高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》311PPT课件 一等奖名师
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2．此类题目的求解策略： (1)找基线(如本题中AC)． (2)测基线长及视角(如AC、∠BAC及∠BCA)． (3)用正弦定理求解两点间的距离(AB的长)．
变式训练1 在题设条件不变的情况下，求水田的宽 度． 解：过B作BD⊥AC，在Rt△BDA及Rt△BDC中
AD＝taBn3D0°，CD＝taBn4D5°. 又AC＝AD＋CD＝taBn3D0°＋taBn4D5°＝8， ∴BD＝ 38＋1＝4( 3－1) (m)． 即水田的宽度为4( 3－1)米．
4. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰 好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的 南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船 的速度是每小时________．
解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所 以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而 CD＝CA＝10，在直角三角形 ABC 中，可得 AB＝5，于是这只船的速度是05.5＝10(海里/小 时)．
变式训练2 如图，隔河看两目标A，B，但不能到 达，在岸边选取相距 3 km的C，D两点，并测得∠ACB＝ 75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B， C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.
解析：在△ABC中， ∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，可得 AC＝ABsi·nsiCnB＝12s0insi6n07°5°＝20(3 2＋ 6)．
设C到AB的距离为CD，则CD＝ACsin∠CAB＝
2 2
AC＝
20( 3＋3)．
∴河的宽度为20( 3＋3)米 .
定理
正弦定理
余弦定理
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B ，
c＝ 2Rsin C ；
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR， 变形 形式 sin C＝2cR；
b2＋c2－a2 cos A＝ ___2_b_c__________；
c2＋a2－b2 cos B＝_____2_a_c________；
5．如图所示，若小河两岸平行，为知道河对岸边两棵 树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A， B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠ DBC＝90°，∠DAB＝75°.试求C，D间的距离．
解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝60°＋90°＝150°，所以 C＝180°－150°＝30°，
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为： 实际问题 画图形
新方向走了3 km，结果离出发点恰好为 3 km，那么x的值
为( )
A. 3
B．2 3
C．2 3或 3
D．3
解析：由余弦定理可知x2＋32－6xcos30°＝( 3)2 即x2－3 3x＋6＝0 解得x＝ 3或2 3 经检验x＝ 3及2 3都符合题意．
答案：C
3．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A， B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， AB＝120米，则河的宽度为________．
[解] ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°， 在△ABC中，由余弦定理得
又∠DCA＝60°，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°
∴∠DAC＝60°.
∴AD＝CD＝AC＝
3 2 a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
＝34a2＋38a2－2× 23a× 46a× 22＝38a2.
∴AB＝
∴AC＝CD＝ 3 km.
在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
在△BCD中，由正弦定理，得BC＝
s3isni6n07°5°＝
6＋ 2
2 .
则在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA
＝(
3)2＋(
6＋ 2
2)2－2
3×
6＋ 2
2cos75°＝5.
类型二 测量两个不可到达的点之间的距离
[例2] 在一次反恐作战战前准备中，为了弄盟军在两个相距为
3 2a
的观测点C和D处，测得∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠
DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示．求基地组织的这两 个训练营地之间的距离．
[分析] 可将AB放在△ABC中来求，为此应先求出AC 和BC，再用余弦定理求AB.
2．基线 在测量上，我们根据测量需要适当确定的_线__段___叫做 基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长 度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越__长__， 测量的精确度越高．
典例导悟 类型一 测量从一个可到达的点，到一个不可到达的 点之间的距离
[例1] 为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所 示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠ BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．
数学模型
实际问题的解
解 三 角 形 检验（答）
数学模型的解
[解] 根据正弦定理得
sin∠ABACB＝sin∠ACABC，
∴AB＝ACsisni∠n∠ABACCB＝sin1808°s－in4350°°－45°
＝
42 6＋
2＝8(
3－1) (m)
4
即A，B间的距离为8( 3－1)米．
[点评] 1.如图，测量从一个可到达的点到一个不可到 达的点之间距离问题，实际上就是已知三角形两个角和一 边解三角形的问题，用正弦定理就可解决问题．
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B ∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝
a2＋b2－c2 cos C＝_____2_a_b_________
csin B，asin C＝csin A
自主学习
1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_上__方___的角叫仰 角，在水平线_下__方___的角叫俯角(如图①)．
课堂自测
1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组 数据，较适宜的是( )
A．a和c
B．c和b
C．c和β
D．b和α
解析：在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，
在本题中AC可看作基线，在△ABC中，能够测量到的边角
为b，α.
答案：D
2．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿
∠ADB＝180°－75°－60°＝45°. △ABD中，由正弦定理得AD＝ABsi·nsi∠n∠ADABBD＝3 6. 由余弦定理得
BD＝ AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB＝3＋3 3. 在Rt△BDC中，CD＝siBn3D0°＝6＋6 3， 即CD的长为(6＋6 3) m.
课堂小结
—距离
富顺三中 丁家翠
知识回顾
• 正、余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
a sin A 内容 2R
b
c
＝___si_n_B__＝__si_n_C__＝
(其中R是△ABC外接圆半径)
a2＝ b2＋c2－2bccos A ； b2＝ c2＋a2－2cacos B ；
c2＝ a2＋b2－2ab_c_o_s_C__
∴AB＝ 5 km.
∴两目标A，B之间的距离为 5 km.
方法感悟
求距离问题的注意事项： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三 角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放 在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便 于计算的定理．
这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问 题，用_正__弦__定__理___就可解决．
(2)测量两个不可到达的点 A，B 之间的距离问题．如图 所示．
首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用
_余___弦__定__理__求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的
距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间 距离的问题．
2．方位角 从正______方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．
北
3．方向角 相对于某一正方向的角(如图③)．
(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°. (3)其他方向角类似．
新知初探 1．距离问题 (1)测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之 间的距离问题．如图所示．
6 4 a.
∴siBn3C0°＝siCn4D5°，
即两个训练营地之间的距离为
6 4 a.
∴BC＝
6 4 a.
[点评] 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一 般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明 确题意根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用 正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当．
变式训练1 在题设条件不变的情况下，求水田的宽 度． 解：过B作BD⊥AC，在Rt△BDA及Rt△BDC中
AD＝taBn3D0°，CD＝taBn4D5°. 又AC＝AD＋CD＝taBn3D0°＋taBn4D5°＝8， ∴BD＝ 38＋1＝4( 3－1) (m)． 即水田的宽度为4( 3－1)米．
4. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰 好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的 南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船 的速度是每小时________．
解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所 以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而 CD＝CA＝10，在直角三角形 ABC 中，可得 AB＝5，于是这只船的速度是05.5＝10(海里/小 时)．
变式训练2 如图，隔河看两目标A，B，但不能到 达，在岸边选取相距 3 km的C，D两点，并测得∠ACB＝ 75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B， C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.
解析：在△ABC中， ∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，可得 AC＝ABsi·nsiCnB＝12s0insi6n07°5°＝20(3 2＋ 6)．
设C到AB的距离为CD，则CD＝ACsin∠CAB＝
2 2
AC＝
20( 3＋3)．
∴河的宽度为20( 3＋3)米 .
定理
正弦定理
余弦定理
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B ，
c＝ 2Rsin C ；
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR， 变形 形式 sin C＝2cR；
b2＋c2－a2 cos A＝ ___2_b_c__________；
c2＋a2－b2 cos B＝_____2_a_c________；
5．如图所示，若小河两岸平行，为知道河对岸边两棵 树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A， B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠ DBC＝90°，∠DAB＝75°.试求C，D间的距离．
解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝60°＋90°＝150°，所以 C＝180°－150°＝30°，
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为： 实际问题 画图形
新方向走了3 km，结果离出发点恰好为 3 km，那么x的值
为( )
A. 3
B．2 3
C．2 3或 3
D．3
解析：由余弦定理可知x2＋32－6xcos30°＝( 3)2 即x2－3 3x＋6＝0 解得x＝ 3或2 3 经检验x＝ 3及2 3都符合题意．
答案：C
3．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A， B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， AB＝120米，则河的宽度为________．
[解] ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°， 在△ABC中，由余弦定理得
又∠DCA＝60°，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°
∴∠DAC＝60°.
∴AD＝CD＝AC＝
3 2 a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
＝34a2＋38a2－2× 23a× 46a× 22＝38a2.
∴AB＝
∴AC＝CD＝ 3 km.
在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
在△BCD中，由正弦定理，得BC＝
s3isni6n07°5°＝
6＋ 2
2 .
则在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA
＝(
3)2＋(
6＋ 2
2)2－2
3×
6＋ 2
2cos75°＝5.
类型二 测量两个不可到达的点之间的距离
[例2] 在一次反恐作战战前准备中，为了弄盟军在两个相距为
3 2a
的观测点C和D处，测得∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠
DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示．求基地组织的这两 个训练营地之间的距离．
[分析] 可将AB放在△ABC中来求，为此应先求出AC 和BC，再用余弦定理求AB.
2．基线 在测量上，我们根据测量需要适当确定的_线__段___叫做 基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长 度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越__长__， 测量的精确度越高．
典例导悟 类型一 测量从一个可到达的点，到一个不可到达的 点之间的距离
[例1] 为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所 示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠ BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．
数学模型
实际问题的解
解 三 角 形 检验（答）
数学模型的解
[解] 根据正弦定理得
sin∠ABACB＝sin∠ACABC，
∴AB＝ACsisni∠n∠ABACCB＝sin1808°s－in4350°°－45°
＝
42 6＋
2＝8(
3－1) (m)
4
即A，B间的距离为8( 3－1)米．
[点评] 1.如图，测量从一个可到达的点到一个不可到 达的点之间距离问题，实际上就是已知三角形两个角和一 边解三角形的问题，用正弦定理就可解决问题．
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B ∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝
a2＋b2－c2 cos C＝_____2_a_b_________
csin B，asin C＝csin A
自主学习
1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_上__方___的角叫仰 角，在水平线_下__方___的角叫俯角(如图①)．
课堂自测
1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组 数据，较适宜的是( )
A．a和c
B．c和b
C．c和β
D．b和α
解析：在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，
在本题中AC可看作基线，在△ABC中，能够测量到的边角
为b，α.
答案：D
2．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿
∠ADB＝180°－75°－60°＝45°. △ABD中，由正弦定理得AD＝ABsi·nsi∠n∠ADABBD＝3 6. 由余弦定理得
BD＝ AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB＝3＋3 3. 在Rt△BDC中，CD＝siBn3D0°＝6＋6 3， 即CD的长为(6＋6 3) m.
课堂小结
—距离
富顺三中 丁家翠
知识回顾
• 正、余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
a sin A 内容 2R
b
c
＝___si_n_B__＝__si_n_C__＝
(其中R是△ABC外接圆半径)
a2＝ b2＋c2－2bccos A ； b2＝ c2＋a2－2cacos B ；
c2＝ a2＋b2－2ab_c_o_s_C__
∴AB＝ 5 km.
∴两目标A，B之间的距离为 5 km.
方法感悟
求距离问题的注意事项： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三 角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放 在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便 于计算的定理．
这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问 题，用_正__弦__定__理___就可解决．
(2)测量两个不可到达的点 A，B 之间的距离问题．如图 所示．
首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用
_余___弦__定__理__求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的
距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间 距离的问题．
2．方位角 从正______方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．
北
3．方向角 相对于某一正方向的角(如图③)．
(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°. (3)其他方向角类似．
新知初探 1．距离问题 (1)测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之 间的距离问题．如图所示．
6 4 a.
∴siBn3C0°＝siCn4D5°，
即两个训练营地之间的距离为
6 4 a.
∴BC＝
6 4 a.
[点评] 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一 般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明 确题意根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用 正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当．