2.1(10.12)概率论
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论2-1-优质课件
（2）除了初等数学的方法，还要引入高等数学 的方法来研究随机试验。
例1 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不
出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数，
X1
pk 95
100
0
5 100
2பைடு நூலகம்二项分布
在贝努利试验中，事件A在n次试验中恰好出现k 次的概率：
Pn (k) Cnk pk (1 p)nk , 0 k n. 其中：p P(A), 1 p P(A).
设X为事件A在n次试验中出现的次数，则：
P{ X
k}
C
k n
pk (1
例3 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
解
设1000 辆车通过,
出事故的次数为 X , 则
X ~ B(1000, 0.0001),
实例1 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X (e) e 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
二、随机变量的概念
1.定义 根据随机试验的结果而确定取某一个数
值的变量，称为一维随机变量。
由两个一维随机变量所确定的有序数组， 称为二维随机变量。
高二数学概率知识点
高二数学概率知识点一、事件与概率的基本概念概率是数学中一个重要的概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
在研究概率之前，我们首先要了解事件和样本空间的概念。
1.1 样本空间样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合，通常用S表示。
比如掷一枚硬币，样本空间可以表示为S={正面，反面}。
1.2 事件事件是样本空间的子集，用大写字母A、B、C等表示。
比如掷一枚硬币，事件A可以表示为出现正面，事件B可以表示为出现反面。
1.3 概率概率是事件发生的可能性大小的度量，通常用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率的计算可以通过实验方法、几何概率、频率方法等多种方式。
二、概率的计算方法在研究概率问题时，我们需要掌握概率的计算方法，包括古典概型、几何概率、频率概率和条件概率等。
2.1 古典概型古典概型是指所有可能结果的数目是有限且相等的情况。
在古典概型中，事件A的概率可以通过公式P(A)=|A|/|S|计算，其中|A|表示事件A的结果数目，|S|表示样本空间的结果数目。
2.2 几何概率几何概率是指利用几何形状和几何关系来计算概率的方法。
在几何概率中，事件A的概率可以通过公式P(A)=S(A)/S计算，其中S(A)表示事件A对应的几何图形的面积或长度，S表示整个几何图形的面积或长度。
2.3 频率概率频率概率是指根据大量实验数据估计概率的方法。
在频率概率中，事件A的概率可以通过公式P(A)=n(A)/n计算，其中n(A)表示事件A在n次实验中发生的次数，n表示实验的次数。
2.4 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率可以表示为P(A|B)，读作事件B发生的条件下事件A发生的概率。
条件概率的计算可以通过公式P(A|B)=P(A∩B)/P(B)来获得。
三、概率的性质及运算规则在研究概率时，我们需要掌握概率的性质及运算规则。
这些性质和规则可以帮助我们更好地理解和计算概率问题。
2024考研数学概率论重要考点总结（2篇）
2024考研数学概率论重要考点总结2024考研数学考试中的概率论部分是一个非常重要的考点，对于考生来说，掌握好概率论的相关知识点是非常关键的。
下面是2024考研数学概率论重要考点的总结，希望能够帮助到考生。
一、概率基本概念：1. 随机试验、样本空间、随机事件；2. 古典概型、几何概型、随机变量概型；3. 定义域、值域、事件域；4. 频率与概率的关系。
二、概率公理与概率的性质：1. 概率公理；2. 概率的性质（非负性、规范性、可列可加性）；3. 条件概率、乘法公式；4. 全概率公式、贝叶斯公式。
三、随机变量的概念：1. 随机变量的定义；2. 离散型随机变量与连续型随机变量；3. 离散型随机变量的概率分布律、累积分布函数；4. 连续型随机变量的概率密度函数、累积分布函数；5. 随机变量的数学期望、方差、标准差。
四、常见概率分布：1. 二项分布；2. 泊松分布；3. 均匀分布；4. 正态分布。
五、多维随机变量与联合分布：1. 二维随机变量的联合分布律、联合分布函数；2. 边缘分布；3. 条件分布。
六、独立性与随机变量的函数的分布：1. 独立性的概念；2. 独立随机变量的数学期望、方差；3. 独立连续型随机变量的函数的分布；4. 独立离散型随机变量的函数的分布。
七、大数定律与中心极限定理：1. 大数定律的概念与几种形式；2. 切比雪夫不等式；3. 中心极限定理的概念；4. 利用中心极限定理进行概率近似计算。
八、随机过程：1. 随机过程的概念；2. 马尔可夫性；3. 随机过程的平稳性。
九、统计量与抽样分布：1. 统计量的概念；2. 抽样分布与大样本正态分布近似；3. 正态总体均值与方差的推断。
以上就是2024考研数学概率论部分的重要考点总结，希望对考生有所帮助。
考生要多进行习题的练习和考点的整理与总结，提高自己的概率论水平，为考试做好准备。
祝考生取得好成绩！2024考研数学概率论重要考点总结（2）2024考研数学概率论的重要考点总结如下：1. 概率的基本概念：样本空间、事件、概率等基本概念的定义和性质。
概率论第二版习题答案
概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机事件发生规律的数学学科，它在现代科学和工程领域中具有广泛的应用。
而对于学习概率论的学生来说，习题是检验理解和掌握程度的重要途径。
本文将为读者提供《概率论第二版》习题的答案，帮助读者更好地理解和应用概率论知识。
第一章：概率论的基本概念1. 什么是随机试验？随机试验是指在相同的条件下，可以重复进行，但每次结果不确定的试验。
例如抛硬币、掷骰子等。
2. 什么是样本空间？样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
例如抛硬币的样本空间为{正面，反面}。
3. 什么是事件？事件是样本空间的子集，表示随机试验的某种结果。
例如抛硬币出现正面朝上可以表示为事件A。
第二章：概率的公理化定义1. 什么是概率？概率是用来描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
2. 概率的公理化定义有哪些？概率的公理化定义包括非负性公理、规范性公理和可列可加性公理。
非负性公理要求概率值必须大于等于0；规范性公理要求样本空间的概率为1；可列可加性公理要求对于不相容事件的概率，可以通过将它们的概率相加来计算。
3. 什么是条件概率？条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，用P(A|B)表示。
计算条件概率时，需要使用条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
第三章：随机变量及其分布1. 什么是随机变量？随机变量是随机试验结果的数值表示，它可以是离散的（如掷骰子的点数）或连续的（如测量体重的结果）。
2. 什么是概率质量函数（PMF）？概率质量函数是离散随机变量的概率分布函数，用于描述每个可能取值的概率。
例如，掷骰子的点数为随机变量X，其PMF为P(X=k) = 1/6，其中k为1到6的整数。
3. 什么是概率密度函数（PDF）？概率密度函数是连续随机变量的概率分布函数，用于描述随机变量取值的概率密度。
例如，测量体重的结果为随机变量X，其PDF为f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ为均值，σ为标准差。
概率论第二章(课件2)
条件概率具有非负性、规范性、乘法 法则和全概率公式等性质。
贝叶斯定理
贝叶斯定理的表述
对于任意两个事件A和B，有 P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)。
贝叶斯定理的应用
贝叶斯定理常用于在已知某些条件 下，对其他条件的发生概率进行推 断和更新。
贝叶斯定理的意义
贝叶斯定理是概率论中的一个重要 定理，它提供了在已知某些信息的 情况下，对其他信息的可信度进行 评估的方法。
期望的计算
期望的计算公式为E(X)=∑xp(x)，其中x为随机变量X的所有可能取值， p(x)为对应的概率。
方差与协方差
方差的定义
方差是随机变量与其期望之间的差的平方的期望，表示随机变量 取值与期望的偏离程度。
方差的性质
方差具有非负性，即对于任何随机变量X，D(X)≥0。
协方差的定义
协方差是两个随机变量的线性相关程度的度量，表示两个随机变量 同时偏离各自期望的程度。
自的概率分布相乘得到。
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02
随机变量及其分布
离散随机变量
离散随机变量定义
离散随机变量是在可数样本空间上的概率函数。
离散随机变量的概率分布
离散随机变量的概率分布由一个非负整数序列给出，表示在每个样 本点上随机变量取值的概率。
离散随机变量的期望值
离散随机变量的期望值是所有可能取值的概率加权和。
连续随机变量
连续随机变量念 • 随机变量及其分布 • 随机向量及其分布 • 随机变量的函数及其分布 • 随机变量的数字特征
01
概率论的基本概念
概率的定义与性质
01
02
03
概率的定义
概率是描述随机事件发生 可能性大小的数值，通常 用P表示。
(完整版)概率论与数理统计知识点总结(详细)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2．样本空间、随机事件 (2)§4等可能概型（古典概型） (3)§5．条件概率 (4)§6．独立性 (4)第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量 (5)§2离散性随机变量及其分布律 (5)§3随机变量的分布函数 (6)§4连续性随机变量及其概率密度 (6)§5随机变量的函数的分布 (7)第三章多维随机变量 (7)§1二维随机变量 (7)§2边缘分布 (8)§3条件分布 (8)§4相互独立的随机变量 (9)§5两个随机变量的函数的分布 (9)第四章随机变量的数字特征 (10)§1．数学期望 (10)§2方差 (11)§3协方差及相关系数 (11)第五章 大数定律与中心极限定理 (12)§1． 大数定律 ...................................................................................... 12 §2中心极限定理 . (13)第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学中的一个重要分支，主要研究随机现象的规律性和概率分布。
在现实生活中，概率论广泛应用于统计学、金融、工程、生物学等领域。
下面将对概率论中的一些重要知识点进行总结。
一、基本概念1. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
2. 随机事件：样本空间中的一个子集。
3. 概率：随机事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
4. 事件的互斥与对立：互斥事件指两个事件不可能同时发生，对立事件指两个事件至少有一个发生。
二、概率的性质1. 非负性：概率值始终大于等于0。
2. 规范性：样本空间的概率为1。
3. 可数可加性：如果事件A和事件B互斥，则P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 加法定理：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
三、条件概率1. 定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
2. 计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
3. 乘法公式：P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)。
四、独立事件1. 定义：事件A发生与否不受事件B发生与否的影响。
2. 判别条件：P(A∩B) = P(A) * P(B)。
五、全概率公式与贝叶斯定理1. 全概率公式：设事件B1、B2、...、Bn为样本空间的一个划分，即B1∪B2∪...∪Bn = S，且P(Bi) > 0，有P(A) = ∑P(A|Bi) * P(Bi)。
2. 贝叶斯定理：在全概率公式的基础上，可以得到P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / ∑P(A|Bi) * P(Bi)。
六、随机变量与概率分布1. 随机变量：将数学状态与随机事件的结果联系起来的变量。
2. 离散型随机变量与连续型随机变量。
3. 概率分布：描述随机变量各个取值的概率情况。
4. 均匀分布、正态分布、泊松分布等。
七、大数定律与中心极限定理1. 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值趋于总体均值。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在现实生活中，概率论被广泛应用于各个领域，如金融、医学、工程等。
本文将对概率论中的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用概率论。
首先，我们来介绍一下概率的基本概念。
概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具。
在概率论中，通常用P(A)来表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
对于两个事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∩B)来表示，而它们的条件概率可以用P(A|B)来表示。
其次，我们来介绍一下概率的计算方法。
在概率论中，有两种常见的计算方法，分别是古典概率和统计概率。
古典概率是指在随机试验中，每个基本事件发生的可能性相等的情况下，事件A发生的概率可以用P(A) = n(A)/n(S)来计算，其中n(A)表示事件A包含的基本事件的个数，n(S)表示样本空间中基本事件的总数。
而统计概率是指通过大量实验数据来估计事件发生的概率，它可以用频率来表示，即P(A) = n(A)/n，其中n(A)表示事件A发生的次数，n表示总的实验次数。
接下来，我们来介绍一下概率的加法规则和乘法规则。
概率的加法规则是指对于两个不相容事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∪B) = P(A) + P(B)来计算。
而概率的乘法规则是指对于两个独立事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∩B) = P(A) * P(B)来计算。
在实际应用中，加法规则和乘法规则可以帮助我们更好地计算复杂事件的概率。
最后，我们来介绍一下概率的期望和方差。
概率的期望是描述随机变量平均取值的指标，它可以用E(X)来表示，其中X表示随机变量。
概率的方差是描述随机变量取值的离散程度，它可以用Var(X)来表示。
期望和方差是概率论中重要的统计量，它们可以帮助我们更好地理解随机变量的性质和分布。
综上所述，概率论是一门非常重要的数学学科，它在现实生活中有着广泛的应用。
概率论知识点
第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件概率论与数理统计是一门研究随机现象量的规律性的数学学科，是近代数学的重要组成部分，同时也是近代经济理论的应用与研究的重要数学工具。
（一）随机试验的概念为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察。
观察的过程称为试验。
概率论里所研究的试验成为随机试验，随机试验具有下列特点：（1）在相同的条件下试验可以重复进行；（2）每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果；（3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果。
（二）随机事件的概念在概率论中，将试验的结果称为事件。
每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件），简称为事件。
通常用大写拉丁字母、、等表示。
在随机事件中，有些可以看成是由某些事件复合而成的，而有些事件则不能分解为其它事件的组合。
这种不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件称为基本事件。
例如，掷一颗骰子的试验中，其出现的点数，“1点”、“2点”、……、“6点”都是基本事件。
“奇数点”也是随机事件，但它不是基本事件。
它是由“1点”、“3点”、“5点”这三个基本事件组成的，只要这三个基本事件中的一个发生，“奇数点”这个事件就发生。
每次试验中一定发生的事件称为必然事件，用符号表示,每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，用符号表示。
例如，在上面提到的掷骰子试验中，“点数小于7”是必然事件。
“点数不小于7”是不可能事件。
（二）事件的集合与图示研究事件间的关系和运算，应用点集的概念和图示方法比较容易理解，也比较直观。
对于试验的每一个基本事件，用只包含一个元素的单点集合表示；由若干个基本事件复合而成的事件，用包含若干个相应元素的集合表示；由所有基本事件对应的全部元素组成的集体集合称为样本空间。
由于任何一次试验的结果必然出现全部基本事件之一，这样，样本空间作为一个事件是必然事件，仍以表示。
大学概率论知识点归纳总结
大学概率论知识点归纳总结概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件的发生规律和概率的计算方法。
作为大学数学课程中的一门核心内容，概率论具有广泛的应用领域，如统计学、金融、物理学等。
本文将对大学概率论的知识点进行归纳总结，以帮助读者系统地理解和掌握这一学科。
一、概率的基本概念及性质1.1 随机试验和样本空间在概率论中，随机试验是指具有不确定性的实验，样本空间是指所有可能结果的集合。
1.2 事件和事件的关系事件是样本空间的子集，包含了几个样本点。
事件之间有包含关系、互斥关系等。
1.3 概率的定义与性质概率是描述某个事件发生可能性大小的数值，它具有非负性、规范性、有限可加性等性质。
二、概率的计算方法2.1 古典概型古典概型是指各个基本事件发生的可能性相等的情况，如掷骰子、扑克牌等。
2.2 几何概型和计数原理几何概型是指基于几何图形的概率计算问题，计数原理用于计算可行结果的数量。
2.3 频率与概率的关系频率是通过实验统计得到的事件发生的相对次数，当试验次数增多时，频率趋于概率。
2.4 条件概率与乘法定理条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，乘法定理用于计算条件概率。
2.5 独立性与乘法定理的应用两个事件的独立性意味着其相互不影响，乘法定理可用于计算独立事件联合发生的概率。
三、随机变量及其分布3.1 随机变量的概念随机变量是指具有随机性的数值变量，可以是离散型或连续型。
3.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量只取有限或可列个值，其分布由概率质量函数描述，如二项分布、泊松分布等。
3.3 连续型随机变量及其分布连续型随机变量可取任意实数值，其分布由概率密度函数描述，如均匀分布、正态分布等。
3.4 期望与方差期望是随机变量取值的平均数，方差描述了随机变量取值的离散程度。
四、常见概率分布及其性质4.1 二项分布与泊松分布二项分布描述了n重伯努利试验中成功次数的概率分布，泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
概率论基础：入门知识点
概率论基础：入门知识点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律和概率计算的方法。
它在各个领域都有广泛的应用，如统计学、金融、工程等。
本文将介绍概率论的入门知识点，帮助读者了解概率论的基本概念和计算方法。
一、随机事件和样本空间在概率论中，我们将可能发生的事件称为随机事件。
样本空间是指所有可能的结果组成的集合。
例如，掷一枚硬币的结果可以是正面或反面，那么样本空间就是{正面，反面}。
样本空间用Ω表示。
二、事件的概率事件的概率是指事件发生的可能性大小。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示一定发生。
概率用P(A)表示，其中A是一个事件。
三、事件的运算1. 事件的和：事件A和事件B的和是指事件A或事件B发生的情况。
用A∪B表示，读作“A并B”。
2. 事件的积：事件A和事件B的积是指事件A和事件B同时发生的情况。
用A∩B表示，读作“A交B”。
3. 事件的差：事件A和事件B的差是指事件A发生而事件B不发生的情况。
用A-B表示，读作“A减B”。
四、概率的计算方法1. 古典概型：当样本空间中的每个结果发生的概率相等时，可以使用古典概型计算概率。
例如，掷一枚均匀的骰子，每个面的概率都是1/6。
2. 频率概率：通过实验的频率来估计概率。
例如，掷一枚硬币，多次实验后正面朝上的频率接近于1/2。
3. 几何概率：通过几何方法计算概率。
例如，从一个正方形中随机选择一个点，落在某个区域内的概率等于该区域的面积与正方形的面积之比。
4. 条件概率：指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
用P(A|B)表示，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。
五、独立事件和互斥事件1. 独立事件：事件A和事件B是独立事件，当且仅当事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，即P(A∩B) = P(A)P(B)。
2. 互斥事件：事件A和事件B是互斥事件，当且仅当事件A的发生与事件B的发生是互斥的，即P(A∩B) = 0。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结1. 概率论基础- 随机事件：一个事件是随机的，如果它可能发生也可能不发生。
- 样本空间：所有可能事件发生的集合。
- 事件的概率：事件发生的可能性的度量，满足0≤P(A)≤1。
- 条件概率：在另一个事件发生的条件下，一个事件发生的概率。
- 贝叶斯定理：描述了随机事件A和B的条件概率和边缘概率之间的关系。
- 独立事件：两个事件A和B是独立的，如果P(A∩B) = P(A)P(B)。
- 互斥事件：两个事件A和B是互斥的，如果它们不能同时发生，即P(A∩B) = 0。
2. 随机变量及其分布- 随机变量：将随机事件映射到实数的函数。
- 离散随机变量：取值为有限或可数无限的随机变量。
- 连续随机变量：可以在某个区间内取任意值的随机变量。
- 概率分布函数：描述随机变量取值的概率。
- 概率密度函数：连续随机变量的概率分布函数的导数。
- 累积分布函数：随机变量取小于或等于某个值的概率。
- 期望值：随机变量的长期平均值。
- 方差：衡量随机变量取值的离散程度。
3. 多维随机变量及其分布- 联合分布：描述两个或多个随机变量同时取特定值的概率。
- 边缘分布：通过联合分布求得的单个随机变量的分布。
- 条件分布：给定一个随机变量的值时，另一个随机变量的分布。
- 协方差：衡量两个随机变量之间的线性关系。
- 相关系数：协方差标准化后的值，表示变量间的线性相关程度。
4. 大数定律和中心极限定理- 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值以概率1收敛于总体均值。
- 中心极限定理：独立同分布的随机变量之和，在适当的标准化后，其分布趋近于正态分布。
5. 数理统计基础- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
- 总体：研究对象的全体。
- 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
- 点估计：给出总体参数的一个具体估计值。
- 区间估计：给出一个包含总体参数可能值的区间。
- 假设检验：对总体分布的某些假设进行检验。
- 显著性水平：拒绝正确假设的最大概率。
课件10：2.2.1 条件概率
解：令 Ai＝{第 i 只是好的}，i＝1,2. 解法 1：抽取两只，第 1 只是好的共有 C16C19种取法，两只都是 好的共有 C16C15种取法， 故 P(A2|A1)＝CC1616CC1519＝59. 解法 2：因事件 A1 已发生(已知)，故我们只研究事件 A2 发生便 可，在 A1 发生的条件下，盒中仅剩 9 只晶体管，其中 5 只好的， 所以 P(A2|A1)＝AAB发发生生的的可可能能数数＝59.
解：(1)设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A，“再摸出
1 个白球”为事件 B，则“先后两次摸到白球”为 AB，先
摸一球不放回，再摸一球共有 4×3 种结果，
∴P(A)＝12，P(AB)＝24××13＝16， 1
∴P(B|A)＝61＝31. 2
(2)设“先摸出一个白球放回”为事件 A1，“再摸出一个白
方法总结 P(B|A)表示事件 B 在“事件 A 已发生”这个附加条件下的概率与没有 这个附加条件的概率是不同的．也就是 说，条件概率是在原随机试验的条件上再 加上一定的条件，求另一事件在此“新条 件”下发生的概率．因此，利用缩小样本空间的观点计算条件概率 时，首先，明确是求“在谁发生的前提下谁的概率”，其次，转换 样本空间，即把即定事件 A 所含的基本事件定义为新的样本空间， 显然待求事件 B 便缩小为事件 AB，如图所示．从而 P(B|A)＝ AB发生的可能数 A发生的可能数 .
B 的事件数为 A41A16＝24，故 P(B)＝2442.
AB 的事件数为 A41A31＝12，故 P(AB)＝1422.
12 由条件概率公式，得 P(A|B)＝PPABB＝2442＝0.5.
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结概率论是数学中的一个重要分支，它研究了随机现象的规律性。
而在大学中，概率论课程是理工科学生的必修课之一。
下面，我们将对大学概率论课程中的一些重要知识点进行总结。
一、样本空间与事件概率论中的样本空间是指所有可能结果的集合，用Ω表示。
样本空间中的每个元素，被称为样本点。
事件是指样本空间中的一个子集，用A表示。
当某个随机现象发生时，我们可以定义一个相应的事件，用于描述其发生的结果。
事件的概率则是指该事件发生的可能性大小。
二、概率的性质概率具有以下几个基本性质：1. 非负性：任何事件的概率都是非负的。
2. 规范性：样本空间的概率为1。
3. 可列可加性：若事件A1、A2、A3...是两两互不相容的事件（即它们没有公共的样本点），则它们的联合事件的概率等于各个事件概率的总和。
三、条件概率与独立性条件概率是指在某个条件成立的前提下，事件发生的概率。
对于事件A和B，条件概率表示为P(A|B)，表示在事件B发生的前提下，事件A发生的概率。
条件概率的计算遵循贝叶斯公式。
如果两个事件A 和B满足P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。
四、随机变量与概率分布随机变量是指样本空间中的每个样本点都与某个数值相对应的变量。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
在概率论中，我们关注的是随机变量的概率分布。
对于离散型随机变量，我们可以通过频数直接计算概率；对于连续型随机变量，我们通过概率密度函数来描述其分布。
五、数学期望与方差数学期望是对随机变量取值的平均值的度量，记作E(X)。
方差度量了随机变量的取值离其数学期望的平均距离，记作Var(X)。
数学期望和方差是概率论中两个重要的衡量指标，它们可以帮助我们理解随机变量的分布特性。
六、大数定律与中心极限定理大数定律指出，随着随机试验次数的增加，事件发生的频率趋近于该事件的概率。
中心极限定理则是指在特定条件下，随机变量和服从于正态分布。
2025考研概率论重点知识总结
2025考研概率论重点知识总结概率论是考研数学中的重要组成部分，对于考生来说，掌握好概率论的重点知识至关重要。
以下是对 2025 考研概率论重点知识的详细总结。
一、随机事件与概率1、随机事件及其运算随机事件的定义：在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
事件的关系：包含、相等、互斥、对立。
事件的运算：并、交、差。
2、概率的定义与性质概率的古典定义：若某试验的样本空间中样本点总数为 n，事件 A 包含的样本点个数为 m，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n。
概率的公理化定义：满足非负性、规范性、可列可加性。
概率的性质：包括0 ≤ P(A) ≤ 1、P(Ω) ＝ 1、P(∅）＝ 0、P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) P(AB) 等。
3、条件概率与乘法公式条件概率的定义：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)，其中 P(A) ＞ 0。
乘法公式：P(AB) ＝ P(A)P(B|A) ＝ P(B)P(A|B)。
4、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式：设 B1, B2,， Bn 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0 （i ＝ 1, 2,， n)，则对任意事件 A 有 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi)。
贝叶斯公式：在全概率公式的基础上，已知事件 A 已经发生，求事件 Bi 发生的概率，即 P(Bi|A) ＝ P(Bi)P(A|Bi) ／ΣP(Bj)P(A|Bj)。
二、随机变量及其分布1、随机变量的概念定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω 中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量。
2、离散型随机变量概率分布列：P(X ＝ xi) ＝ pi （i ＝ 1, 2,），且Σpi ＝ 1。
常见的离散型随机变量：0 1 分布、二项分布、泊松分布。
3、连续型随机变量概率密度函数：f(x)，满足f(x) ≥ 0 且∫f(x)dx ＝ 1。
概率论第二版习题答案
概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在统计学、金融学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
第二版的概率论教材通常会在第一版的基础上进行修订和补充，以反映最新的研究成果和教学方法。
以下是一些概率论习题的答案示例，这些答案仅供参考，具体习题的答案可能会根据教材的不同而有所变化。
第一章：概率空间1. 习题1：描述一个概率空间的基本元素。
- 答案：一个概率空间由三个基本元素组成：样本空间(Ω)，事件集合(F)，以及概率测度(P)。
样本空间包含了所有可能的结果，事件集合是样本空间的子集，概率测度为每个事件分配一个介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性。
2. 习题2：证明如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B) = P(A) +P(B)。
- 答案：由于A和B互斥，即A∩B = ∅，根据概率测度的性质，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
由于A和B互斥，P(A∩B) = 0，因此P(A∪B) = P(A) + P(B)。
第二章：随机变量及其分布1. 习题1：定义离散型随机变量和连续型随机变量。
- 答案：离散型随机变量是其取值可以列举的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。
连续型随机变量是其取值无法一一列举的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。
2. 习题2：如果X是一个随机变量，求E(X)和Var(X)。
- 答案：期望E(X)是随机变量X的平均值，定义为E(X) = ∑x *P(X = x)（对于离散型随机变量）或E(X) = ∫x * f(x) d x（对于连续型随机变量）。
方差Var(X)是随机变量X的离散程度的度量，定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]。
第三章：多维随机变量及其分布1. 习题1：描述联合分布函数和边缘分布函数的关系。
- 答案：联合分布函数给出了两个或多个随机变量同时取特定值的概率，而边缘分布函数是通过对联合分布函数进行积分或求和得到的，它给出了单个随机变量的分布。
大一数学概率论知识点
大一数学概率论知识点概率论是数学的一个重要分支，研究随机试验结果发生的规律性和不确定性。
在大一数学中，概率论通常是作为一门专业课或选修课来学习的，下面是大一数学概率论的一些重要知识点。
一、随机实验与随机事件随机实验是指在相同条件下可以重复进行的试验，试验结果不确定。
每次实验的结果称为样本点，样本点的全体称为样本空间。
样本空间的子集称为事件，事件的发生与否是确定的。
二、概率的定义和性质1.经典概型:在样本空间中，每个样本点发生的可能性相同，称为经典概型。
对于经典概型，事件A的概率P(A)的计算公式为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中样本点的个数，n(S)表示样本空间中样本点的个数。
2.事件发生的可能性大小的度量称为概率。
概率的定义有三个公理：a)非负性公理：对于任意事件A，P(A)≥0；b)规范性公理：样本空间中的事件的概率为1，即P(S)=1；c)可加性公理：对于任意两个互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
互斥事件指的是事件A和事件B不可能同时发生。
3.若A和B是两个事件，有以下几个概率的性质：a)互补性：P(A')=1-P(A)，其中A'表示事件A的补事件；b)子事件性：若A包含B，则P(A)≥P(B)；c)加法性：对于任意两个事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其扩展形式为P(A1∪A2∪...∪An)=Σ[P(Ai)]-Σ[P(Ai∩Aj)]+...+(-1)^(n-1)P(A1∩A2∩...∩An)。
三、条件概率条件概率指的是在给定事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A，B)。
条件概率的计算公式为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
其中，P(A∩B)表示A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
四、独立事件若事件A和事件B相互独立，则事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响，即P(A，B)=P(A)以及P(B，A)=P(B)。
博士生数学概率论知识点归纳总结
博士生数学概率论知识点归纳总结概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律和性质。
对于博士生而言，深入理解和掌握概率论知识对于其学术研究和日后的职业发展至关重要。
本文将对博士生应当掌握的数学概率论知识点进行归纳总结，以帮助博士生更好地应对数学概率论相关问题。
1. 概率的基本概念1.1 样本空间和事件概率论的起点是对样本空间和事件的定义。
样本空间（S）是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
事件是样本空间的一个子集，表示一个或多个结果的集合。
1.2 概率的定义和性质概率是描述事件发生可能性的数值，通常用P(A)表示。
概率具有以下性质：- 非负性：对于任何事件A，有P(A) ≥ 0。
- 规范性：样本空间的概率为1，即P(S) = 1。
- 可加性：对于互不相容的事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
2. 随机变量和概率分布2.1 随机变量随机变量是一个将样本空间映射到实数集合的函数。
根据随机变量的取值方式，可以将其分为离散随机变量和连续随机变量。
2.2 概率质量函数和概率密度函数对于离散随机变量，可以使用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）来描述其每个取值的概率。
对于连续随机变量，可以使用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来描述其取值的概率密度。
2.3 期望和方差期望是衡量随机变量取值的“中心位置”的数值，可以通过对变量的取值乘以相应概率的加权平均来计算。
方差则衡量随机变量取值的分散程度，是随机变量与其期望的差的平方的期望。
3. 常见的概率分布3.1 二项分布二项分布是离散概率分布的一种，适用于只有两种可能结果的多次独立实验的场景。
其概率质量函数为P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)，其中n表示实验次数，p表示每次实验成功的概率，X表示成功的次数。
3.2 正态分布正态分布是连续概率分布的一种，常用于描述自然界和社会现象中许多连续变量的分布情况。
概率论基本知识(通俗易懂)
第一章概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。
由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。
例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。
例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。
随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。
概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。
§1.1随机试验以上试验的共同特点是:1．试验可以在相同的条件下重复进行；2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。
我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。
我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。
§1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。
E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。
例：§1.1中试验 E 1--- E 7E 1：S 1={H,T}E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0≥t }E 7：S 7={()y x ,10T y x T ≤≤≤}（二） 随机事件我们把试验 E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。
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( 2) pk 1.
k 1
反过来还可以证明，具有性质(1)、(2)的数列 { pi } 必 是某个离散型随机变量 的分布列.
概率论与数理统计
例8 设盒中有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中 任取3个球，求取到的白球数 的分布列。 解
的可能取值为0，1，2
3 C3 P 0 3 0.1 C5
１．本章教学重点是分布列的求法，期望与方差的计算。
２．教学难点为二维随机变量联合分布列的求法，期望与方 差性质的应用。
概率论与数理统计
§2.1一维随机变量及其分布列
主要内容
一、随机变量的概念 二、离散型随机变量的概念
三、常见的离散型分布
概率论与数理统计
一、随机变量的概念
为了进一步研究随机现象的数量规律性，需要将随机试 验的结果数量化，这就是随机变量. 随机变量的引进使概率 论的研究前进了一大步. 先看下面的例子：
1 P n c ,(n 1 ， 2， 4
n
),
试求常数c. 解 由随机变量的性质，得
1 1 P n c , n 1 n 1 4
n
该级数为等比级数，故有
所以
1 n 1 1 P n c c 4 , 1 n 1 n 1 4 1 4 c 3．
1 (反面朝上)
2 (正面朝上)
( )
0
1
(1 ) 0 (2 ) 1
即 ( ) 是一个随机变量.
3.随机变量的分类
随机变量 离散型 非离散型 其它
概率论与数理统计
连续型
(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或无 限多个(可列个), 叫做离散型随机变量. 例3 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
1 2 C2 C3 P 1 0.6 3 C5 2 1 C2 C3 P 2 0.3 3 C5 分布表为 0 1
2
pi
0.1
0.6 0.3
概率论与数理统计
例9 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令 的分布 为“取出的5个数字中的最大值”．试求 律． 解 的取值为5，6，7，8，9，10．并且 Ck41 P k 5 k 5, 6， ， 10 C10 从而，即可得 的分布律为
5
1 252
6
5 252
7
15 252
8
35 252
9
70 252
10
126 252
P
概率论与数理统计
例10 设离散型随机变量 的分布律为
0
1 16
1
3 16
2
1 16
3
4 16
4
3 16
5
4 16
P
求 P 2 , P 3 , P0.5 3.
解 P 2 P 0 P 1 P 2
1．定义
定义在样本空间 上，取值于实数域R，且只取 有限个或可列个值的变量 ( ) ，称作是一维（实值） 离散型随机变量．简称为离散型随机变量． 注 要确切了解一个随机变量，首先要判断它的取 值范围以及可能取哪些值，其次还要知道它以多大的 概率取这些值 .
记随机变量 的一切可能取值为 a , a , 并且 取 a 的 概率为 p , 即 P a p , i 1,2, 则称 P a p , i 1, 2, 为离 散型随机变量 的分布列，也称为分布律，有时就简称 为分布.
例 1 “在 n 重伯努利试验中，事件 A 出现 k 次”这一事件， 如果令 为 n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数，则上述事件的 概率就可以简单的表示为 P k ，从而有
k k n k P k Cn p q ．
这
样我们就在随机事件与实数之间建立了一种联系，且形成了一个 一一对应关系，它是定义在 上的函数，是随机变量．
例14 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次 射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 服从 B (5,0.6) 的二项分布.
0
5
1
5 4 0 . 6 0 . 4 1
2
5 2 3 0 . 6 0 . 4 2
3
5 3 2 0 . 6 0 . 4 3
概率论与数理统计
三、常见的离散型分布
1.退化分布
若随机变量 取常数值C的概率为1,即
P( C ) 1,
则称 服从退化分布.
2.两点分布
设随机变量 只可能取0与1两个值 , 它的分布列 为
pk
0 1 p
1 p
则称 服从 (0-1) 分布或两点分布. 记为 ~B(1,p).
概率论与数理统计
第 二 章
离散型随机变量
一、教学目的与要求
概率论与数理统计
1．掌握随机变量的概念，离散型随机变量的分布列，会用 Ch1求事件概率的方法，求随机变量的分布列； ２．熟悉随机变量的数学期望，方差的概念，会应用分布列 求数学期望、方差；掌握数学期望，方差的性质； ３．掌握二维随机变量的分布，边际分布的概念，会应用联 合分布列求边际分布，会计算二维随机变量的数字特征，会 判定随机变量的独立性与相关性。 ４．掌握随机变量函数分布的求法，会求随机变量函数的数 字特征。 二、教学重点与难点
概率论与数理统计
例12 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
“正面” , 0, ( ) “反面” . 1, 则随机变量 服从 (0-1) 分布.
0 1 其分布律为 1 1 pk 2 2 说明 两点分布是最简单的一种分 布,任何一个只有两种可能结果的随机 现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天 是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两 点分布.
概率论与数理统计
例4 若随机变量 记为 “连续射击, 直至命中时 的射击次数”, 则 的可能值是:
1, 2, 3, .
例5 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现
该射手射了30次,则随机变量 记为“击中目标的次
数” , 的所有可能取值为 则 :
0, 1, 2, 3, , 30.
k!
概率论与数理统计
上面我们提到 二项分布
np ( n )
泊松分布
概率论与数理统计
例16
解
1 已知某种疾病的发病率为1000
，某单位共有5000人，问该单
位患有这种疾病的人数超过5人的概率问多大？ 设该单位患有这种疾病的人数为 ， 则 其中
概率论与数理统计
(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某 个区间,叫做连续型随机变量.
例6 随机变量 为“灯泡的寿命”.则 取值范围为
[0, ).
例7 随机变量 为“测量某零件尺寸时的测误差”. 则 的取值范围为(a, b)内的任一值.
概率论与数理统计
二、离散型随机变量的概念
概率论与数理统计
例2 抛掷一枚均匀的硬币，如果令 1 =“出现反面”，则 面”， 0 0, 1 1.
0
= “出现正
它是定义在 上的实值函数，是随机变量.
1．定义
设E是随机试验，它的样本空间是 {}，如果对 于每一个 ，有一个实数 ( )与之对应，这样就得 到一个定义在 上的单值实值函数 ( ) ，称 ( ) 为随机 变量(random variable) ，简记为r.v. 随机变量通常用希腊字母, ,η, ζ,…. 或大写字母 X,Y,Z,…等表示.
2.说明
概率论与数理统计
随机变量 是 R 上的映射 此映射具有如下特点 定义域 随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的 差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在 样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数). 随机变量的取值带有随机性 随机变量的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可 能的取值，但不能预知取哪个值.
5. 泊松分布
若随机变量的 分布列为
P k
k
k!
其中 0 e , k 0,1, 2, ，
这种分布称作参数为 的泊松分布，记作 ~ P 泊松定理 设 ~ b(k ; n, pn ) ,则
k k P{ k} Cn pn (1 pn )nk ,
随机性
概率特性 随机变量的取值具有一定的概率规律
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试 验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取 值也有一定的概率规律.
概率论与数理统计
例3 情况:
掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种
2 (正面朝上),
1 (反面朝上),
若用 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
1 6
1 6
1 6
1 6
概率论与数理统计
4.二项分布
若 的分布列为
k k n k P{ k} Cn p q , k 0,1, 2,
n
则称随机变量 服从参数为n, p的二项分布。记为
~ bk; n, p ,其中q＝1－p.
注：二项分布
n1
两点分布
概率论与数理统计
概率论与数理统计
3.均匀分布
如果随机变量 的分布律为 a1 a2 an 1 1 1 pk n n n 其中(ai a j ), (i j) , 则称随机变量 服从 均匀 分布.
则有 例13 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 ， 1 5 6 3 4 2