．
，
，
，
的坐标为；
由知，点在直线上，设直线交轴于，
当时，若点在第一象限，
，
，
当点在第四象限舍去，
当时，
同理得，，，
当时，点，
则点与关于对称，
，
综上，点或或或．
根据矩形的性质得点的坐标，再利用中点坐标公式得点的坐标，从而得出的值，再将代入即可；
首先根据，求出的面积，再根据得出点
的横坐标，从而得出答案；
由知，点在直线上，设直线交轴于，分，，三种情形，分别
利用菱形的性质可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，三角形的面积等知识，明确点在直线上运动是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．。