惠州市2018届高三第一次调研考试(理数)

惠州市2018届高三第一次调研考试
数学（理科）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每一个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必需用黑色笔迹签字笔作答，答案必需写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

4．考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分. 在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. （1）已知集合{|12}M x x =-≤≤，{|2}x
N y y ==，那么M
N =（ ）
A ．(0,2]
B ．(0,2)
C ．[0,2]
D ．[2,)+∞
（2）已知a 是实数，i 是虚数单位，假设1a i
i
-+是纯虚数，那么a =（ ） A. 1 B.
1 C.
2 D.
2
（3）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（ ） A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
（4）已知概念域为R 的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，且(1)2f =， 那么不等式2(log )2f x >的解集为（ ） A ．(2,)+∞ B .1(0,)
(2,)2
+∞ C .2
(2,)+∞ D .2,)+∞
D
C B A z
y
o
x
（5）点()y x P ,为不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-+≥--012083022y x y x y x 所表示的平面区域内的动点，
则
x y
的最小值为（ ） A ．2
1- B ．2- C ．3- D ．31-
（6）设命题p ：假设概念域为R 的函数()f x 不是偶函数，那么x R ∀∈，()()f x f x -≠． 命题q ：()||f x x x =在(,0)-∞上是减函数,在(0,)+∞上是增函数． 那么以下判定错误的选项是（ ） A ．p 为假 B ．
q 为真 C ．p ∨q 为真 D. p ∧q 为假
（7）已知函数()3cos()(0)3
f x x π
ωω=+
>和()2sin(2)1g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相
同，假设[0,]3
∈x π
，那么()f x 的取值范围是（ ）
A.[3,3]-
B.3
[,3]2- C.33[-
D.3
[3,]2
-
（8）一个四面体的极点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标别离是(0,0,0),(1,0,1,） (0,1,1),1
(,1,0)2
，绘制该四面体三视图时, 正视图的方向如以下图所示，
那么取得左视图．．．
能够为（ ）
（9）三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包括四个全等的勾股形及一个小正方形，别离涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，
利用⨯2勾⨯股+()2
勾—股⨯=4朱实+黄实=弦实，化简得：勾2+股2
=
弦2．设勾股形中勾股比为3:1，假设向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大
小忽略不计），那么落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）(
)
732.13≈
A ．866
B ．500
C ．300
D ．134
朱
朱 朱
朱
黄
（10）已知函数()x f y =的概念域为R ，且知足以下三个条件：
①对任意的[]84,21，
∈x x ，当21x x <时，都有()()02
121>--x x x f x f 恒成立；
② ()()x f x f -=+4； ③ ()4+=x f y 是偶函数；
若()()()2017116f c f b f a ===，，，那么c b a ,,的大小关系正确的选项是（ ） A. c b a << B. c a b << C. b c a << D. a b c <<
（11）已知三棱锥S ABC -，ABC ∆是直角三角形，其斜边8,AB SC =⊥平面,ABC
6SC =，那么三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．64π
B ．68π
C ．72π
D ．100π
（12）已知12,F F 别离是双曲线22
221(,0)y x a b a b
-=>的两个核心，过其中一个核心与双曲线
的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，假设点M 在以线段12F F 为直径的圆内，那么双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．(1, 2)
B ．(2, +∞) C
．(1, D
．)+∞ 二．填空题：此题共4小题，每题5分。

（13）执行如下图的程序框图，那么输出S 的结果为 ． （14
）二项式6
(x +
展开式中的常数项是 ． （15）已知正方形ABCD 的中心为O 且其边长为1， 则()()
=+⋅- ．
（16）已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边，4=a ，)64(，∈b ，
C A sin 2sin =，那么边c 的取值范围是 .
三．解答题：共70分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每一个考生都必需作答。

第22、23题为选考题，考生依照要求作答。

（一）必考题：共60分。

（17）（本小题总分值12分）
在公差不为0的等差数列{}n a 中，148,,a a a 成等比数列． （1）已知数列{}n a 的前10项和为45，求数列{}n a 的通项公式； （2）假设11n n n b a a +=
，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，假设11
99
n T n =-+， 求数列{}n a 的公差．
（18）（本小题总分值12分）
已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 动身沿着圆柱的侧面抵达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线l 如下图．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转 (0)θθπ<<后，边11B C 与曲线l 相交于点P ．
（1）求曲线l 长度； （2）当2
π
θ=
时，求点1C 到平面APB 的距离．
（19）（本小题总分值12分）
第二轮企业出海潮到来。

例如在智能电话行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌电话公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工。

该企业为了解这两个年龄层员工是不是情愿被外派工作的态度，按分层
（1）依照调查的数据，是不是有以上的把握以为“是不是情愿被外派与年龄有关”，并说明理由； （2）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加。

70后员工中有情愿被外派的3人和不肯意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到情愿被外派的人数为x ；80后员工中有情愿被外派的4人和不肯意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到情愿被外派的人数为y ，求x y <的概率． 参考数据：
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
（20）（本小题总分值12分）
如图，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右极点为(2,0)A ，左、右核心别离为1F 、2F ，过
点A 且斜率为
1
2
的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点
B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点1F ．
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点P 且斜率大于
1
2
的直线与椭圆交于,M N 两点（||||PM PN >），假设:PAM PBN S S λ∆∆=，求实数λ的取值范围．
（21）（本小题总分值12分）
已知函数x ax x x f ln 2)(2+-=（其中a 是实数）． （1）求)(x f 的单调区间；
（2）假设320)1(2<<+a e e ，且)(x f 有两个极值点1x 212,()x x x <，
求)()(21x f x f -的取值范围．（其中e 为自然对数的底数）．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

若是多做，那么按所做的第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

（22）（此题总分值10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩
⎪⎨⎧
+-=-=t
y t x 54
2532（t 为参数）．以坐标原点为极点，
以x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）假设1C 与2C 交于A B ,两点，点P
的极坐标为π4⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，求11||||PA PB +
的值．
（23）（此题总分值10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数()211,()f x x x g x x a x a =-++=-++． （1）解不等式()9f x >；
（2）12,x x ∀∈∃∈R R ，使得12()()f x g x =，求实数a 的取值范围．
数学（理科）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C B D C D B D B D A 1【解析】依题意得
[1,2]
M=-，(0,)
N=+∞(0,2]
M N
∴=．
2【解析】设
i
=i (0)
1i
a
b b
-
≠
+
，那么i=(1i)i=i
a b b b
-+-+，因此{,1,a b b=-=-解得a=1, 选择A
3【解析】由题意，末尾是0，2，4，末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3 个，因此共有4+3+3=10个，应选C．
4【解析】()
f x是R的偶函数，在(,0]
-∞上是减函数，因此()
f x在[0,)
+∞上是增函数，
因此
2
(log)2(1)
f x f
>=
2
(|log|)(1)
f x f
⇔>
2
|log|1
x
⇔>
2
log1
x
⇔>或2
log1
x<-2
x
⇔>或
1
2
x
<<. 答案B.
5【解析】如下图，不等式组
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
-
+
≤
-
+
≥
-
-
1
2
8
3
2
2
y
x
y
x
y
x
所表示的平面区域为图
中阴影部份．由
⎩
⎨
⎧
=
-
+
=
-
+
1
2
8
3
y
x
y
x
可得
⎩
⎨
⎧
-
=
=
1
3
y
x
，故()1
,3-
A．
x
y
的几
何意义为直线OP的斜率，故当点P与点A重合时直线OP的斜率的
最小，现在
3
1
-
=
OP
k．
6【解析】函数()
f x不是偶函数，仍然可,(-)()
x f x f x
∃=
使，p为假；
()||
f x x x
==
2
2
(x0)
(x0)
x
x
⎧≥
⎪
⎨
-<
⎪⎩
在R上都是增函数，q为假；以p∨q为假，选C．7【解析】因为函数f(x)和g(x)的图象的对称轴完全相同，故f(x)和g(x)的周期相同，因此ω
=2，()3cos(2)
3
f x x
π
=+，由[0,]
3
∈
x
π
，得2[,]
33
x
ππ
π
+∈，依照余弦函数的单调性，当
2
3
x
π
π
+=，即
3
x
π
=时，f (x)min=3-，当2
33
x
ππ
+=，即0
x=时，f (x)max=
3
2
，因此f (x)的取值范围是
3
[3,]
2
-，选择D.
8【解析】知足条件的四面体如左图，依题意投影到yOz平面为正投影，因此左（侧）视方向如下图，因此取得左视图成效如右图，故答案选B．
9【解析】设勾为a ，那么股为a 3 ， ∴ 弦为a 2 ，小正方形的边长为a a -3．因此图中大正方形的面积为 2
4a ，小正方形面积为
(
)
22
13a - ，因此小正方形与大正方形的面
积比为
(
)
2
3
14132
-
=- ∴ 落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为 1341000231≈⨯⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
． 10【解析】由①知函数()x f 在区间[]84，上为单调递增函数；由②知()()()x f x f x f =+-=+48，即函数
()x f 的周期为8，因此
()()()1182522017f f f c =+⨯==，()()311f f b ==；由③可知()x f 的图象关于直线4=x 对称，因此()()()5311f f f b ===，()()71f f c ==；因为函数()x f 在区间[]84，
上为单调递增函数，因此()()()765f f f <<，即c a b <<
11【解析】此题考查空间几何体的表面积.三棱锥S −ABC 所在长方体的外接球,即三棱锥所
在的外接球;因此三棱锥的外接球的直径2R =√AB 2+SC 2=10,即三棱锥的外接球的半径
R=5;因此三棱锥的外接球的表面积S =4πR 2=100π.选D.
12【解析】如图1，不妨设12(0,),(0,)F c F c -，则过F 1与渐近线a
y x b
=
平行的直线为a
y x c b
=
+， 联立,,a y x c b a y x b ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得,2,2
bc x a c y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即(,)22bc c M a -
因M 在以线段12F F 为直径的圆222x y c +=内，
故22
2()()22
bc c c a -
+<，化简得223b a <, 即2223c a a -<，解得2c
a
<，又双曲线离心率
1c
e a =>，因此双曲线离心率的取值范围是(1，2). 选择A.
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
13． 30 14．240 15． 1 16．)102,24( 13．【解析】第一次，i=1，知足条件，i ＜6，i=1+2=3，S=6，
第二次，i=3，知足条件，i ＜6，i=3+2=5，S=6+10=16， 第三次，i=5，知足条件，i ＜6，i=5+2=7，S=16+14=30， 第四次，i=7，不知足条件i ＜6，程序终止， 输出S=30，故答案为：30
14．【解析】二项式
6
)2(x
x +
展开式的通项公式为r r
r
r x C T 2
366
1
2-+=，令023
6=-r ，求得
4=r
，因此二项式
6
(x +
展开式中的常数项是46
C ×24=240．
15．【解析】()()
145cos 21=⨯⨯=⋅=+⋅- 16．【解析】由正弦定理
C c A sin sin 4=，A
c
A 2sin sin 4=
∴，A c cos 8=∴， 由余弦定理A bc c b cos 16162
2
-+=，A b A b 2
2
2
cos 16cos 6416-=-∴
164)4(16)4)(4(166416cos 22
b b b b b b A +=-+-=--=，b b A
c 41616
464cos 642
2+=+⨯==
由)64(，∈b ，40322<<c ，10224<<∴c .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程）
17．（本小题总分值12分） 【解】（1）设数列}{n a 的公差为d （0≠d ），
由148,,a a a 成等比数列可得2418a a a =⋅，即)7()3(1121d a a d a +⋅=+，得d a 91= (4)
分
由数列{}n a 的前10项和为45得4545101=+d a ，即454590=+d d ，因此
3,3
1
1==a d ．
故数列}{n a 的通项公式为：3
8
31)1(3+=
⨯-+=n n a n ． …………8分 （2）因为11
n n n b a a +=
)11(11
+-=n n a a d ，
因此数列{}n b 的前n 项和为
n T )11(1)11()11()11(11113221
++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=
n n n a a d a a a a a a d
， 即n T n n
d nd d d d nd a a d +-=+-=+-=+-=
9191)9191(1)9191(1)11(1211，
因此
11
2=d
，解得公差1-=d 或1． …………12分 18．（本小题总分值12分）
【解】(1) l 在侧面展开图中为BD 的长，其中AB = AD = π，
∴l
; …………………………3分 (2)当2
π
θ=
则有(0,1,0)A -、(0,1,0)B 、(1,0,)2P π
-、1(C -(0,2,0)AB ⇒=、(1,0,)2
AP π
=-、1(1,0,OC =-设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，那么2y x ⎧⎪
⎨-⎪⎩取z = 2得(,0,2)n π=，……………………10分
因此点C 1到平面PAB 的距离为12||||
OC n d n π==
；……………………12分
注：此题也能够利用等积法求解．
19．（本小题总分值12分）
【解】（1）222
()100(20204020)()()()()60406040
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==
++++⨯⨯⨯ 400400100
2.778 2.7065760000
⨯⨯=
≈> ………4分
因此有90% 以上的把握以为“是不是情愿外派与年龄有关” …………5分 （2）“x y <”包括：“0,1x y ==”、 “0,2x y ==”、 “0,3x y ==”、 “1,2x y ==”、 “1,3x y ==”、 “2,3x y ==”六个互斥事件…………6分
且0312334233664
(0,1)400C C C C P x y C C ===⨯=，0321334233
6612(0,2)400C C C C P x y C C ===⨯= 0330334233664
(0,3)400C C C C P x y C C ===⨯=，1221334233
66108(1,2)400C C C C P x y C C ===⨯= 12303342336636(1,3)400C C C C P x y C C ===⨯=，2130334233
6636
(2,3)400
C C C C P x y C C ===⨯= 因此：412410836362001
()4004002
P x y +++++<=
== ．
…………12分
20．（本小题总分值12分）
【解】（1）因为1BF x ⊥轴，取得点2(,)b B c a
--， …………2分
因此2
2222
21()21
a a b
b a a
c c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨+⎪⎪=⎩⎪=+⎩
，因此椭圆C 的方程是22143x y +
=． …………5分 （Ⅱ）因为1
sin 22(2)112sin 2
PAM PBN PA PM APM
S PM PM S PN PN PB PN BPN λ
λλ∆∆⋅⋅∠⋅===⇒=>⋅⋅⋅∠ ……6分
因此2PM PN λ
=-．由（Ⅰ）可知(0,1)P -，设MN 方程:1y kx =-，1122(,),(,)M x y N x y ，
联立方程221143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(43)880k x kx +--=．即得122122843843k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
（*） 又1122(,1),(,1)PM x y PN x y =+=+，有122
x x λ
=-， …………7分
将122
x x λ
=-
代入（*）可得：
2
2
2(2)1643
k k λλ
-=+． …………8分 因为1
2k >，有22
2
1616(1,4)3434k k k =∈++， …………9分 则2
(2)14λλ
-<
<且2λ
>44λ⇒<<+ (没考虑到2λ>扣1分) ………11分
综上所述，实数λ
的取值范围为(4,4+． …………12分 注：假设考生直接以两个极端位置分析得出答案，只给结果2分. 21．（本小题总分值12分）
【解】（1）()f x 的概念域为(0)+∞，，2222
()2x ax f x x a x x
-+'=-+=
，…….1分 令2
()22g x x ax =-+，2
16a ∆=-，对称轴4
a
x =
，(0)2g =， 1)当162-=∆a ≤0，即－４≤a ≤4时，)(x f '≥0
于是，函数()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无单调递减区间．………………2分 2)当162-=∆a ＞0，即4a <-或4a >时，
①假设4a <-，那么()0f x '>恒成立,于是，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无减区间．……3分
②假设4a >令()0f x '=
，得14a x =
，24
a x =，
当12(0)
()x x x ∈+∞，，时，()0f x '>，当12()x x x ∈，时，()0f x '<．
于是，()f x 的单调递增区间为1(0)x ，和2()x +∞，
，单调递减区间为12()x x ，．……4分 综上所述：当4a 时， ()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无单调递减区间．
当4a >时，()f x 的单调递增区间为1(0)x ，和2()x +∞，
，单调递减区间为12()x x ，．…5分
（2）由（1）知，假设()f x 有两个极值点，那么4a >，且1202
a
x x +=
>，121x x =，1201x x ∴<<<
又
211220x ax -+=，1112()a x x =+
，1202()3
e a e +<<,11111
33e x e x +<+
<+，又101x <<，解得,111
3x e
<<……………………………………………7分
于是，22
121211222()()()ln ()ln 2f x f x x x a x x ax x -=--+-+
22
121212)(2(ln l (n ))x x x x x x a =----+112122)2()(ln 2x x x x a a x x -⋅-=+-
11111))4l 11(n (x x x x x -
⋅+=-+21121
1
4ln x x x =+-……………………………………9分
令2
2()l 14n h x x x x =-
+1(2x <<，那么223
2(1)()0x h x x --'=<恒成立， ()h x ∴在11(,)3e
…………………………12分
22.（本小题总分值10分）
【解】（1）曲线1C 的一般方程为4320;x y +-= 2分 曲线2C 的直角坐标方程为:2y x =.
5分
（2）1C 的参数方程的标准形式为32,5
(42.5x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩为参数)代入2y x =得 29801500,t t -+= 6分
设12,t t 是A B 、对应的参数,则12128050
0.93
t t t t +=
=>， 7分 1212||11||||8.||||||||||15
t t PA PB PA PB PA PB t t ++∴+===⋅ 10分 23.（本小题总分值10分）
【解】（Ⅰ）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧
≥⎪⎪
⎪
=--<<⎨⎪
-≤⎪⎪⎩
2分
()9f x >等价于111,
,1,22303929
x x x x x x ⎧⎧
≤-≥-<<⎧⎪⎪⎨⎨⎨
->⎩⎪⎪>->⎩⎩或或 3分 综上,原不等式的解集为{|33}.x x x ><-或 5分
（2）||||2||.x a x a a -++≥ 7分
由(Ⅰ)知13
()().22
f x f ≥=
因此3
2||2
a ≤
， 9分 实数a 的取值范围是33
[,].44
-
10分。