最新人教版-数学-九年级上册 教学课件 第二十二章 二22.3 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线

（2）y=ax2+k
（3）y=a(x−h)2+k （4）y=ax2+bx
问题引入
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面 宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
−4
2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.
令
1 2
x2
3,
解得
x1
6, x2
6.
即，水面下降1m时，水面宽度增加 2 6 4 m.
12
B
y （2，2） 我们来比较一下
y
（0，0）
o
x
（0，0）
o
（4，0） x
y （0，2）
谁最 合适
（−2，−2） （2，−2）
（−2，2）
y
（−2，0） （2，0）
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得
81.5=a•4502+0.5.
解得
a
81 4502
1 2500
故所求表达式为
y 1 x2 0.5(450 x 450) 2500
y
−450 O
根据对称性，如果不计其他因素，那么水池的半
径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
y
● B(1,2.25)
A (0,1.25)
●
D
o
x
●
C
例3 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距 离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运 行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时， 篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中 心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少米？
A.50m
B.100m
C.160m
D.200m
4.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中， 求出这条抛物线表示的函数的解析式.
C A
y O
h 20 m
解：设该拱桥形成的抛
x 物线的解析式为y=ax2.
D B
∵该抛物线过(10,−4),
∴−4=100a，a=−0.04
∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米．
能力提升 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形 状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂 直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两 主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥 面的高度为0.5 m.
y
−450 O
450 x
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建 立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函 数表达式；
1 (x﹣6)2+10， 6
所以对称轴为x＝6，
由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为
（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝
22 3
＞6，
所以这辆货车能安全通过.
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地 面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么 两排灯的水平距离最小是多少米？
o
x
（−4，0）
o （0，0） x
知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
典例精析
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方
形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面
直角坐标系，抛物线可以用y＝ − 1 x2+2x+c表示． 6
（1）请写出该抛物线的函数关系式；
解：（1）根据题意得C（0，4），
把C（0，4），
代入y＝
1
−
x2+2x+c得c＝4，
6
1 所以抛物线解析式为y＝− 6 x2 +2x+4.
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m， 宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货 车能否安全通过？
（2）抛物线解析式为y＝− 1 x2+2x+4 6
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为y 1 x2 1 x 3 ，
8 22
那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米. y
O
x
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组 成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根 不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图）， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ C ）
2 a 22
−2 −1 −2
12
A
−4
解得 a 1 2
因此，y 1 x2，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是 2
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
问题4 水面下降1m，水面宽度 增加多少？
−2 −1
−2
这条抛物线表示的二次函数
为y= 1 x2.
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第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
导入新课
情境引入
生活中我们可以看到很多抛物线形的物体，比如 拱桥、喷泉等。
如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的
位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y
y
y
O
x
O
x
Ox
（1）y=ax2
（2）由题意得车沿着隔离
y
带边沿行驶时，车最左侧
离边沿处，x＝7.5−3.5＝4，
当x＝4时，y＝6，
x
即允许的最大高度为6米，
5.8＜6，故该车辆能通行.
二 利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出
的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出
水流离喷嘴的水平距离x(m)之间满足 y 1 x2 2x. 2
∴y=−0.04x2.
5.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳 后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动 员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离 为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度 为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m， 求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）． 解：设抛物线的解析式为y＝a(x − h)2+k，
合作探究
问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图 象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标是（0.0），因此这个二 次函数的形式为 y ax2
问题3 如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，−2） 在抛物线上，由此得出
450 x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢 索的长.
解：当x=450－100=350时，得
y 1 3502 0.5 49.5.
y
2500
当x=450－50=400时，得
y 1 4002 0.5 64.5. 2500
−450 O
450 x
即距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的 长分别为49.5m、64.5m.
解：建立如图所示的坐标系. 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为 (1，2.25).
数学化
y
● B(1,2.25)
A (0,1.25)
●
D
o
x
●
C
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛 物线表达式为：y=－ (x−1)2+2.25.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(−2.5,0) .
课堂小结
转化
实际问题 （实物中的抛物线形问题） 回归
数学模型
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛 物线问题
转化的关键
建立恰当的 直角坐标系
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法.
人教版-数学-九年级上册
同学们下课了
解得
a=－0.2， k=3.5.
所以该抛物线的表达式为y=−0.2x2+3.5.
y
当 x=−2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m.
O
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式 h=−4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过 的时间，则球在 4 s后落地.
（1）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
解：（1）∵
y
1 2
x2
2x
1 2
(x

2)2
2.
故当x＝2时，喷嘴喷出水流的最
大高度是y＝2.
（2）令y=0,即 1 x2 2x 0. 2
解得x1=0,x2=4. 即喷嘴喷出水流的最远距离为4m．
变式 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面 处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由 柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状 相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计 成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如 果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少m才能使 喷出的水流不致落到池外？
根据题意得：抛物线的顶点 坐标为（15，45），
∴y＝a(x −15)2+45，
∵与x轴交于点A（60，0），
∴0＝a(60−15)2+45， 1
解得：a＝− 45 ∴解析式为y＝− 1 (x −15)2+45，
45 1
令x＝0得：y＝− 45× (0 −15)2+45＝40，
∴点B的坐标为（0，40），
解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05）， 篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处.
y
O
x
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x−0)2+k ， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
2.25a+k=3.05， k=3.5，
（3）令y＝8，则 1 (x﹣6)2+10＝8， 6
解得x1＝6+2 3 ，x2＝6﹣2 3.
则x1﹣x2＝4 3.
所以两排灯的水平距离最小是
4 3 m.
变式 如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路
隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物
线的函数解析式；
y
解：（1）如图，以O为原点建
立直角坐标系，易得抛物线的
顶点坐标为（8，8）.
设y＝a(x﹣8)2+8，
x
将点（0，0）代入上式得0＝64a+8，
解得 a 1.
8
故函数的表达式为
y 1 (x 8)2 8（0≤x≤16）.
8
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1 米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、 高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．