2021年高三上学期期初分班教学测试文科数学试题 含答案

2021年高三上学期期初分班教学测试文科数学试题含答案
题号一二三总分
得分
评卷人
得分
一、选择题
A、4
B、81
C、729
D、2187
3．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（▲）
A． B． C． D．
4．已知m是平面α的一条斜线,点A∈α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形可能出现的是( )
A．l∥m,l⊥αB．l⊥m,l⊥α
C．l⊥m,l∥α D．l∥m,l∥α
5．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，，且,垂足为,若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
6．若一个球的表面积是，则它的体积是：
A． B． C． D．
7．已知服从正态分布N（,）的随机变量在区间（,），（,），和（,）内取值的概率分别是
否
开始
a≥4?
a=1,s=1
s=s×9
a=a+1 结果
输出s
为68.3%，95.4%，和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高（单位：cm）服从正态分布（165，52），则适合身高在155~175cm范围内的校服大约要定制（）
A. 683套
B. 954套
C. 972套
D. 997套
8．的二项展开式中，项的系数是（）
A. 45
B. 90
C. 135
D. 270
9．投掷一枚骰子，若事件A={点数小于5}，事件B={点数大于2}，则P（B|A）= （）A. B. C. D.
E（X）=6.9，则a的值为 ( ) X4a9
P m0.20.5
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
11．函数的图象是（）
12．函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象有两个
不同的公共点，则实数的值为（）
A. B.
C. 或
D. 或
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
13．若集合，则实数．
14．若复数（是虚数单位），则的模= .
15．三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有种.
16．设，若，则．
评卷人得分
三、解答题
17．已知向量，，函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数的值域。

18．如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平
面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC ；
（Ⅱ）求证：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A －PB －E 的大小． 19．已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．
（Ⅰ）设，试求函数的表达式；
（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．
20．已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（Ⅰ）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）圆、是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
21．下表提供了某厂节能降耗技术发行后,生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的的几组对应数据.
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程;
并预测生产1000吨甲产品的生产能耗多少吨标准煤？
(参考:)
22．下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为.
图1 图2 图3 图4
（1）求出,,,;
（2）找出与的关系，并求出的表达式；
（3）求证：36
2512)(3117)3(3115)2(3113)1(311
+++++++++n n f f f f (). P
A
B C E D
参考答案
1．D
【解析】由，得.因为；；＞；所以选D.
2．C
【解析】
试题分析：第一圈，否，s=9,a=2; 第二圈，a=2,否，s=81,a=3;
第三圈，否，s=729,a=4;
第四圈，是，输出s=729,故选C 。

考点：程序框图功能识别
点评：简单题，利用程序框图，逐次运算。

3．A
【解析】由图可知，该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥后得到的几何体，如图
其中三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为2，三棱锥的高为1，底面与三棱柱的底面相同，则223135322124343
V V V =-=⨯-⨯⨯=三棱柱三棱锥，故选A 4．C
【解析】本题考查空间点、线、面的位置关系。

因为A ∈α，A ∈所以l ∥α不可能，选项C 应改为l ⊥m,l α。

5．A
【解析】 试题分析：因为为平行四边形，对边相等．所以，PQ=F 1F 2，即PQ=2C ．
设P （x 1，y 1）． P 在X 负半轴，
－x 1=－2c ＜a ，所以2c 2+ac －a 2＞0，
即2e 2+e －1＞0，解得e ＞，
又椭圆e 取值范围是（0，1），所以，<e<1，选A 。

考点：椭圆的几何性质
点评：简单题，注意从平行四边形入手，得到线段长度之间的关系，从而进一步确定得到a,c 的不等式，得到e 的范围。

6．D
【解析】设球半径为R,则23343949,().2322
R R ππππ=∴=
=；则V=故选D 7．B
【解析】
试题分析：由于，服从正态分布N（,）的随机变量在区间（,），（,），和（,）内取值的概率分别为68.3%，95.4%，和99.7%.所以，当学生的身高（单位：cm）服从正态分布（165，52），则适合身高在155~175cm范围内的校服大约要定制套数为1000×95.4%=954，，故选B。

考点：正态分布
点评：简单题，根据随机变量在区间（,）内取值的概率为95.4%，确定定制套数。

8．C
【解析】
试题分析：的二项展开式中，，令r=4得，项的系数是=135，选C。

考点：二项展开式的通项公式
点评：简单题，二项式展开式的通项公式是，。

9．D
【解析】
试题分析：投掷一枚骰子，基本事件总数为6.
由公式及题意得，,故选D.
考点：条件概率
点评：简单题，利用条件概率的计算公式。

10．B
【解析】
试题分析：因为，在分布列中，各变量的概率之和为1.
所以，m=1-(0.2+0.5)=0.3，由数学期望的计算公式，得，，a的值为6，故选B。

考点：随即变量分布列的性质，数学期望。

点评：小综合题，在分布列中，各变量的概率之和为1.
11．C
【解析】
试题分析：函数与图象配伍问题，要注意定义域、值域、奇偶性（对称性）、单调性等。

该函数是奇函数，图象关于原点对称。

所以，选C。

考点：函数的图象
点评：简单题，函数与图象配伍问题，要注意定义域、值域、奇偶性（对称性）、单调性等。

12．C
【解析】
试题分析：因为，函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.所以，函数周期为2，又
当时，.结合其图象及直线可知，直线与函数的图象有两个不同的公共点，包括相交、一切一交等两种情况，结合选项，选C。

考点：函数的奇偶性、周期性，函数的图象。

点评：中档题，解函数不等式，往往需要将不等式具体化或利用函数的图象，结合函数的单
调性。

总之，要通过充分认识函数的特征，探寻解题的途径。

13．3
【解析】
试题分析：根据题意，由于集合，那么可知3是集合A 中的元素，故可知m=3，因此答案为3.
考点：交集
点评：主要是考查了集合的交集的运算，属于基础题。

14．
【解析】
试题分析：因为，，所以，的模=。

考点：复数的代数运算，复数模的计算。

点评：简单题，解答本题可以先计算z ，再求|z|,也可以利用复数模的性质。

15．
【解析】
试题分析：若每个村去一个人，则有种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去一人，则有种分配方法，所以共有60种不同的分配方法.
考点：本小题主要考查利用排列组合知识解决实际问题.
点评：解决排列组合问题时，一定要分清是排列还是组合，是有序还是无序.
16．1
【解析】
试题分析：因为，=，所以，。

3
(1)lg10,((1))(0)1, 1.f f f f a a ======
考点：定积分计算，分段函数，对数函数的性质。

点评：小综合题，本题思路清晰，通过计算定积分确定得到函数的解析式，进一步计算函数值。

17．（1）
（2）
【解析】
试题分析：解：（Ⅰ）由已知 2分
化简，得 4分
函数的最小正周期 6分
（Ⅱ），则， 8分
所以 10分
函数的值域是 12分
考点：三角函数的性质
点评：主要是考查了二倍角公式以及三角函数的性质的求解，属于基础题。

18．（Ⅰ）由D 、E 分别为AB 、AC 中点，得DE∥BC ．可得DE∥平面PBC
（Ⅱ）连结PD ，由PA=PB ，得PD ⊥ AB． DE∥BC ，BC ⊥ AB，推出DE ⊥ AB．
AB⊥平面PDE ，得到AB⊥PE ．
（Ⅲ）证得PD 平面ABC 。

以D 为原点建立空间直角坐标系。

二面角的A －PB －E 的大小为．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC ．
DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC
（Ⅱ）连结PD， PA=PB，PD ⊥ AB．DE∥BC，BC ⊥ AB，DE ⊥ AB．又AB⊥平面PDE，PE⊂平面PDE，AB⊥PE ． 6分
（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB，
PD平面ABC． 7分
如图，以D为原点建立空间直角坐标系
B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,,0) ,
=(1,0, )， =(0, , ）．
设平面PBE的法向量，
令得．
DE⊥平面PAB，平面PAB的法向量为．
设二面角的A－PB－E大小为
由图知，，，
二面角的A－PB－E的大小为．
考点：立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算，空间向量的应用。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。

在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。

利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，本题利用空间向量，简化了证明及计算过程。

19．（Ⅰ）函数的表达式为．
（Ⅱ）存在，使得点、与三点共线，且．
（Ⅲ）的最大值为．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，
，
∴切线的方程为：，
又切线过点，
有，即，（1）
同理，由切线也过点，得．（2）
由（1）、（2），可得是方程的两根，
（ * ）
，
把（ * ）式代入,得,
因此，函数的表达式为．
（Ⅱ）当点、与共线时，，
＝，即＝，
化简，得，
，．（3）
把（*）式代入（3），解得．
存在，使得点、与三点共线，且．
（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，
，
依题意，不等式对一切的正整数恒成立，
即对一切的正整数恒成立．
，
．
由于为正整数，．
又当时，存在，，对所有的满足条件．
因此，的最大值为．
解法：依题意，当区间的长度最小时，
得到的最大值，即是所求值．
，长度最小的区间为
当时，与解法相同分析，得，
解得．后面解题步骤与解法相同（略）．
考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极（最）值，不等式恒成立问题。

点评：难题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。

不等式恒成立问题，常常转化成求函数的最值问题。

（III）小题，通过构造函数，研究函数的单调性、极值（最值），进一步确定得到参数的范围。

20．（Ⅰ）。

（Ⅱ）。

【解析】
试题分析：（Ⅰ）由得x2＋y2＝1，
又∵ρ＝2cos(θ＋)＝cosθ－sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ.∴x 2＋y 2－x ＋y ＝0，
即 5分
（Ⅱ）圆心距，
得两圆相交，由
得，A(1,0)，B ，
∴ 10分
考点：极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，参数方程的应用。

点评：中档题，参数方程化为普通方程，常用的“消参”方法有，代入消参、加减消参、平方关系消参等。

利用参数方程，往往会将问题转化成三角函数问题，利用三角公式及三角函数的图象和性质，化难为易。

极坐标方程化为普通方程，常用的公式有，，等。

21．(1) 线性回归方程所表示的直线必经过的点(4.5,3.5)
(2) 预测生产1000吨甲产品的生产能耗700.35吨
【解析】
试题分析：(1) ,,
线性回归方程所表示的直线必经过的点(4.5,3.5)
(2) ,又 ,
所以 ;
所求的回归方程为:
35.70035.07.01000,1000=+⨯==y x 吨,
预测生产1000吨甲产品的生产能耗700.35吨
考点：本题主要考查线性回归直线的特征，线性回归直线方程的确定方法，回归系数的意义。

点评：中档题，近几年高考题目中，出现此类题目较多，多为选择题、填空题。

解的思路比较明确，公式不要求记忆，计算要细心。

线性回归方程所表示的直线必经过样本中心点（）。

回归系数越大表示x 对y 影响越大，正回归系数表示y 随x 增大而增大，负回归系数表示y 随x 增大而减小。

22．（1）12,27,48,75.
（2）， ．
（3）利用“放缩法”。

1
11)1(1)1(112112)(311
22+-=+<+=++=++n n n n n n n n n f ． 【解析】
试题分析：（1）由题意有
，
，
，
，
． 2分
（2）由题意及（1）知，36)(233)()1(++=⨯++=+n n f n n f n f ， 4分
即，
所以，
精品文档
实用文档 ，
，
， 5分
将上面个式子相加，得：
()(1)6[123(1)]3(1)f n f n n -=+++⋅⋅⋅+-+-
6分
又，所以． 7分
（3） ∴1
11)1(1)1(112112)(311
22+-=+<+=++=++n n n n n n n n n f ． 9分 当时，，原不等式成立． 10分 当时，3625361391415)2(3113)1(3
11
<=+=+++f f ，原不等式成立． 11分 当时， 12)(3117)3(3115)2(3113)1(311
+++⋅⋅⋅++++++n n f f f f
)111()5141()4131(51231133311
+-+⋅⋅⋅+-+-++⨯++⨯<n n
， 原不等式成立． 13分 综上所述，对于任意，原不等式成立． 14分
考点：归纳推理，不等式的证明，“裂项相消法”。

点评：中档题，本题综合性较强，注意从图形出发，发现规律，确定“递推关系”。

不等式
的证明问题，往往需要先放缩，后求和，再证明。

28416 6F00 漀25652 6434 搴20379 4F9B 供31372 7A8C 窌j38154 950A 锊39494 9A46
驆30648 77B8 瞸24844 610C 愌#?wTL。