27.4 正多边形和圆 课件 2023—2024学年华东师大版数学九年级下册
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到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？学生思考，小组交
流.教师根据学生回答进行总结.
正八边形的中心角是
45 °.
单元构建
圆内接正多边形的画法
阅读课本本课时“图27.4.6”右边的内容至“练习”，完成
下列问题.
·导学建议·
教师可引导分析:1.正方形的中心角为90°，说明两条半径
互相垂直；2.正六边形的中心角是60°，说明半径和边长构成等
边三角形，故正六边形的半径等于边长.
单元构建
1.尺规作图.
(1)利用尺规作图作出☉O的圆内接正方形(不写作法，保留
作图痕迹).
(2)利用尺规作图作出☉M的圆内接正三角形(不写作法，保
留作图痕迹).
(3)在用尺规作图作圆内接正方形、正六边形的基础上，你
还可以作出哪些正多边形？(举出四个即可)
单元构建
边数是(
A.4
B )
B.5
C.6
D.7
单元构建
4. 如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个
的长分别为 2
正六边形的边心距OM和
，
.
单元构建
已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径
是a，求正六边形的周长和面积.
单元构建
解:如图，过点O作OM⊥AB于点M，连接OA.由于多边形
单元构建
归纳总结
切圆
任何正多边形都有一个
.这两个圆有公共的
外接圆 和一个
内
圆心 ，称其为正多边形的中心.外
接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形
的边心距.正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫
做正多边形的中心角.
单元构建
·导学建议·
教师可提出问题:如果将圆n等分，依次连接各等分点，得
分线 的交点，因此点O到正五边形各顶点的距离 相等
，
记为R.那么以点O为圆心、R为半径的圆就过正五边形的各个
顶点 ，它是该正五边形的外接圆.另外，这些对称轴也是正五
边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点O到各边的距
离都 相等
，记为r，那么以点O为圆心，r为半径的圆就与
正五边形的各边都相切，它是正五边形的内切圆.
第27章 圆
27.4 正多边形和圆
单元构建
1.知道正多边形和圆的关系，知道正多边形的中心、半径、
边心距、中心角等概念.
2.能用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.
3.会用量角器等分圆，会用尺规作图作圆内接正方形和正六
边形.
◎重点:能用正多边形的知识解决问题；会用量角器等分圆
周；会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形.
B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C.＝
D.∠BAC＝30°
4已知正三角形外接圆半径为2，则这个正三角形的边长是
2
.
单元构建
5已知圆的半径是2 ，则该圆的内接正六边形的面积是(
A.3
B.9
C.18
C )
D.36
6圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为
12 .
单元构建
7图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面
图形——正八边形.
(1)如图2，AE是☉O的直径，用直尺和圆规作☉O的内接正八边
形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)；
单元构建
(2)在(1)的前提下，连接OD，已知OA＝5，若扇形
OAD(∠AOD＜180°)是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的
°
ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于
＝60°，从而正
六边形的边长等于它的半径，
因此，所求的正六边形的周长为6a.
单元构建
在Rt△OAM中，OA＝a，AM＝AB＝a，利用勾股定理，
可得边心距OM＝
−
( ) ＝ a，
所以所求正六边形的面积＝6×AB·OM＝6×a· a＝
是
，图③中，∠MON的度数
；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答
案).
单元构建
解:(1)如图，连接OB，OC.
∵正三角形ABC内接于☉O，∴∠OBM
＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，
∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°.
◎难点:用正多边形的知识解决问题.
单元构建
我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的
Байду номын сангаас
近似值为 ≈3.14，祖冲之在公元5世纪又进一步求得π的值在
3.1415926与3.1415927之间，是当时世界最先进的成就.现代利用
电子计算机，已经有人把π的值算到小数点后几十万位，它是从
圆内接正六边形开始计算所得的结果.你知道正多边形和圆有什
(2)90°，72°.
°
(3)∠MON＝
.
么关系吗？
单元构建
各条边
多边形.
相等
、各个角也
相等 的多边形是正
单元构建
正多边形的有关概念及性质
阅读课本本课时“例”之前的内容，完成下面问题.
·导学建议·
教师可提问线段的垂直平分线的性质及角平分线的性质，
加强新旧知识的联系.
单元构建
正五边形有 五
条对称轴，这些对称轴都交于一点，记为O，
根据轴对称的性质可知，这些对称轴是正五边形各边 垂直平
半径等于
.
单元构建
解:(1)如图，八边形ABCDEFGH即为所求.
单元构建
8如图①②③④，M，N分别是☉O的内接正三角形ABC，正方形
ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，
BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
单元构建
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是
解:(1)如图，四边形ABCD即为所求.
(2)如图，△GEF即为所求.
单元构建
(3)(答案不唯一)举出四个即可，如正八边形、正三角形、
正十二边形、正十六边形、正二十四边形等.
单元构建
2.用量角器画圆的内接正五边形时，可以把中心角 五
分，那么弧被
五
等
等分，顺次连接各等分点即可得到正五边
形.
方法归纳交流
因为同圆中相等的弧所对的弦 相等
相等的弧所对的圆周角 相等
边形.
，
，因此n等分圆周即可作出正n
单元构建
变式演练
(B
下列正多边形，不能用尺规作图作出的是
)
A.正三角形
B.正五边形
C.正六边形
D.正八边形
单元构建
圆内接正多边形的中心角、半径、边心距
3.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的
a2.
单元构建
1下列正多边形中，中心角等于内角的是( C )
A.正六边形
B.正五边形
C.正方形
D.正三角形
2若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为( B )
A.3
B.3
C.6
D.6
单元构建
3如图，在☉O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是
(D
)
A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
流.教师根据学生回答进行总结.
正八边形的中心角是
45 °.
单元构建
圆内接正多边形的画法
阅读课本本课时“图27.4.6”右边的内容至“练习”，完成
下列问题.
·导学建议·
教师可引导分析:1.正方形的中心角为90°，说明两条半径
互相垂直；2.正六边形的中心角是60°，说明半径和边长构成等
边三角形，故正六边形的半径等于边长.
单元构建
1.尺规作图.
(1)利用尺规作图作出☉O的圆内接正方形(不写作法，保留
作图痕迹).
(2)利用尺规作图作出☉M的圆内接正三角形(不写作法，保
留作图痕迹).
(3)在用尺规作图作圆内接正方形、正六边形的基础上，你
还可以作出哪些正多边形？(举出四个即可)
单元构建
边数是(
A.4
B )
B.5
C.6
D.7
单元构建
4. 如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个
的长分别为 2
正六边形的边心距OM和
，
.
单元构建
已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径
是a，求正六边形的周长和面积.
单元构建
解:如图，过点O作OM⊥AB于点M，连接OA.由于多边形
单元构建
归纳总结
切圆
任何正多边形都有一个
.这两个圆有公共的
外接圆 和一个
内
圆心 ，称其为正多边形的中心.外
接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形
的边心距.正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫
做正多边形的中心角.
单元构建
·导学建议·
教师可提出问题:如果将圆n等分，依次连接各等分点，得
分线 的交点，因此点O到正五边形各顶点的距离 相等
，
记为R.那么以点O为圆心、R为半径的圆就过正五边形的各个
顶点 ，它是该正五边形的外接圆.另外，这些对称轴也是正五
边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点O到各边的距
离都 相等
，记为r，那么以点O为圆心，r为半径的圆就与
正五边形的各边都相切，它是正五边形的内切圆.
第27章 圆
27.4 正多边形和圆
单元构建
1.知道正多边形和圆的关系，知道正多边形的中心、半径、
边心距、中心角等概念.
2.能用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.
3.会用量角器等分圆，会用尺规作图作圆内接正方形和正六
边形.
◎重点:能用正多边形的知识解决问题；会用量角器等分圆
周；会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形.
B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C.＝
D.∠BAC＝30°
4已知正三角形外接圆半径为2，则这个正三角形的边长是
2
.
单元构建
5已知圆的半径是2 ，则该圆的内接正六边形的面积是(
A.3
B.9
C.18
C )
D.36
6圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为
12 .
单元构建
7图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面
图形——正八边形.
(1)如图2，AE是☉O的直径，用直尺和圆规作☉O的内接正八边
形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)；
单元构建
(2)在(1)的前提下，连接OD，已知OA＝5，若扇形
OAD(∠AOD＜180°)是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的
°
ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于
＝60°，从而正
六边形的边长等于它的半径，
因此，所求的正六边形的周长为6a.
单元构建
在Rt△OAM中，OA＝a，AM＝AB＝a，利用勾股定理，
可得边心距OM＝
−
( ) ＝ a，
所以所求正六边形的面积＝6×AB·OM＝6×a· a＝
是
，图③中，∠MON的度数
；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答
案).
单元构建
解:(1)如图，连接OB，OC.
∵正三角形ABC内接于☉O，∴∠OBM
＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，
∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°.
◎难点:用正多边形的知识解决问题.
单元构建
我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的
Байду номын сангаас
近似值为 ≈3.14，祖冲之在公元5世纪又进一步求得π的值在
3.1415926与3.1415927之间，是当时世界最先进的成就.现代利用
电子计算机，已经有人把π的值算到小数点后几十万位，它是从
圆内接正六边形开始计算所得的结果.你知道正多边形和圆有什
(2)90°，72°.
°
(3)∠MON＝
.
么关系吗？
单元构建
各条边
多边形.
相等
、各个角也
相等 的多边形是正
单元构建
正多边形的有关概念及性质
阅读课本本课时“例”之前的内容，完成下面问题.
·导学建议·
教师可提问线段的垂直平分线的性质及角平分线的性质，
加强新旧知识的联系.
单元构建
正五边形有 五
条对称轴，这些对称轴都交于一点，记为O，
根据轴对称的性质可知，这些对称轴是正五边形各边 垂直平
半径等于
.
单元构建
解:(1)如图，八边形ABCDEFGH即为所求.
单元构建
8如图①②③④，M，N分别是☉O的内接正三角形ABC，正方形
ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，
BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
单元构建
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是
解:(1)如图，四边形ABCD即为所求.
(2)如图，△GEF即为所求.
单元构建
(3)(答案不唯一)举出四个即可，如正八边形、正三角形、
正十二边形、正十六边形、正二十四边形等.
单元构建
2.用量角器画圆的内接正五边形时，可以把中心角 五
分，那么弧被
五
等
等分，顺次连接各等分点即可得到正五边
形.
方法归纳交流
因为同圆中相等的弧所对的弦 相等
相等的弧所对的圆周角 相等
边形.
，
，因此n等分圆周即可作出正n
单元构建
变式演练
(B
下列正多边形，不能用尺规作图作出的是
)
A.正三角形
B.正五边形
C.正六边形
D.正八边形
单元构建
圆内接正多边形的中心角、半径、边心距
3.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的
a2.
单元构建
1下列正多边形中，中心角等于内角的是( C )
A.正六边形
B.正五边形
C.正方形
D.正三角形
2若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为( B )
A.3
B.3
C.6
D.6
单元构建
3如图，在☉O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是
(D
)
A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长